(新课标)2020年高考数学题型全归纳数列定义在解题中的潜在功能

数列定义在解题中的潜在功能
高考作为一种选拔性考试，在重视基础知识考查的同时，更加重视对应用能力的考查 •作为中
学数学的重点内容之一，等差（比）数列一直是高考考查时重点，特别是近几年，有关数列 的高考综合
题，几乎都与等差（比）数列有关
•这里我们感兴趣的是等差（比）数列的定义在
解题中的潜在功能， 即遇到数列问题，特别是证明通项为an
a i
（n 1）
d
（a n
ag" 1）或 前n 项和S n an ?
bn （S n
a （1
q"））,首先要证明它是等差（比）数列，必要时再进行适 当转化，即将一般数列转化为
等差（比）数列
通项公式.
• a 仁—1,d=2 或 a1=3,d=— 2. 故 an=a1+(n — 1)d=2n — 3 或 an=5 — 2n.
例3.一个数列｛ an ｝，当n 为奇数时，an=5n+1;当n 为偶数时，an=2 2，求这个数列的前 2m 项的
和.
解:••• a1,a3,a5,…，a2m — 1成等差数列，a2,a4,a6, ,a2m 成等比数列,
• S2m=(a1 a3 a 2m 1) @2 a 4 a 2m )
例1.设等差数列 a
n 的前m 项和为
30,前2m 项和为100，则它的前3m 项和为（
).
(A ) 130 (B ) 170
(C ) 210 (D ) 260
解若等差数列
an
前m
项、次m 项、又次m 项和分别为 S1, S2, S3,贝U S1, S2, S3也成
S S 3 m(a
1
a m
)
m(a
2m 1 a 3m
)
m[a 1 a 2m 1) (a n 2
a 3m )]
^S i
m
2 m I 3m 等差数列•事实上， 3
2 2
2
m(2a m 1 2a 2m )
2 m@m 1 a 2m )
2 2
2S 2.
所以S1, S2, 因为30, 70, S3成等差数列.
S3m — 100成等差数列，所
以
30+S3m — 100=140,即 S3m=210.故应选(C ).
例2.设{ an } 是等差数列,
b n A ，已知 b 1 b 2
21 b 3
—, db z b s 8
1
8，求等差数列的
解•/ ｛ an ｝成等差数列，•••｛ bn
｝成等比数列 •- b 2 =b1b3.由 1
b1b2b3=
8
1
得 b2=
2
17
1
从而有 b1+b3=
8
,b1b3= 4
17 1
—x
• b1,b3 是方程 x2 — 8 +4
0 b 1 两根.解得 1
2
仮8或
b 1
8
b
3
2.
m® a2m i)
常数，且k z 1).
a n k
a n 1 k 1
若k=0,则an=1(n=1)或an=0(n > 2).
S n 12(2 n2例5•已知数列｛an｝的前n项和的公式是
(1) 求证：｛an｝是等差数列，并求出它的首项和公差;
(2) 只要证明｛bn ｝是首项为8，公比为一1的等比数列
例4•设数列a,a2, ,an'前n项和Sn与an的关系是Sn kan 1(其中k是与n无关的
(1)试写出由n ,k表示的an的表达式; (2)若0 S n 1
，求k的取值范围.
解：(1)当n=1时，由a1
1 1,得a1r(k 1);
当n > 2时，由a n Sn S n 1 (ka n 1) (ka n 1 1) ka n ka. 1，得
若k工0,则{ an} 是首项为 1 k ,公比为k 1的等比数列，所以
1k(k k1)n1
⑵V n im S n 1, lim
n v 1，解得k v 2
n)
(2)记bn Sina n Sin% 1 S" % 2，求证：对任意自然数n,都有b n 8
2(1)n1
证明:
a1
(1)当n=1 时，
S1
4
;当n > 2时,
a n S. S n1 12(2
『n)
2
12[2
(n 1)(n
叫12⑷
1)
a n 12 ⑷1). a
n a
n 1
12(4n 1)12[4(n 1) 11 3
•••｛an｝是首项为4
，公差为3的等差数列.
2
(3) .7.11
b1sin a1 sin a2sin a3sin sin sin
4 121
2 2/ 1、/ 18 4 、2
()(cos cos——)
2212128
b n sina n 2sin (a n 1)sin a n 11
b
n 1sina n 1sina n 1sina n 11
2
••• ｛bn｝是首项为8 ，公比为—1的等比数列, b n8
2（1）
n
例6.设｛an｝是正数组成的数列，其前n项和为Sn, Sn与2的等比中项.
写出数列｛an｝的前3项；
求数列｛an｝的通项公式（写出推证过程）并且对于所有自然数n,an与2的等差中项
等于
(1)
(2)
(3)
b n
令
1 ,a n 1
2(a n N
)
，求
lim (b1
n
b n n).
a n 2
2
2&, S n
(a n 2)2
8
解得: (2)S
1 8
(a
1
a2 b(a2
即8a
n
(a n
a n
a
n
b1
2)2
，得a1
a3
> 0)；
a
n
S
n
2
(a n 2) (a n 1
a
n 1
)(a
n
a
n 1
a
n 1 > 0,
b n
b2
4)
a
n
a
n 1
(n 1) d 4n
4n 2
S
3
S n
2)2
2(a
1>0
)
；a?
S2 1(a3 2)
8
S
2 S i
[(a? a)2 2
8
，解
得:
a
3
10(a
3 > 0).
1(a
n
2)2
即
(a
n
2)
4.｛an｝是首项为
2,
(a n
(a
n 1
公差为
1 2)
2)20
4的等差数列,
1
2(4n 2
2
4n 2) 1
4n 1
4n 2),
b n n ),lim (b1
n
b2 b n) 1
a1
1,a 2
r(r
> 0),且｛anan — 1｝是公比为q(q >0)的等比数列.
3
例8.设An 为数列｛an ｝前n 项的和，A
2 (*
数列｛b n ｝的通项公式为
b n 4n 3(n N).
(1) 求数列｛an ｝的通项公式; (2)
若d
a1,a 2,a 3
,an
db ,b 3, ,bn,
，则称d 为数列｛an ｝与｛bn ｝的公共项.
将数
列｛an ｝与｛bn ｝的公共项，按它们在原数列中的先后顺序排成一个新的数列 ｛dn ｝,证明数列
｛dn ｝
2n 1 .
设 b n a 2n 1 a 2n (a 1,2, 1)
(1)
求出使不等式可可1 a n A 2 > a n 2a n 3(
n N)成立的q 的取值范围; (2) lim
求bn 和n 1 S n ，其中 S n b i b 2 b n ； (3) 219.2
i,q 求数列 解: (1) n rq n rq n > r q (2)
又b1
lim n
(3) C n 记
a 1 S n
a n 1 a n 2 a n 2
a n a
n 1 a n log 2b n 1 log 2 b n ,r >0, q > 0, 的最大项和最小项的值.
q 1 v 0,「. 0v q v 2 b n 1 b n 1
a 2n 2 a 2n 1q a 2n q
b n a
2n 1 a 2n
a
2n 1
a
2n
a 2 1 r, 1 q
1
q ,(0
1 r 0,(q 1) log 2b n 1 log
2 b n gb n 1
log 2 bn 故｛c n ｝的最大项为
｛b n ｝是首项为 1+r ,公比为q
的等比数列，
b
n
(1 r)q
° 1
q 1), log 2[(1 r)q n
] 1 log 2[(1 r)q n1] n 20.2
，则有 C20 w Cn w c21.
c2仁2.25，最小项为c20=— 4.
例7•已知数列｛an ｝满足条件:
的通项是d
n
3(nN);
(3) 设数列｛dn｝中的第n项是数列｛bn｝中的第r项，Br为数列｛bn｝前r项的和，Dn为数列｛dn｝
9
8
T n lim
-----------
. 前 n 项的和，Tn=Br — Dn ,求 n (an)
3 a 1 ■— (a1 1)
解： (1)当 n=1 时，由 2
，得
2(a n a n 1 当n > 2时，由an A n A 1 2
a n
)
得 a n 1 3(n
> 2)
••• ｛an ｝是首项为3,公比为3 (2)证｛dn ｝是等比数列. 的等比数列，故
a n 3n
(n N).
显然d1=a3=27，设ai=3k 是数列｛bn ｝中的第
m
项，则3'
4m 3(k,m N)
k 1 k a k 1 3 3 3 3(4m 3) 4(3m 2) 1. ak 1
不是数列｛bn ｝中的项.而a k 2 3k
9 3k 9(4m 3)
4(9m 6) 3
a k 2
是数列｛bn ｝中的第m+1项. k 2 d m 1 3 d m 3k 9 ,• ｛dn ｝是首项为 27, 公比为 9的等比数列.
d n 2T 9n 32n 3/
(n N). 32n 1
(3)由题意， 4r 3, r 32n
3(32n 1)
.
又 B r r(d b r ) 3(32n 1)(7
8
27(32n 1)
8
T n B r D n
34n 15 32n 6 lim 故n
T n
(a n )4
8
9
8。