均值不等式在实际生活中的应用

均值不等式在实际生活中的应用
在日常生活中遇到的土地利用、机械制造、广告投资等问题可用均值不等式来解决．这节主要介绍均值不等式在以上三个方面中的应用．
例1 利用已有足够长的一面围墙和100米的篱笆围成一个矩形场地，问如何围才能使围成的场地面积最大？
解 设围墙的邻边长为x 米，则围墙对边长为(1002)x -米，那么所围场地面积为
(1002)S x x =⋅-12(1002)2
x x =⋅- 2121002()125022
x x +-≤=， 当且仅当21002x x =-，即25x =米时，围成的面积最大，最大值为1250平方米．
机械制造业是各行业技术装备的主要提供者，为其它行业的发展提供必不可少的基础条件，市场需要工厂生产不同规格的零件去满足不同的需求，如果要利用同样的材料制造不同特点的产品，那么此时会用到均值不等式．
例2 用一块钢锭铸造一个厚度均匀，且全面积为2的正四棱锥形有盖容器，设容器高为h 米，盖子的边长为a 米，容器的容积为V ，问当a 为何值时，V 最大，并求最大值．
解 因为底面积为2a
，四个侧面积均为12
242S a =+=，
整理得a =(0)h <，而容积
213V ha =21131h h =⋅+111
3h h
=⋅+， 由均值不等式，得
1
116
3()V h h =≤=+，
当且仅当1h h
=
时，取等号，即1h =，2a =时，容器的容积最大，其最大值为16立方米． 近年来广告业一场突起，可以说为企业的生存和发展劈荆斩棘，在一定条件下，销售量是广告费的增函数，但销售应有极限，盲目加大投入，企业必将亏损，所以企业在策划这方面时，应该运用均值不等式检测是否合理．
例3 某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内，预计年销量Q （万件）与广告费x （万元）之间的函数关系式为311
x Q x +=+ (0)x ≥，已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品仍需再投入32万元，若每件售价为“年平均每件成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之差，求年广告费投入多少时，企业年利润最大？
解 设企业年利润为W 万元，由已知条件，知年成本为(323)Q +万元，年收入为
(323)150%50%Q x +-万元，则年利润
(323)150%50%(323)W Q x Q =+--+，
整理得
298352(1)
x x W x -++=+ (0)x ≥． 由于
2(1)100(1)64
2(1)x x W x -+++-=+13250()21
x x +=-++5042≤-=， 因此当且仅当
13221x x +=+，即7x =时，W 有最大值，最大值为42万元．。