2021年高考数学5年真题备考题库第四章第3节平面向量的数量积与平面向量应用举例理(含解析)

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(福建专用)高考数学总复习第四章第3课时平面向量的数量积及平面向量的应用举例课时闯关(含解析)

（福建专用）2023年高考数学总复习第四章第3课时平面向量的数量积及平面向量的应用举例课时闯关（含解析）一、选择题1．(2023·宁德质检)已知a ＝(1，－3)，b ＝(4,6)，c ＝(2,3)，那么a ·(b·c )等于( )A ．(26，－78)B ．(－28，－42)C ．－52D ．－78解析：选A.a ·(b·c )＝(1，－3)×(4×2＋6×3)＝(26，－78)．2．一质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F 1，F 2成60°角，且F 1，F 2的大小分别为2和4，那么F 3的大小为( )A ．6B ．2C ．2 5D ．27 解析：选D.F 23＝F 21＋F 22＋2F 1·F 2＝28，所以|F 3|＝27.3．a ，b 为平面向量，已知a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，那么a ，b 夹角的余弦值等于( ) A.865 B ．－865C.1665 D ．－1665解析：选 C.b ＝(2a ＋b )－2a ＝(－5,12)，易求得|a |＝5，|b |＝13，那么cos 〈a ，b 〉＝4，3·－5，125×13＝1665. 4．在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，那么三角形ABC 的形状一定是( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析：选C.由(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，得AC →·(BC →＋BA →－AC →)＝0，即AC →·(BC →＋BA →＋CA →)＝0，∴AC →·2BA →＝0，∴AC →⊥BA →，∴∠A ＝90°.应选C.5．已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(3，－1)，n ＝(cos A ，sin A )，假设m ⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，那么角A ，B 的大小分别为( )A.π6，π3B.2π3，π6C.π3，π6D.π3，π3解析：选C.由m ⊥n 可得m·n ＝0，即3cos A －sin A ＝0，所以角A ＝π3，B ＝2π3－C . 由a cos B ＋b cos A ＝c sin C 得sin C ＝1，所以C ＝π2，故B ＝π6. 二、填空题6．假设平面上三点A 、B 、C 满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5，那么AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB→的值等于________．解析：由AB →＋BC →＋CA →＝0可得(AB →＋BC →＋CA →)2＝0，∴9＋16＋25＋2(AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →)＝0，AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝－25.答案：－257．设非零向量a ＝(x,2x )，b ＝(－3x,2)，且a ，b 的夹角为钝角，那么x 的取值范围________．解析：∵a ，b 的夹角为钝角，∴a·b ＝x ·－3x ＋2x ·2＝－3x 2＋4x ＜0，解得x ＜0或x ＞43.① 又由a ，b 共线且反向可得x ＝－13，② 由①②得x 的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞ 8．(2023·合肥质检)关于平面向量a ，b ，c ，有以下几个命题：①(a ·b )c －(c ·a )b ＝0；②|a |－|b |<|a －b |(a 、b 不共线)；③(b ·c )a －(c ·a )b 不与c 垂直；④假设非零向量a 和b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，那么a 与a ＋b 的夹角为60°.其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)．解析：平面向量的数量积不满足结合律，故①假；由向量的减法运算可知|a |、|b |、|a －b |恰为一个三角形的三条边长，而三角形的两边之差小于第三边，故②是真命题；因为[(b ·c )a －(c ·a )b ]·c ＝(b ·c )a ·c －(c ·a )b ·c ＝0，所以垂直，故③假；由|a |＝|b |＝|a －b |，再结合平行四边形法那么可得a 与a ＋b 的夹角为30°，命题④假．答案：②三、解答题9．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61.(1)求a 与b 的夹角θ；(2)求|a ＋b |；(3)假设AB →＝a ，AC →＝b ，求△ABC 的面积．解：(1)由(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，得4|a |2－4a·b －3|b |2＝61.将|a |＝4，|b |＝3代入上式，求得a·b ＝－6.所以cos θ＝a·b |a ||b |＝－64×3＝－12. 又因为0≤θ≤π，所以θ＝2π3. (2)|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a·b ＋|b |2＝13，所以|a ＋b |＝13.(3)由(1)知，∠BAC ＝θ＝2π3，|AB →|＝|a |＝4，|AC →|＝|b |＝3，所以S △ABC ＝12|AC →||AB →|si n ∠BAC ＝3 3. 10．已知点A (2,0)，B (0,2)，C (cos α，sin α)，且0<α<π.(1)假设|OA →＋OC →|＝7，求OB →与OC →的夹角；(2)假设AC →⊥BC →，求tan α的值．解：(1)因为|OA →＋OC →|＝7，所以(2＋cos α)2＋sin 2α＝7，所以cos α＝12. 又因为α∈(0，π)，所以α＝∠AOC ＝π3. 又因为∠AOB ＝π2，所以OB →与OC →的夹角为π6. (2)AC →＝(cos α－2，sin α)，BC →＝(cos α，sin α－2)．因为AC →⊥BC →，所以AC →·BC →＝0，所以cos α＋sin α＝12，① 所以(cos α＋sin α)2＝14，所以2sin αcos α＝－34. 又因为α∈(0，π)，所以α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π. 因为(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝74， cos α－sin α<0，所以cos α－sin α＝－72.② 由①②得cos α＝1－74，sin α＝1＋74，所以tan α＝－4＋73.一、选择题1．向量a 与b 的夹角为θ，定义a 与b 的“向量积”：a ×b 是一个向量，它的模|a ×b |＝|a |·|b |·sin θ，假设a ＝(－3，－1)，b ＝(1，3)，那么|a ×b |等于( )A. 3 B ．2C ．2 3D ．4解析：选B.∵|a |＝|b |＝2，a·b ＝－23，∴cos θ＝－232×2＝－32. 又θ∈[0，π]，∴sin θ＝12.∴|a ×b |＝2×2×12＝2. 2．(2023·泉州调研)在△ABC 中，已知向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，那么△ABC 为( ) A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．等边三角形解析：选D.非零向量BC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，即角A 的平分线垂直于BC ，∴AB ＝AC ，又cos A ＝AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，∠A ＝π3，所以△ABC 为等边三角形．二、填空题3．如图，AB 是半圆O 的直径，C ，D 是弧AB 的三等分点，M ，N 是线段AB 的三等分点．假设OA ＝6，那么MD →·NC →的值是________．解析：MD →·NC →＝(OD →－OM →)·(OC →－ON →)＝OD →·OC →－OM →·OC →－OD →·ON →＋OM →·ON → ＝6×6×cos60°－6×2×cos120°－6×2×cos 120°＋2×2×cos180°＝26. 答案：264．设向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝1，a·b ＝－12，〈a －c ，b －c 〉＝60°，那么|c |的最大值等于________．解析：设向量a ，b ，c 的起点为O ，终点分别为A ，B ，C ，由已知得，∠AOB ＝120°，∠ACB ＝60°，那么点C 在△AOB 的外接圆上，当OC 经过圆心时，|c |最大，在△AOB 中，求得AB ＝3，由正弦定理得△AOB 外接圆的直径是3sin120°＝2，故|c |的最大值是2.答案：2三、解答题5．已知平面向量a ＝(3，－1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32. (1)证明：a ⊥b ；(2)假设存在不同时为零的实数k 和t ，使x ＝a ＋(t 2－3)·b ，y ＝－ka ＋tb ，且x ⊥y ，试求函数关系式k ＝f (t )；(3)据(2)的结论，确定函数k ＝f (t )的单调区间．解：(1)证明：因为a·b ＝3×12＋(－1)×32＝0，所以a ⊥b .(2)因为x ⊥y ，所以x·y ＝0，所以[a ＋(t 2－3)b ]·(－ka ＋tb )＝－ka 2＋[t －k (t 2－3)]a·b ＋t (t 2－3)b 2＝0.因为|a |＝2，|b |＝1，a ⊥b ，所以－k ×4＋t (t 2－3)＝0，即k ＝14(t 3－3t )(t ≠0)． (3)由(2)知f (t )＝14(t 3－3t )，故f ′(t )＝14(3t 2－3)，令f ′(t )>0得t >1或t <－1，令f ′(t )<0得－1<t <1且t ≠0.所以函数k ＝f (t )的单调递增区间为(1，＋∞)和(－∞，－1)，单调递减区间为(－1,0)和(0,1)．6．已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x 4，1，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 4，cos 2x4. (1)假设m·n ＝1，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x 的值； (2)记f (x )＝m·n ，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求函数f (A )的取值范围．解：(1)∵m·n ＝1，即3sin x 4cos x 4＋cos 2x 4＝1，即32sin x 2＋12cos x 2＋12＝1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x2＋π6＝12.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1＝－12.(2)∵(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C . ∴2sin A cos B －cos B sin C ＝sin B cos C ，∴2sin A cos B ＝sin(B ＋C )，∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin (B ＋C )＝sin A ，且sin A ≠0， ∴cos B ＝12，B ＝π3，∴0＜A ＜2π3.∴π6＜A2＋π6＜π2，12＜sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A2＋π6＜1.又∵f (x )＝m·n ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12，∴f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π6＋12.故函数f (A )的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.。

2021年高考数学考点汇总考点19 平面向量的数量积、平面向量应用举例(含解析)

2021年高考数学考点汇总考点19 平面向量的数量积、平面向量应用举例（含解析）一、选择题 1. （xx ·湖南高考文科·Ｔ10）与（xx ·湖南高考理科·Ｔ16）相同在平面直角坐标系中，为原点，，,，动点满足,则的取值范围是（）A. B.C. D.【解题提示】把拆分为，再利用求解。

【解析】选D.()++=+++OA OB OD OA OB OC CD2. （xx ·上海高考文科·Ｔ17）(1,2,7)(1,2,7)i i i AB AP i ==如图，四个边长为1的小正方形排成一个大正方形，AB 是大正方形的一条边，P 是小正方形的其余顶点，则的不同值的个数为（）（A)7 (B)5 (C)3 (D)2 【解题提示】根据向量数量积的定义可得. 【解析】2511351470cos 2cos i i i i i i i i i i i i i iP P P AB AP AP P P P P AB AP AB AP BAP AB AP AB AP AP AB P P P AB AP AB AP BAP AB AP AP •=•=<>=••=•=•=<>=••当取，时，，当取，，时，当取，时，24.AB ==所以取值共有三个3. （xx ·浙江高考文科·Ｔ9）设为两个非零向量，的夹角，已知对任意实数，是最小值为1（） A ．若确定，则唯一确定 B ．若确定，则唯一确定C．若确定，则唯一确定 D．若确定，则唯一确定【解题提示】由平面向量的数量积、模列出不等式，利用二次函数求最值.【解析】选B.依题意，对任意实数，恒成立，所以恒成立，若为定值，则当为定值时，二次函数才有定值.4. （xx·山东高考文科·Ｔ7）已知向量.若向量的夹角为，则实数=( )A、B、C、D、【解题指南】本题考查了平面向量的数量积的运算，利用数量积的坐标运算即可求得. 【解析】()33cos,2923a ba b a b a bm⋅=+⋅==+∴+==答案：B5.（xx·安徽高考文科·Ｔ10）10.设为非零向量，，两组向量和均由2个和2个排列而成，若所有可能取值中的最小值为，则与的夹角为（）A. B. C. D.0【解题提示】对的可能结果进行讨论，根据各选项分别判断。

高考数学复习、高中数学平面向量的数量积及其应用附答案解析

第 3 节平面向量的数量积及其应用
课标要求 1.通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积；2.通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义；3.能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角；4.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系，能用坐标表示平面向量垂直的条件；5.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决数学和实际问题中的作用.
3
12
D.
7
规律方法 1.当向量 a, b 是非坐标形式时，要把 a, b 用已知的不共线向量作为基底来表示且
题中应该需要有基底向量的模与夹角，然后进行运算.
2.数量积的运算 a•b=0 a b 中，是对非零向量而言的，若 a, b 中有零向量，虽然 a•b=0，但不能得到 a b .
角度 2 平面向量的模
（）
（ 3）两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量 . （）
（
4）
若
a·
b=a·
c(a 0)，
则
b=c.
（）
教材衍化
2. 设 a，b 是非零向量.“a·b=|a||b|”是“a//b”的
（）
A. 充分而不必要条件
．
（2）已知 a=（2sin13°，2sin77°），|a﹣b|=1，a 与 a﹣b 的夹角为，则 a•b=（）
3
A．2
B．3
C．4
D．5
考点 2 平面向量数量积的应用
角度 1 平面向量的垂直
【例 2-1】（1）（2016·山东）已知非零向量 m,n 满足 4 | m | 3 | n | ， cos m, n 1 3

2021届高考数学一轮知能训练第四章平面向量第3讲平面向量的数量积含解析

第3讲平面向量的数量积1．(2019年福建泉州质检)如图X431，已知正六边形ABCDEF 的边长为1，则AB →·(CB →＋BA →)的值为( )图X431A.32 B ．－32 C.32 D ．－322．(2016年新课标Ⅲ)已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝( )A ．30° B．45° C．60° D．120°3．(2017年浙江)如图X432，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O ，记I 1＝OA →·OB →，I 2＝OB →·OC →，I 3＝OC →·OD →，则( )图X432A ．I 1<I 2<I 3B ．I 1<I 3<I 2C ．I 3<I 1<I 2D ．I 2<I 1<I 34．(2018年湖北黄冈质检)若向量a ，b 的夹角为π3，且|a |＝2，|b |＝1，则向量a ＋2b与向量a 的夹角为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π65．(2019年北京)设点A ，B ，C 不共线，则“AB →与AC →的夹角为锐角”是“|AB →＋AC →|>|BC →|”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．(2019年新课标Ⅲ)已知a ，b 为单位向量，且a ·b ＝0，若c ＝2a －5b ，则cos 〈a ，c 〉＝________.7．(2018年河南豫南豫北联考)已知a ＝(λ，－6)，b ＝(－1,2)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是____________．8．(多选)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论中正确的是( )A ．a 为单位向量B ．b 为单位向量C ．a ⊥bD ．(4a ＋b )⊥BC →9．(多选)在△ABC 中，AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )，若△ABC 是直角三角形，则k 的值可以是( )A ．－1 B.113 C.3＋132 D.3－13210．(2017年山东)已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量，若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________．11．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |和|a －b |；(3)若AB →＝a ，AC →＝b ，作△ABC ，求△ABC 的面积．12．已知平面上有三点A ，B ，C ，且向量BC →＝(2－k,3)，AC →＝(2,4)． (1)若点A ，B ，C 不能构成三角形，求实数k 应满足的条件； (2)若△ABC 为直角三角形，求k 的值．第3讲平面向量的数量积1．D 解析：由题图知，AB →与CB →的夹角为120°.∴AB →·(CB →＋BA →)＝AB →·CB →＋AB →·BA →＝cos120°－12＝－32.2．A 解析：由题意，得cos ∠ABC ＝BA →·BC →|BA →||BC →|＝12×32＋32×121×1＝32.∴∠ABC ＝30°.故选A.3．C 解析：∵∠AOB ＝∠COD >90°， ∴OB →·OC →>0>OA →·OB →>OC →·OD →(理由OA <OC ，OB <OD )．故选C.4．A 解析：∵|a |＝2，|b |＝1，a ·b 的夹角为π3，∴a ·b ＝1，∴(a ＋2b )·a ＝|a |2＋2a ·b ＝6，又|a ＋2b |＝a ＋2b 2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝2 3，记a ＋2b 与a 的夹角为θ，则cos θ＝a ＋2b ·a |a ＋2b |·|a |＝32，又0≤θ≤π，∴θ＝π6，故选A.5．C 解析：∵A ，B ，C 三点不共线，∴|AB →＋AC →|>|BC →|⇔|AB →＋AC →|>|AB →－AC →|⇔|AB →＋AC →|2>|AB →－AC →|2⇔AB →·AC →>0⇔AB →与AC →的夹角为锐角．故“AB →与AC →的夹角为锐角”是“|AB →＋AC →|>|BC →|”的充分必要条件，故选C.6.23 解析：∵c ＝2a －5a ，a ·b ＝0， ∴a ·c ＝2a 2－5a ·b ＝2，|c |2＝4|a |2－4 5a ·b ＋5|b |2＝9，∴|c |＝3，∴cos 〈a ，c 〉＝ a ·c |a |·|c |＝21×3＝23.7．(－12,3)∪(3，＋∞) 解析：a ·b ＝－λ－12<0⇒λ>－12，若a 、b 夹角为π，则存在k <0使a ＝k b ，即(λ，－6)＝(－k,2k )，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－k ，2k ＝－6，∴λ＝3，∴使a 、b 夹角为钝角的λ的取值范围是(－12,3)∪(3，＋∞)． 8．AD 9.BCD10.33解析：(3e 1－e 2)·(e 1＋λe 2)＝3e 21＋3λe 1·e 2－e 1·e 2－λe 22＝3－λ，|3e 1－e 2|＝3e 1－e 22＝3e 21－2 3e 1·e 2＋e 22＝2，|e 1＋λe 2|＝e 1＋λe 22＝e 21＋2λe 1·e 2＋λ2e 22＝1＋λ2，∴3－λ＝2×1＋λ2×cos 60°＝1＋λ2，解得λ＝33. 11．解：(1)由(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，得4|a |2－4a ·b －3|b |2＝61.将|a |＝4，|b |＝3，代入上式，求得a ·b ＝－6.∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－64×3＝－12. 又θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.(2)可先平方转化为向量的数量积．|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝42＋2×(－6)＋32＝13，∴|a ＋b |＝13.同理，|a －b |＝a 2－2a ·b ＋b 2＝37.(3)先计算a ，b 夹角的正弦，再用面积公式求值．由(1)，知∠BAC ＝θ＝120°， |AB →|＝|a |＝4，|AC →|＝|b |＝3，∴S △ABC ＝12×|AC →|×|AB →|×sin∠BAC ＝12×3×4×sin 120°＝3 3.12．解：(1)由点A ，B ，C 不能构成三角形，得A ，B ，C 在同一条直线上，即向量BC →与AC →平行．∵BC →∥AC →，∴4(2－k )－2×3＝0，解得k ＝12.(2)∵BC →＝(2－k,3)，∴CB →＝(k －2，－3)． ∴AB →＝AC →＋CB →＝(k,1)． ∵△ABC 为直角三角形，则①当∠BAC 是直角时，AB →⊥AC →，即AB →·AC →＝0. ∴2k ＋4＝0.解得k ＝－2.②当∠ABC 是直角时，AB →⊥BC →，即AB →·BC →＝0.∴k 2－2k －3＝0.解得k ＝3或k ＝－1.③当∠ACB 是直角时，AC →⊥BC →，即AC →·BC →＝0. ∴16－2k ＝0.解得k ＝8.综上所述，k ∈{－2，－1,3,8}．。

高考数学一轮总复习课时规范练31平面向量的数量积与平面向量的应用北师大版

课时规范练31 平面向量的数量积与平面向量的应用基础巩固组1.(2021河北石家庄一模)设向量a =(1，2)，b =(m ，-1)，且(a +b )⊥a ，则实数m=( ) A.-3B.32C.-2D.-322.在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ⊥AB ，AD=√2，则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.-1B.1C.√2D.23.(2021广东珠海二模)已知向量a ，b 满足|a |=2，a ·b =-1，且(a +b )·(a -b )=3，则|a -b |=( ) A.3B.√3C.7D.√74.在△ABC 中，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，2)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-x ，2x )(x>0)，则当BC 最小时，∠ACB=( ) A.90° B.60° C.45°D.30°5.已知向量a =(1，x-1)，b =(x ，2)，则下列说法错误的是 ( )A.a ≠bB.若a ∥b ，则x=2C.若a ⊥b ，则x=23D.|a -b |≥√26.已知向量a =(1，2)，b =(m ，1)(m<0)，且向量b 满足b ·(a+b )=3，则( ) A.|b |=2B.(2a+b )∥(a+2b )C.向量2a-b 与a-2b 的夹角为π4 D.向量a 在向量b 上的投影数量为√557.(2021全国乙，理14)已知向量a =(1，3)，b =(3，4)，若(a -λb )⊥b ，则λ= . 8.已知向量a =(cos α，sin α)，b =(cos β，sin β)，c =(-1，0). (1)求向量b+c 的模的最大值;(2)设α=π4，且a ⊥(b+c )，求cos β的值.综合提升组9.若△ABC 内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +4OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +5OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则下列结论正确的是( ) A.∠BOC=90°B.∠AOB=90°C.OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =-45D .OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =1510.设O (0，0)，A (1，0)，B (0，1)，P 是线段AB 上的一个动点，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ .若OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ≥PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则实数λ的值不可能为( ) A.1B.12C.13D.1411.(2021山东滨州二模)已知平面向量a ，b ，c 是单位向量，且a ·b =0，则|c -a -b |的最大值为 .12.已知△ABC 为等腰直角三角形，OA=1，OC 为斜边上的高.若P 为线段OC 的中点，则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OP ⃗⃗⃗⃗⃗ = ;若P 为线段OC 上的动点，则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为 .创新应用组13.“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形和一个正方形所构成(如图).在直角三角形CGD 中，已知GC=4，GD=3，在线段EF 上任取一点P ，线段BC 上任取一点Q ，则AP⃗⃗⃗⃗⃗ ·AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为( )A.25B.27C.29D.3114.若平面内两定点A ，B 间的距离为4，动点P 满足|PA||PB|=√3，则动点P 的轨迹所围成的图形的面积为，PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值是 .课时规范练31 平面向量的数量积与平面向量的应用1.A 解析:由题意，向量a =(1，2)，b =(m ，-1)，可得a +b =(m+1，1). 因为(a +b )⊥a ，所以(a +b )·a =m+1+2=0，解得m=-3. 故选A .2.D 解析:由题可知，因为四边形ABCD 为直角梯形，所以BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 在AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影向量的模为√2，由数量积的几何意义可知BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2)2=2，故选D .3.D 解析:由(a +b )·(a -b )=|a |2-|b |2=3，可得|b |=1，因为|a -b |2=(a -b )2=a 2-2a ·b +b 2=4+2+1=7，所以|a -b |=√7. 故选D .4.A 解析:∵BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(-x-1，2x-2)， ∴|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(-x -1)2+(2x -2)2=√5x 2-6x +5.令y=5x 2-6x+5，x>0，当x=35时，y min =165，此时BC 最小， ∴CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(35,-65),CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =85,45，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =35×85−65×45=0， ∴CA⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即∠ACB=90°，故选A . 5.B 解析:显然a ≠b ，故A 正确;由a ∥b 得1×2=(x-1)x ，解得x=2或x=-1，故B 错误; 由a ⊥b 得x+2(x-1)=0，解得x=23，故C 正确;|a -b |2=(1-x )2+(x-3)2=2(x-2)2+2≥2，则|a -b |≥√2，故D 正确.故选B .6.C 解析:将a =(1，2)，b =(m ，1)代入b ·(a+b )=3，得(m ，1)·(1+m ，3)=3，得m 2+m=0，解得m=-1或m=0(舍去)，所以b =(-1，1)，所以|b |=√(-1)2+12=√2，故A 错误;因为2a+b=(1，5)，a+2b =(-1，4)，1×4-(-1)×5=9≠0，所以2a+b 与a+2b 不平行，故B 错误;设向量2a-b 与a-2b 的夹角为θ，因为2a-b=(3，3)，a-2b =(3，0)，所以cos θ=(2a -b)·(a -2b)|2a -b||a -2b|=√22，所以θ=π4，故C 正确;向量a 在向量b 上的投影数量为a ·b |b|=1√2=√22，故D 错误.故选C .7.35解析:由已知得，a -λb =(1-3λ，3-4λ)，由(a -λb )⊥b ，得3(1-3λ)+4(3-4λ)=0，即15-25λ=0，解得λ=35.8.解(1)b+c =(cos β-1，sin β)，则|b+c|2=(cos β-1)2+sin 2β=2(1-cos β). 因为-1≤cos β≤1，所以0≤|b+c|2≤4，即0≤|b+c|≤2.当cos β=-1时，有|b+c|=2，所以向量b+c 的模的最大值为2. (2)若α=π4，则a =√22,√22.又由b =(cos β，sin β)，c =(-1，0)得 a ·(b+c )=√22,√22·(cos β-1，sin β)=√22cos β+√22sin β-√22.因为a ⊥(b+c )，所以a ·(b+c )=0，即cos β+sin β=1，所以sin β=1-cos β，平方后化简得cos β(cos β-1)=0，解得cos β=0或cos β=1.经检验cos β=0或cos β=1即为所求.9.B 解析:由于△ABC 内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +4OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +5OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +4OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-5OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，两边平方并化简得25+24OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =25，解得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0; 3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +5OC⃗⃗⃗⃗⃗ =-4OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，两边平方并化简得34+30OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =16，解得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-35; 4OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +5OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，两边平方并化简得41+40OB⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =9，解得OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-45. 所以∠BOC ≠90°，故A 错误;∠AOB=90°，故B 正确;OB⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =45，故C 错误; OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =-45--35=-15，故D 错误.故选B . 10.D 解析:设P (x ，y )，由AP⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤λ≤1)，得(x-1，y )=λ(-1，1)=(-λ，λ)，所以{x -1=-λ,y =λ,得P (1-λ，λ).由OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ≥PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得(1-λ，λ)·(-1，1)≥(λ，-λ)·(λ-1，1-λ)，即λ-1+λ≥λ(λ-1)-λ(1-λ)，2λ-1≥2λ2-2λ，2λ2-4λ+1≤0，解得1-√22≤λ≤1+√22，又因为0≤λ≤1，所以1-√22≤λ≤1. 故选D .11.√2+1 解析:由|a |=|b |=1，且a ·b =0，建立如图所示平面直角坐标系，设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ，则a =(1，0)，b =(0，1)，再设c =(x ，y )，则c -a -b =(x-1，y-1)，故|c -a -b |=√(x -1)2+(y -1)2，其几何意义为以O 为圆心的单位圆上的动点与定点P (1，1)间的距离.则其最大值为|OP|+1=√12+12+1=√2+1.12.14 [0，1] 解析:△ABC 为等腰直角三角形，CO 为斜边上的高，则CO 为边AB 上的中线，所以AC=BC=√2，AO=BO=CO=1. 当P 为线段OC 的中点时，在△ACO 中，AP 为边CO 上的中线，则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AO ⃗⃗⃗⃗⃗ )，所以AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AO ⃗⃗⃗⃗⃗ )·OP ⃗⃗⃗⃗⃗=12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OP⃗⃗⃗⃗⃗ ) =12|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |·|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos45°+0=12×√2×12×√22=14.当P 为线段OC 上的动点时，设OP⃗⃗⃗⃗⃗ =λOC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，0≤λ≤1， AP⃗⃗⃗⃗⃗ ·OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CP ⃗⃗⃗⃗⃗ )·OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOC⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -(1-λ)OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(λOC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =λ×1×√2×√22-(1-λ)·λ=λ-λ+λ2=λ2∈[0，1]，所以AP⃗⃗⃗⃗⃗ ·OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为[0，1]. 13.C 解析:建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0，3).设P (4，a )(3≤a ≤4)，Q 4+t ，43t (0≤t ≤3)，则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4，a-3)，AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =4+t ，43t-3，AP⃗⃗⃗⃗⃗ ·AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =4(4+t )+(a-3)43t-3=16+4t+43at-4t-3a+9=25+43at-3a=25+43t-3·a.-3≤43t-3≤1，3≤a ≤4，所以当43t-3=1，a=4时，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最大值为25+1×4=29. 故选C .14.12π 24+16√3 解析:以经过A ，B 的直线为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系如图所示，则A (-2，0)，B (2，0).设P (x ，y )，因为|PA||PB|=√3，所以√(x+2)2+y 2√(x -2)2+y 2=√3，化简整理可得(x-4)2+y 2=12，所以点P 的轨迹为圆，圆心为C (4，0)，半径r=2√3，故其面积为12π.PA⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2-4+y 2=|OP|2-4，OP 即为圆C 上的点到坐标原点的距离. 因为OC=4，所以OP 的最大值为OC+r=4+2√3，所以PA⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为(4+2√3)2-4=24+16√3.。

2021高考数学(理)一轮复习过关讲义《5.3平面向量的数量积》

量积的坐标表示求两个向量的夹角、模以及判断两个平面向量的平行与垂直关系．一般以选择题、填空题的形式考查，偶尔会在解答题中出现，属于中档题.
1．向量的夹角已知两个非零向量 a 和 b，作O→A＝a，O→B＝b，则∠AOB 就是向量 a 与 b 的夹角，向量夹角的范围是[0，π]． 2．平面向量的数量积
设两个非零向量 a，b 的夹角为θ，则数量|a||b|·cos θ叫做 a 与定义
b 的数量积，记作 a·b |a|cos θ叫做向量 a 在 b 方向上的投影，|b|cos θ叫做向量 b 在 a 投影方向上的投影几何数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos θ 意义的乘积
∵|a|＝1，a·b＝－1，∴原式＝2×12＋1＝3.
3．(2019·上饶模拟)设 D，E 为正三角形 ABC 中 BC 边上的两个三等分点，且 BC＝2，则A→D·A→E
等于( )
A.4
B.8
9
9
C.26
D.26
9
3
答案 C
解析如图，
→→
→→
|AB|＝|AC|＝2，〈AB，AC〉＝60°，
∵D，E 是边 BC 的两个三等分点，
§5.3 平面向量的数量积
最新考纲
考情考向分析
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．主要考查利用数量积的定义解决数量积的运
2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系．算、投影、求模与夹角等问题，考查利用数
3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算． 4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
题组三易错自纠 4．已知向量 a，b 的夹角为 60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________. 答案 2 3 解析方法一 |a＋2b|＝ a＋2b2 ＝ a2＋4a·b＋4b2 ＝ 22＋4×2×1×cos 60°＋4×12 ＝ 12＝2 3. 方法二 (数形结合法) 由|a|＝|2b|＝2 知，以 a 与 2b 为邻边可作出边长为 2 的菱形 OACB，如图，则|a＋2b|＝|O→C|. 又∠AOB＝60°，所以|a＋2b|＝2 3.

2021年高考数学考点25平面向量的数量积与平面向量应用举例必刷题文含解析

考点25 平面向量的数量积与平面向量应用举例1．已知非零向量m、n满足n m，且m m n，则m、n的夹角为A． B． C． D．【答案】C2．已知，，且，则向量与向量的夹角为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以有即所以，把，代入上式，解得，所以，答案选B。

3．已知向量,满足，，，则A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意可得：，则.本题选择A选项.4．设向量,,满足||=||=1,,,则||的最大值等于（）A． 1 B． C． D． 2【答案】D5．平面向量，已知=（4，3），=（3，18），则夹角的余弦值等于（）A． B． C． D．【答案】C【解析】依题意可知，故两个向量夹角的余弦值为.6．若O（0，0），A（1，3），B（3，1），则＝A． B． C． D．【答案】B【解析】∵，，∴，∴，故选B．7．已知向量满足，，，则（）A． 2 B． C． 4 D．【答案】A8．已知向量，满足，，且向量，的夹角为，若与垂直，则实数的值为（）A．B． C． D．【答案】D【解析】根据与垂直得到（）·=0，所以.故答案为：D.9．已知，，，则（）A． B． C． D．【答案】B10．平面向量与向量满足,且，,则向量与的夹角为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】，则又，解得设向量与的夹角为，则，即解得，，故选11．设非零向量，满足，则（）A． B． C． D．【答案】B12．已知向量＝(1，m)，＝(3，－2)，且(＋)⊥，则m＝A．－8 B．－6 C． 6 D． 8【答案】D【解析】因为，所以，又由，所以，解得，故选D.13．已知向量，满足，，且向量，的夹角为，若与垂直，则实数的值为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以，故答案选D．14．已知平面向量满足，且||=1，||=2，则||=A． B． 3 C． 5 D． 2【答案】B15．已知向量满足，，，则的夹角等于( )A． B． C． D．【答案】A【解析】设的夹角为，，则，即，则故选16．已知a、b为非零向量，且a、b的夹角为，若，则( )A． 1 B． C． D． 2【答案】C17．已知是边长为1的等边三角形，为中点，则的值为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵是边长为1的等边三角形，为中点，∴而故选：B.18．已知的两个单位向量，且，则__________.【答案】119．已知向量为非零向量，若，则______. 【答案】【解析】∵，∴=（k+2，0）∵∴=k（k+2）=0∵为非零向量，即k+2≠0∴k=0故答案为：020．已知向量，满足，，且，则与的夹角为_______．【答案】【解析】由得·=0，所以. 故答案为：21．已知，，若，则与的夹角是_________.【答案】22．已知，，若，则和的夹角是__________.【答案】【解析】因为，故，故即，故，因，故，填．23．已知向量，，且，则实数m=_____.【答案】324．已知,求（1）；（2）与夹角的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】（1）根据题意，=（4，3），=（5，﹣12）．则+=（9，﹣9），则|+|==9，（2）=（4，3），=（5，﹣12）．则•=4×5+3×（﹣12）=﹣16，||=5，||=13，则cosθ==﹣．25．已知向量，，，设．（1）求函数的解析式及单调递增区间；（2）在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且，，，求的面积．【答案】（1），；（2）。

2020版高考数学总复习第四篇平面向量必修4第3节平面向量的数量积及平面向量的应用课件理

综上可知,实数λ的取值范围为(- 5 ,0)∪(0,+∞).
答案:(- 5 ,0)∪(0,+∞)
3
3
考查角度3:平面向量的垂直
【例4】 (2016·全国Ⅱ卷)已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则m等于
()
(A)-8 (B)-6
(C)6
(D)8
解析:a+b=(4,m-2),由(a+b)⊥b得(a+b)·b=(4,m-2)·(3,-2)=122m+4=0,m=8.故选D.
_x_1_x_2_+_y_1_y_2=__0__
|x1x2+y1y2|≤___x_12__y_12__x_22__y_22___
5.向量在平面几何中的应用平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、全等、相似、长度、夹角等问题. 6.平面向量在物理中的应用 (1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量,它们的分解与合成与向量的加法和减法相似,可以用向量的知识来解决. (2)物理学中的功是一个标量,这是力F与位移s的数量积.即W=F·s=|F||s|cos θ(θ为F与s的夹角).
②|a±b|= a b2 = a2 2ab b2 .
③若 a=(x,y),则|a|= x2 y2 .
(2)与模有关的最值或范围问题要注意抓住模的几何意义及数形结合思想的应用.
【跟踪训练 2】 (2018·广东广州珠海区一模)已知向量 a,b 的夹角为 60°,|a|=2, |a-2b|=2,则|b|等于( ) (A)4 (B)2 (C) 2 (D)1
结论
几何表示
坐标表示
模
夹角

2021版新高考数学(山东专用)一轮：第4章第3讲平面向量的数量积

与 b 的夹角为( B )
A．π6
B．π3
C．23π
D．56π
[解析] 方法一：由题意得，(a－b)·b＝0⇒a·b＝|b|2， ∴|a||b|·cos 〈a，b〉＝|b|2，∵|a|＝2|b|， ∴2|b|2cos 〈a，b〉＝|b|2⇒cos 〈a，b〉＝12， ∴〈a，b〉＝π3，故选 B．
方法二：如图所示，设O→A＝a，O→B＝b，则B→A＝a－b，∴B＝π2，|O→A|＝2|O→B|， ∴∠AOB＝π3，即〈a，b〉＝π3.
考点突破 • 互动探究
考点一平面向量数量积的运算——师生共研
例 1 (1)(2020·江西名校高三质检)已知向量 a 与 b 的夹角为 60°，且 a＝(－2_0___.
(2)如图所示，在梯形 ABCD 中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝π4，若A→B·A→C＝2A→B·A→D，则A→D·A→C＝__1_2___.
π a 与 b 的夹角为__2____时，则 a 与 b 垂直，记作 a⊥b. 知识点二平面向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量 a 与 b，它们的夹角为 θ，则数量|a||b|cos θ 叫做 a 与 b 的数量积(或内积)，记作 a·b，即 a·b＝__|a_|_|b_|_c_o_s_θ___，规定零向量与任一向量的数量积为 0，即 0·a＝0. (2)几何意义：数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos θ 的乘积．
a·b ④夹角：cos θ＝_|_a_||_b_| _＝
x21x＋1xy2＋21·yx1y22＋2 y22.
⑤已知两非零向量 a 与 b，a⊥b⇔a·b＝0⇔___x_1x_2_＋__y_1_y2_＝__0____；

2021年高考数学第四章第3课时平面向量的数量积及应用举例知能演练轻松闯关新人教A版

2021年高考数学第四章第3课时平面向量的数量积及应用举例知能演练轻松闯关新人教A 版1．(xx·高考大纲全国卷)已知向量m ＝(λ＋1，1)，n ＝(λ＋2，2)，若(m＋n )⊥(m －n )，则λ＝( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1解析：选B ．因为m ＋n ＝(2λ＋3，3)，m －n ＝(－1，－1)，由(m ＋n )⊥(m －n )，可得(m ＋n )·(m －n )＝(2λ＋3，3)·(－1，－1)＝－2λ－6＝0，解得λ＝－3.2．(xx·高考福建卷)在四边形ABCD 中，AC →＝(1，2)，BD →＝(－4，2)，则该四边形的面积为( )A ． 5B ．2 5C ．5D ．10解析：选C ．∵AC →·BD →＝(1，2)·(－4，2)＝－4＋4＝0，∴AC →⊥BD →，∴S 四边形ABCD ＝12|AC→|·|BD →|＝12×5×25＝5.3．在△ABC 中，C ＝90°，且CA ＝CB ＝3，点M 在AB 上，且满足B M →＝2M A →，则C M →·CB →等于( )A ．2B ．3C ．4D ．6 解析：选B ．由题意可知， C M →·CB →＝(CA →＋13AB →)·CB →＝CA →·CB →＋13AB →·CB →＝0＋13×32×3cos 45°＝3.4．(xx·湖南长沙模拟)关于平面向量a ，b ，c ，有下列三个命题： (1)若a·b ＝a·c ，则a ＝0或b ＝c ；(2)若a ＝(1，k )，b ＝(－2，6)且a ⊥b ，则k ＝13；(3)非零向量a ，b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角为30°.其中所有真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C ．若a·b ＝a·c ，则a ·(b －c )＝0，可得a ＝0或b ＝c 或a ⊥(b －c )，即命题(1)不正确；若a ＝(1，k )，b ＝(－2，6)且a ⊥b ，则a·b ＝－2＋6k ＝0，得k ＝13，即命题(2)正确；非零向量a ，b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，则可得出一个等边三角形，且a 与a ＋b 的夹角为30°，即命题(3)正确，综上可得真命题有2个．5．在△ABC 中，AC →·AB →|AB →|＝1，BC →·BA→|BA →|＝2，则AB 边的长度为( )A ．1B ．3C ．5D ．9 解析：选B ．由题意画示意图，如图，AC →·AB →|AB →|＝1表示AC →在AB →上的投影为1，即AD 的长为1，BC →·BA →|BA →|＝2表示BC →在BA →上的投影为2，即BD 的长为2，故AB 边的长度为3.6．(xx·高考重庆卷)在O A 为边，O B 为对角线的矩形中，O A →＝(－3，1)，O B →＝(－2，k )，则实数k ＝________．解析：如图所示，由于O A →＝(－3，1)，O B →＝(－2，k )，所以AB →＝O B →－O A →＝(1，k －1)．在矩形中，由O A →⊥AB →得O A →·AB →＝0，所以(－3，1)·(1，k －1)＝0，即－3×1＋1×(k －1)＝0，解得k ＝4.答案：47．(xx·辽宁大连模拟)已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(x ，－2)，c ＝(3，y )，若a ∥b ，(a ＋b )⊥(b －c )，M (x ，y )，N(y ，x )，则向量M N →的模为__________．解析：∵a ∥b ，∴x ＝4，∴b ＝(4，－2)， ∴a ＋b ＝(6，－3)，b －c ＝(1，－2－y )． ∵(a ＋b )⊥(b －c )，∴(a ＋b )·(b －c )＝0，即6－3(－2－y )＝0，∴y ＝－4，故向量M N →＝(－8，8)，|M N →|＝8 2. 答案：8 28．已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，且(a ＋b )⊥(a －52b )，则a 与b 的夹角为________．解析：因为(a ＋b )⊥(a －52b )，所以a 2－52b 2－32a·b ＝0.又因为|a |＝2，|b |＝1，所以4－52－32a·b ＝0，所以a·b ＝1.又a·b ＝|a |·|b |cos 〈a ，b 〉＝1，所以cos 〈a ，b 〉＝12.又a 与b 的夹角范围为[0，π]，所以a 与b 的夹角为π3.答案：π39．已知a ＝(1，2)，b ＝(－2，n )，a 与b 的夹角是45°， (1)求b ；(2)若c 与b 同向，且a 与c －a 垂直，求C ．解：(1)∵a ·b ＝2n －2，|a |＝5，|b |＝n 2＋4，∴cos 45°＝2n －25·n 2＋4＝22，∴3n 2－16n －12＝0(n >1)． ∴n ＝6或n ＝－23(舍去)，∴b ＝(－2，6)．(2)由(1)知，a·b ＝10，|a |2＝5.又∵c 与b 同向，故可设c ＝λb (λ>0)．∵(c －a )·a ＝0，∴λb·a －|a |2＝0，∴λ＝|a |2b·a ＝510＝12.∴c ＝12b ＝(－1，3)．10．(xx·江苏徐州模拟)已知向量a ＝(4，5cos α)，b ＝(3，－4tan α)，α∈(0，π2)，a ⊥b ，求：(1)|a ＋b |；(2)cos(α＋π4)的值．解：(1)因为a ⊥b ，所以4×3＋5cos α×(－4tan α)＝0，解得sin α＝35.又因为α∈(0，π2)，所以cos α＝45，tan α＝sin αcos α＝34，所以a ＋b ＝(7，1)，因此|a ＋b |＝72＋12＝5 2.(2)cos(α＋π4)＝cos αcos π4－sin αsin π4＝45×22－35×22＝210. [能力提升]1．(xx·云南昆明质检)在直角三角形ABC 中，∠C ＝π2，AC ＝3，取点D 使 BD →＝2DA →，那么CD →·CA →＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选D ．如图，CD →＝CB →＋BD →.又∵BD →＝2DA →，∴CD →＝CB →＋23BA →＝CB →＋23(CA →－CB →)，即CD →＝23CA →＋13CB →，∵∠C ＝π2，∴CA →·CB →＝0，∴CD →·CA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23CA →＋13CB →·CA →＝23CA →2＋13CB →·CA →＝6. 2．在边长为1的正方形ABCD 中，M 为BC 的中点，点E 在线段AB 上运动，则E C →·EM →的取值范围是( )A ．[12，2]B ．[0，32]C ．[12，32] D ．[0，1]解析：选C ．将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中，设E (x ，0)，0≤x ≤1.又M (1，12)，C(1，1)，所以EM →＝(1－x ，12)，E C →＝(1－x ，1)，所以EM →·E C →＝(1－x ，12)·(1－x ，1)＝(1－x )2＋12.因为0≤x ≤1，所以12≤(1－x )2＋12≤32，即EM →·E C →的取值范围是[12，32]．3．(xx·高考湖北卷)已知向量a ＝(1，0)，b ＝(1，1)，则 (1)与2a ＋b 同向的单位向量的坐标表示为__________； (2)向量b －3a 与向量a 夹角的余弦值为__________．解析：(1)∵2a ＋b ＝(3，1)，∴|2a ＋b |＝32＋12＝10.∴与2a ＋b 同向的单位向量的坐标表示为2a ＋b |2a ＋b |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫31010，1010.(2)∵b －3a ＝(－2，1)，∴|b －3a |＝5，|a |＝1，(b －3a )·a ＝(－2，1)·(1，0)＝－2，∴cos 〈b －3a ，a 〉＝（b －3a ）·a |b －3a ||a |＝－25＝－255.答案：(1)⎝⎛⎭⎪⎫31010，1010 (2)－255 4．(xx·江苏常州模拟)在△ABC 中，有如下命题，其中正确的是________．①AB →－AC →＝BC →；②AB →＋BC →＋CA →＝0；③若(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 为等腰三角形；④若AB →·BC →>0，则△ABC 为锐角三角形．解析：在△ABC 中，AB →－AC →＝CB →，①错误；若AB →·BC →>0，则∠B 是钝角，△ABC 是钝角三角形，④错误．答案：②③5．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(cos α，sin α)，设m ＝a ＋tb (t 为实数)．(1)若α＝π4，求当|m |取最小值时实数t 的值；(2)若a ⊥b ，问：是否存在实数t ，使得向量a －b 和向量m 的夹角为π4？若存在，请求出t ；若不存在，请说明理由．解：(1)因为α＝π4，所以b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，a ·b ＝322，则|m |＝（a ＋tb ）2＝5＋t 2＋2ta ·b ＝t 2＋32t ＋5＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋3222＋12，所以当t ＝－322时，|m |取到最小值，最小值为22.(2)存在实数t 满足条件，理由如下：假设存在满足条件的实数t ，则cos π4＝（a －b ）·（a ＋tb ）|a －b ||a ＋tb |，因为a ⊥b ，所以a ·b ＝0，得|a －b |＝（a －b ）2＝6，|a ＋tb |＝（a ＋tb ）2＝5＋t 2， (a －b )·(a ＋tb )＝5－t ，则有5－t 6×5＋t2＝22，且t <5，整理得t 2＋5t －5＝0，所以存在t ＝－5±352满足条件．6．(选做题)已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 32x ，sin 32x ，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 2，－sin x 2，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2. (1)求a·b 及|a ＋b |；(2)若f (x )＝a·b －2λ|a ＋b |的最小值为－32，求正实数λ的值．解：(1)a·b ＝cos 32x cos x 2－sin 32x sin x2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋x 2＝cos 2x ， |a ＋b |2＝⎝⎛⎭⎪⎫cos 32x ＋cos x 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 32x －sin x 22＝2＋2cos 2x ＝4cos 2x ，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴cos x ≥0，∴|a ＋b |＝2cos x .(2)∵f (x )＝cos 2x －4λcos x ＝2cos 2x －4λcos x －1，∴f (x )＝2(cos x －λ)2－1－2λ2.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴cos x ∈[0，1]．①当0≤λ≤1时，当且仅当cos x ＝λ时，f (x )取最小值－1－2λ2＝－32，解得λ＝12.②当λ>1时，当且仅当cos x ＝1时，f (x )取最小值1－4λ＝－32，解得λ＝58与λ>1矛盾．综上所述，λ＝12即为所求． #35076 8904 褄39457 9A21 騡20427 4FCB 俋]33290 820A 舊31866 7C7A 籺G,gJ29718 7416 琖。

2021新高考数学专项训练题--平面向量数量积(含解析)

平面向量数量积专项训练题一、单选题（共16题；共32分）1.（2021·淄博零模）已知向量，的夹角为，，，则（）A. B. 3 C. D. 122.（2021·郑州一模）设为单位向量，且，则（）A. B. C. 3 D. 73.（2021·八省联考）已知单位向量满足，若向量，则（）A. B. C. D.4.（2021·玉溪模拟）已知向量，的夹角为120°，，则（）A. B. C. 7 D. 135.（2020·宝鸡模拟）已知向量，，，若，则（）A. 1B.C.D. 26.（2020·龙岩模拟）已知向量、满足，则向量，的夹角为（）A. B. C. D.7.（2020·芜湖模拟）已知向量在方向上的投影为，且，则（）A. 2B. 1C. -1D. -28.（2020·芜湖模拟）已知向量，，与的夹角为，且，则实数k 的值为（）A. B. C. 2 D.9.（2020·德州模拟）设，，，若，则与的夹角余弦值为（）A. B. C. D.10.（2020·江西模拟）非零向量满足且, 的夹角为（）A. B. C. D.11.（2020高三上·拉孜月考）已知向量的夹角为，，，则（）A. B. 3 C. D. 1212.（2020高一上·百色期末）若平面向量与满足：则与的夹角为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 120°13.若过点和点的直线与方向向量为的直线平行，则实数的值是（）A. B. C. 2 D. -214.过，两点的直线的一个方向向量为则（）A. B. C. -1 D. 115.（2020高二上·宁波期末）已知向量，分别是直线、的方向向量，若，则下列几组解中可能正确的是（）A. B. C. D.16.（2020高一上·南充期末）已知向量，则（）A. B. C. D.二、多选题（共3题；共9分）17.（2020·深圳模拟）已知向量，，，设, 的夹角为，则（）.A. B. C. D.18.（2020·泰安模拟）已知向量，则（）A. B. C. D.19.（2020·青岛模拟）已知向量，，，设的夹角为，则（）A. B. C. D.三、填空题（共16题；共16分）20.（2021·贵阳二模）已知向量，，且，则________.21.（2021·松江一模）已知向量| ，若，且，则的最大值为________.22.（2021·青浦一模）已知向量的模长为1，平面向量满足：，则的取值范围是________.23.（2020·厦门模拟）已知向量，，若，则________.24.（2020·江西模拟）已知非零向量，夹角为，，对任意，有，则________．25.（2020·新课标Ⅰ·文）设向量，若，则________.26.（2020·新课标Ⅱ·理）已知单位向量a，b的夹角为45°，ka–b与a垂直，则k=________.27.（2020·新课标Ⅰ·理）设为单位向量，且，则________.28.（2019·全国Ⅲ卷文）已知向量，则________.29.（2019·全国Ⅲ卷理）已知a，b为单位向量，且a-b=0，若c=2a- b，则cos<a，c>=________。

近年高考数学一轮复习第4章平面向量4.3平面向量的数量积及其应用课后作业理(2021年整理)

2019版高考数学一轮复习第4章平面向量4.3 平面向量的数量积及其应用课后作业理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019版高考数学一轮复习第4章平面向量4.3 平面向量的数量积及其应用课后作业理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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4．3 平面向量的数量积及其应用[基础送分提速狂刷练]一、选择题1．a ，b 为平面向量,已知a ＝（4,3），2a ＋b ＝(3，18），则a ,b 夹角的余弦值等于（ )A 。

错误!B ．－错误!C 。

错误!D ．－错误!答案 C解析由题可知，设b ＝（x ,y ）,则2a ＋b ＝（8＋x ，6＋y )＝(3,18),所以可以解得x ＝－5,y ＝12，故b ＝(－5,12）．由cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ｜｜b |＝错误!。

故选C.2．已知向量a ＝(m,2)，b ＝(2,－1),且a ⊥b ，则错误!等于（）A ．－错误!B ．1C ．2 D.错误!答案 B解析 ∵a ⊥b ,∴2m －2＝0，∴m ＝1，则2a －b ＝(0，5)，a ＋b ＝(3,1）,∴a ·(a ＋b )＝1×3＋2×1＝5，|2a －b |＝5,∴错误!＝错误!＝1.故选B 。

3．已知△DEF 的外接圆的圆心为O ，半径R ＝4，如果错误!＋错误!＋错误!＝0，且|错误!|＝｜错误!|,则向量错误!在错误!方向上的投影为（ )A ．6B ．－6C ．2 3D ．－2错误!答案 B解析由错误!＋错误!＋错误!＝0得，错误!＝错误!＋错误!。

(2021年整理)高中数学高考总复习平面向量的数量积及向量的应用习题及详解

（完整）高中数学高考总复习平面向量的数量积及向量的应用习题及详解编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（完整）高中数学高考总复习平面向量的数量积及向量的应用习题及详解）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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高中数学高考总复习平面向量的数量积及向量的应用习题及详解一、选择题1．（文)(2010·东北师大附中）已知｜a|＝6，｜b｜＝3，a·b＝－12,则向量a在向量b 方向上的投影是（）A．－4 B．4C．－2 D．2[答案] A［解析] a在b方向上的投影为错误!＝错误!＝－4。

（理）(2010·浙江绍兴调研)设a·b＝4，若a在b方向上的投影为2，且b在a方向上的投影为1,则a与b的夹角等于( )A.错误!B.错误!C。

错误!D。

错误!或错误!［答案］B[解析］由条件知,错误!＝2,错误!＝1，a·b＝4,∴|a|＝4,｜b｜＝2，∴cos〈a，b>＝错误!＝错误!＝错误!,∴〈a,b>＝错误!。

2．(文)（2010·云南省统考)设e1,e2是相互垂直的单位向量，并且向量a＝3e1＋2e2,b＝x e＋3e2，如果a⊥b,那么实数x等于( ）1A．－错误! B.错误!C．－2 D．2[答案］C[解析] 由条件知｜e1|＝|e2｜＝1,e1·e2＝0，∴a·b＝3x＋6＝0，∴x＝－2。

(理）（2010·四川广元市质检)已知向量a＝（2，1），b＝(－1，2），且m＝t a＋b，n＝a －k b(t、k∈R），则m⊥n的充要条件是( )A．t＋k＝1 B．t－k＝1C．t·k＝1 D．t－k＝0[答案] D［解析］m＝t a＋b＝(2t－1，t＋2)，n＝a－k b＝（2＋k，1－2k），∵m⊥n，∴m·n＝（2t－1）（2＋k）＋(t＋2)(1－2k）＝5t－5k＝0，∴t－k＝0.3．（文)（2010·湖南理)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则错误!·错误!等于( ) A．－16 B．－8C．8 D．16［答案] D[解析］因为∠C＝90°，所以错误!·错误!＝0，所以错误!·错误!＝(错误!＋错误!)·错误!＝｜错误!|2＋错误!·错误!＝AC2＝16。

2021年高考数学经典例题专题四：平面向量与不等式【含解析】

真题四平面向量与不等式一、单选题1．已知向量()()2332a b ==，，，，则|–|a b =（） A 2B ．2 C ．2D ．50【答案】A 【解析】由已知，(2,3)(3,2)(1,1)a b -=-=-，所以22||(1)12a b -=-+=故选A2．已知向量()2,3a =，()1,b λ=-，若向量2a b -与向量a 共线，则b =（） A ．32-B ．132 C 13 D ．134【答案】B 【解析】由向量坐标运算得到2a b -，根据向量共线可构造方程求得λ，由模长的坐标运算得到结果. 【详解】()24,32a b λ-=-，又向量2a b -与向量a 共线，()432λλ∴=--，解得：32λ=-，()2239131124b ⎛⎫∴=-+-=+= ⎪⎝⎭. 故选：B. 【点睛】结论点睛：若()11,a x y =与()22,b x y =共线，则1221x y x y =. 3．在ABC 中，D 是AB 边上的中点，则CB =（）A ．2CD CA +B ．2CD CA -C ．2CD CA - D ．2CD CA +【答案】C 【解析】根据向量的加减法运算法则算出即可. 【详解】()222CB CA AB CA AD CA CD CA CD CA -=+=+=+-=故选：C4.已知,,a b c 均为单位向量，且22a b c +=，则a c ⋅=（） A ．12-B ．14-C ．14D ．12【答案】C 【解析】由22a b c +=两边平方得14-⋅=a b ，又因为22a b c +=可得()1=22+c a b ，再计算a c ⋅即可得结果．【详解】由()()2222+=a bc 得222444++⋅=ab a b c因为,,a b c 均为单位向量，则1a b c ===，所以14-⋅=a b ，又()1=22+c a b ，所以()()21111122122224⎛⎫⋅=⋅+=+⋅=-= ⎪⎝⎭a c a a b a a b故选：C ．5．已知,a b 是相互垂直的单位向量，与,a b 共面的向量c 满足2,a c b c ⋅⋅＝＝则c 的模为（） A ．1 B 2C ．2D ．22【答案】D 【解析】根据,a b 是相互垂直的单位向量，利用坐标法以及数量积的坐标表示，建立方程进行求解即可. 【详解】,a b 是相互垂直的单位向量，不妨设()1,0a =，()0,1b =，设(),c x y =，由2,a c b c ⋅⋅＝＝可得2x y ==，即()2,2c =，则c 的模为2222822c =+==.故选：D6．若实数x ，y 满足约束条件31030x y x y -+≤⎧⎨+-≥⎩，则z =x +2y 的取值范围是（）A ．(,4]-∞B ．[4,)+∞C ．[5,)+∞D ．(,)-∞+∞【答案】B 【解析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义确定目标函数在何处能够取得最大值和最小值从而确定目标函数的取值范围即可. 【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：1122y x z =-+，其中z 取得最大值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最大， z 取得最小值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最小，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最小值，联立直线方程：31030x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，可得点A 的坐标为：()2,1A ，据此可知目标函数的最小值为：min 2214z =+⨯= 且目标函数没有最大值.故目标函数的取值范围是[)4,+∞. 故选：B.7．已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是（） A ．2a b + B ．2a b +C ．2a b -D ．2a b -【答案】D 【解析】根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断即可. 【详解】由已知可得：11cos 601122a b a b ︒⋅=⋅⋅=⨯⨯=. A ：因为215(2)221022a b b a b b +⋅=⋅+=+⨯=≠，所以本选项不符合题意；B ：因为21(2)221202a b b a b b +⋅=⋅+=⨯+=≠，所以本选项不符合题意；C ：因为213(2)221022a b b a b b -⋅=⋅-=-⨯=-≠，所以本选项不符合题意；D ：因为21(2)22102a b b a b b -⋅=⋅-=⨯-=，所以本选项符合题意.故选：D.8．已知向量ab a ，b 满足||5a =，||6b =，6a b ⋅=-，则cos ,=a a b +（） A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．1935【答案】D 【解析】计算出()a ab ⋅+、a b +的值，利用平面向量数量积可计算出cos ,a a b <+>的值. 【详解】5a =，6b =，6a b ⋅=-，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-=. ()22222526367a b a b a a b b +=+=+⋅+=-⨯+，因此，()1919cos ,5735a a ba ab a a b⋅+<+>===⨯⋅+. 故选：D.9．已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅ 的取值范围是（） A ．()2,6- B ．(6,2)- C ．(2,4)- D ．(4,6)-【答案】A 【解析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是(1,3)-，利用向量数量积的定义式，求得结果. 【详解】AB 的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是(1,3)-，结合向量数量积的定义式，可知AP AB ⋅等于AB 的模与AP 在AB 方向上的投影的乘积，所以AP AB ⋅的取值范围是()2,6-，故选：A.10．若x ，y 满足|1|x y ≤-，且y ≥−1，则3x+y 的最大值为（） A ．−7 B ．1C ．5D ．7【答案】C 【解析】由题意1,11yy x y -≤⎧⎨-≤≤-⎩作出可行域如图阴影部分所示.设3,3z x y y z x =+=-,当直线0:3l y z x =-经过点()2,1-时,z 取最大值5.故选C.11．设2log 3a =，24log 3b =，则2a b +，ab ，ba 的大小关系为（） A ．2ab b ab a +>> B ．2a b b ab a +>> C ．2a b b ab a +>> D ．2b a bab a +>> 【答案】C 【解析】由已知得1,0a b >>且2a b +=，然后结合基本不等式与中间值1比较，用不等式的性质比较大小可得．【详解】易知：0,0a b >>,12a b +=，()214a b ab +<=，1b ab a a >⇔>，显然成立. 所以2a b bab a+>>．故选：C ．12．已知,a b 是平面向量，满足||2,||1a b =≤，且322b a -≤，记a 与b 的夹角为θ，则cos θ的最小值是（） A ．1116B ．78C 15D 315【答案】B 【解析】先给322b a -≤两边平方然后展开，代入2a =，得到2143a b b⋅≥+，然后利用23||113||4cos 8||||2||2||b a b b a b b b θ+⋅=≥=+⋅，然后当1b ≤时，求解cos θ的最小值. 【详解】由322b a -≤得，()2223294124b ab a a b -=+-⋅≤，所以2143a b b ⋅≥+.则23||113||4cos 8||||2||2||b a b b a b b b θ+⋅=≥=+⋅⋅ 令函数13()28xf x x =+，因为()f x 在[]0,1上单调递减. 又因为1b ≤，故当1b =时，cos θ取得最小值，最小值为78. 故选：B 【点睛】本题考查向量间夹角余弦值的取值范围的计算问题，解答的一般思路为：当已知a ，b 和a b λμ+(其中,λμ为常数)时，一般采用平方法，得到2a b λμ+然后展开，得到cos θ的值.13．已知a ，b ，R c ∈，若关于x 不等式01a cx b x x≤++≤-的解集为[]{}()123321,0x x x x x x ⋃>>>，则（）A ．不存在有序数组(,,)a b c ，使得211x x -=B ．存在唯一有序数组(,,)a b c ，使得211x x -=C ．有且只有两组有序数组(,,)a b c ，使得211x x -=D ．存在无穷多组有序数组(,,)a b c ，使得211x x -= 【答案】D 【解析】根据1>0x ，不等式转化为一元二次不等式的解的问题，利用两个一元二次不等式解集有交集的结论，得出两个不等式解集的形式，从而再结合一元二次方程的根与系数关系确定结论．【详解】由题意不等式20x bx a c x ≤++≤-的解集为[]{}()123321,0x x x x x x ⋃>>>，即220x bx a x bx a c x ⎧++≥⎨++≤-⎩的解集是[]{}123,x x x ⋃，则不等式20x bx a ++≥的解是{|x 2x x ≤或3x x ≥}，不等式2x bx a c x ++≤-的解集是13{|}x x x x ≤≤，设1x m =，21x m =+，3x n =(1)m n +<，所以0c n -=，n c =，1m +和n 是方程20x bx a ++=的两根，则11b m n m c -=++=++，(1)a m n mc c =+=+，又22(1)m bm a m m m c mc c c m ++=+---++=-，所以m 是2x bx a c x ++=-的一根，所以存在无数对(,,)a b c ，使得211x x -=．故选：D ．14．已知a ，b ∈R 且ab ≠0，对于任意x ≥0 均有(x –a )(x–b )(x–2a–b )≥0，则（） A ．a <0 B ．a >0C ．b <0D ．b >0【答案】C 【解析】对a 分0a >与0a <两种情况讨论，结合三次函数的性质分析即可得到答案. 【详解】因为0ab ≠，所以0a ≠且0b ≠，设()()()(2)f x x a x b x a b =----，则()f x 的零点为123,,2x a x b x a b ===+当0a >时，则23x x <，1>0x ，要使()0f x ≥，必有2a b a +=，且0b <，即=-b a ，且0b <，所以0b <；当0a <时，则23x x >，10x <，要使()0f x ≥，必有0b <. 综上一定有0b <. 故选：C15．已知22220,0,3,3a b a b ab a b >>+-=-≤，则+a b 的最小值是（）A ．22B ．3C ．23D ．4【答案】B 【解析】将223a b ab +-=，变形为223324b b a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，令3233ba θθ⎧-=⎪⎪=，根据0,0a b >>确定203θπ<<，得到22a b -2323πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，然后由223a b -≤，，进一步确定62ππθ≤≤，然后由33sin 236a b πθθθ⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭，利用三角函数性质求解.【详解】因为222222344b b a b ab a b ab +-=+-++， 223324b b a ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，令3233ba θθ⎧-=⎪⎪=，则3sin 2sin 32sin a b πθθθθ⎧⎛⎫=+=+⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，因为0,0a b >>，所以sin 03sin 0πθθ⎧⎛⎫+>⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪>⎩，即030πθπθπ⎧<+<⎪⎨⎪<<⎩，解得203θπ<<，所以)()22223sin 2sin a b θθθ-=+-，2223cos 23sin cos sin 4sin θθθθθ=++-，()223cos sin 23cos θθθθ=-+3cos23sin 2θθ=，2323πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为203θπ<<，所以52333ππθπ<+<，因为223a b -≤，所以33sin 23πθ⎛⎫≤+≤⎪⎝⎭ 解得242333ππθπ≤+≤，所以62ππθ≤≤，则2363πππθ≤+≤，所以33sin 233,236a b πθθθ⎛⎫⎡⎤+=+=+∈ ⎪⎣⎦⎝⎭，所以+a b 的最小值是3，故选：B关键点点睛：本题关键是将223a b ab +-=，变形为223324b b a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，利用三角换元，转化为三角函数求解. 二、多选题16．已知0a b c >>>且1abc =，则下列结论中一定成立的是（） A ．1b = B ．1ab >C ．01bc <<D ．22a c +>【答案】BCD 【解析】由0a b c >>>且1abc =，可以得到1a >，01c <<，然后结合不等式的性质容易对A ，B ，C 选项进行判断，然后利用基本不等式可对D 选项进行判断. 【详解】A ：因为0a b c >>>且1abc =，所以331c abc a <=<，即1a >，01c <<，b 不一定等于1，故A 项不一定成立；B ：因为01c <<，所以11ab c =>，所以B 项一定成立； C ：因为1a >，所以101bc a<=<，C 项一定成立；D ：22211222a a c a a ab ab b+=+≥⋅，D 项一定成立. 17．已知,a b 均为正实数，且1a b +=，则（） A ．ab 的最大值为14B ．2b a b+的最小值为22C ．221155a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为15D ．2221a b a b +++的最小值为94 【答案】AC 【解析】对于选项A ，直接根据基本不等式可求得结果；对于选项B ，化为积为定值的形式后，根据基本不等式求出最小值可得答案；对于选项C ，变形后利用二次函数求出最小值可得答案；对于选项D ，变形后利用基本不等式求出最小值可得答案. 【详解】对于选项A ，2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时取“=”，故A 正确；对于选项B ，22222b b a b b aa b a b a b++=+=++≥222，当且仅当222b a ==“=”，故B 错误；对于选项C ，22222111()55525a b a b ab +⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 222121111()()5525555ab a b ab ab ⎛⎫=++-+=-+≥ ⎪⎝⎭，当且仅当15ab =时取“=”，故C 正确；对于选项D ，22a a ++222(22)(11)121b a b b a b +-+-=++++ 41241221a b a b =+-+++-+++ 41221a b =+-++，令2s a =+，1t b =+，则4s t +=，所以4121a b +++=141(4s s t ⎛⎫++ ⎪⎝⎭14)414t s t s t ⎛⎫=+++⎪⎝⎭ 1495244t s s t ⎛≥+⋅= ⎝，当且仅当2s t =，即43t =，83s =时取“=”，所以41221a b +-++91244≥-=，所以221214a b a b +≥++，当且仅当23a =，13b =时取“=”，故选项D 错误. 故选：AC. 【点睛】方法点睛：利用基本不等式求解最值问题常采用常数代换法，其解题步骤为：（1）根据已知条件或其变形确定定值（常数）；（2）把定值（常数）变形为1；（3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式；（4）利用基本不等式求解最值． 18．已知a >0，b >0，且a +b =1，则（） A ．2212a b +≥B ．122a b ->C ．22log log 2a b +≥-D 2a b 【答案】ABD 【解析】根据1a b +=，结合基本不等式及二次函数知识进行求解. 【详解】对于A ，()222221221a b a a a a +=+-=-+21211222a ⎛⎫⎪⎭+ ⎝≥-=，当且仅当12a b ==时，等号成立，故A 正确；对于B ，211a b a -=->-，所以11222a b-->=，故B 正确；对于C ，2222221log log log log log 224a b a b ab +⎛⎫+=≤==- ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时，等号成立，故C 不正确；对于D ，因为(21212a bab a b =+≤++=，2a b 12a b ==时，等号成立，故D 正确；故选：ABD 三、填空题19．已知向量(),1a x =，()1,2b =-，且a b ⊥，则a b -=___________. 10【解析】由垂直的坐标表示求得x ，再由模的坐标运算求解．【详解】由a b ⊥得20a b x ⋅=-=，2x =，则(1,3)a b -=，所以221310a b -=+= 10．20．已知点(),C x y 在线段():41,AB x y x y ++=∈R 上运动，则xy 的最大值是____________．【答案】116【解析】直接利用基本不等式计算可得；【详解】解：由题设()41,x y x y ++=∈R 可得：4124x y xy +=≥142xy ≤， ∴144xy ≤，即116xy ≤，当且仅当142x y ==时取“=”，故答案为：116．21．已知a ，b 为实数，则221214a b ++______2ab a +．（填“＞”、“＜”、“≥”或“≤”）【答案】≥ 【解析】利用作差法，配方即可比较大小. 【详解】()2222112121042a b ab a a b a ⎛⎫++--=-+-≥ ⎪⎝⎭，当且仅当1a =，2b =取等号．故答案为：≥22．若x ，y 满足约束条件1121,x y x y x y +≥-⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，，则2z x y =+的最大值是__________．【答案】8 【解析】在平面直角坐标系内画出不等式组表示的平面区域，然后平移直线12y x =-，在平面区域内找到一点使得直线1122y x z =-+在纵轴上的截距最大，求出点的坐标代入目标函数中即可.【详解】不等式组表示的平面区域为下图所示：平移直线12y x =-，当直线经过点A 时，直线1122y x z =-+在纵轴上的截距最大，此时点A 的坐标是方程组121x y x y -=-⎧⎨-=⎩的解，解得：23x y =⎧⎨=⎩，因此2z x y =+的最大值为：2238+⨯=. 故答案为：8.23．若02030x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩，则3z x y =-的最大值是___________.【答案】1- 【解析】根据约束条件作出可行域以及直线3z x y =-过点A 时在y 轴上的截距最小，z 有最大值，得出答案. 【详解】根据约束条件02030x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩作出可行域如图所示，由2030x y x y -=⎧⎨+-=⎩解得()2,1A将目标函数3z x y =-化为133z y x =-， z 表示直线133z y x =-在y 轴上的截距的相反数的13故当直线133zy x =-在y 轴上的截距最小时，z 有最大值.当直线133zy x =-过点（2,1）时在y 轴上的截距最小，z 最大，由A (2,1)知z 的最小值为2311-⨯=- 故答案为：1-24．已知向量a ，b 满足3a b +=，0a b ⋅=．若()1c λa λb =+-，且c a c b ⋅=⋅，则c 的最大值为______．【答案】32【解析】令M a A =，MB b =，利用已知作出以AB 为直径作直角三角形ABM 的外接圆O ，令AN MB =，连接MN ．设c AC =，由已知点C 在直线MN 上，【详解】令M a A =，MB b =，则a b AM MB AB =++=，故3AB =，又0a b ⋅=，所以AM MB ⊥．以AB 为直径作直角三角形ABM 的外接圆O ，进而得出当NM AB ⊥时，AC 即c 取得最大值．令AN MB =，连接MN ．设c AC =，因为()1c λa λb =+-⋅，所以点C 在直线MN 上，又c a c b ⋅=⋅，所以()0c a b ⋅-=，即0AC NM ⋅=，所以AC NM ⊥．结合图形可知，当NM AB ⊥时，AC 即c 取得最大值，且32c AO ==．故答案为：3225．已知单位向量a →,b →的夹角为45°，k a b →→-与a →垂直，则k =__________. 【答案】22【解析】首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数k 的值. 【详解】由题意可得：211cos 452a b →→⋅=⨯⨯=，由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a →→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，即：2202k a a b k →→→⨯-⋅=-=，解得：22k =. 故答案为：22． 26．设,a b 为单位向量，且||1a b +=，则||a b -=______________. 3【解析】整理已知可得：()2a b a b +=+，再利用,a b 为单位向量即可求得21a b ⋅=-，对a b -变形可得：222a b a a b b -=-⋅+，问题得解.【详解】因为,a b 为单位向量，所以1a b == 所以()2222221a b a ba ab b a b +=+=+⋅+=+⋅=解得：21a b ⋅=- 所以()22223a b a ba ab b -=-=-⋅+=327．平面向量OA ､OB ､OC ，满足24OA OB ==，()()20OC OA OC OB -⋅-=，0OA OB ⋅=，则对任意[]0,2θπ∈，11cos sin 42OC OA OB θθ--⋅的最大值为___________. 【答案】221 【解析】建立平面直角坐标系，可得点C 的轨迹方程为()()22112x y -+-=，然后化简所求式子，转化为两个圆的点之间的最大值问题，简单判断即可. 【详解】由0OA OB ⋅=，24OA OB ==，可设()()()4,0,0,2,,A B C x y由()()20OC OA OC OB -⋅-=，把坐标代入化简可得：()()22112x y -+-= 所以点点C 的轨迹方程为()()22112x y -+-= 又()()11cos sin ,cos ,sin 42OC OA OB x y θθθθ--⋅=-，所以求11cos sin 42OC OA OB θθ--⋅的最大值即两个圆()()22112x y -+-=、221x y +=上动点最大值，如图所示;当过两圆的圆心时，有最大即221MN = 故答案为：22128．已知向量a ，b ，c 满足22a b c b -+==，b a -与a 的夹角为34π，则c 的最大值为______．【答案】22【解析】根据题意设OA b a =-，OB b =，OC c =，则a AB =，b a c OA OC CA --=-=，1OB =，2CA =由条件可得4OAB π∠=，1OB =后能结合正弦定理得到动点A 的轨迹，利用2CA =C 的轨迹，然后数形结合得到OC 的最大值，即c 的最大值. 【详解】因为22a b c b -+==，所以2a b c -+=，1b =．设OA b a =-，OB b =，OC c =，则a AB =，b ac OA OC CA --=-=，1OB =，2CA =因为b a -与a 的夹角为34π，所以4OAB π∠=，OAB 的外接圆的直径为：122sin sin4OB R AOB π===∠ 则动点A 2D 中的优弧OB （不含点O ，B ），由2CA =C 的轨迹是以A 2结合图形可知，当点O ，D ，A ，C四点共线，且C 在线段OA 的延长线上时，OC 最大，且最大值是22 故c 的最大值为22 故答案为：22【点睛】关键点睛：本题考查向量的运算和模长的最值问题，解答本题的关键是在OAB 中，根据题意得到4OAB π∠=，1OB =后能结合正弦定理得到动点A 的轨迹，利用2CA =C 的轨迹，然后数形结合得到OC 的最大值，即c 的最大值．属于中档题.29．李明自主创业，经营一家网店，每售出一件A 商品获利8元．现计划在“五一”期间对A 商品进行广告促销，假设售出A 商品的件数m （单位：万件）与广告费用x （单位：万元）符合函数模型231m x =-+．若要使这次促销活动获利最多，则广告费用x 应投入_______万元．【答案】3 【解析】设李明获得的利润为()f x 万元，求出()f x 关于x 的表达式，利用基本不等式可求得()f x 的最小值及其对应的x 的值. 【详解】设李明获得的利润为()f x 万元，则0x ≥，则()()()21616168832425125211111f x m x x x x x x x x x ⎛⎫⎡⎤=-=--=--=-++≤-+ ⎪⎢⎥++++⎝⎭⎣⎦25817=-=，当且仅当1611x x +=+，因为0x ≥，即当3x =时，等号成立. 故答案为：3.30．已知正实数x ，y ，a ，b 满足a bx yxy ==，其中1x >，1y >，则4911a b +--的最小值为______. 【答案】12 【解析】解法一根据ab x y xy ==可知11()a b xy xy +=，得到a b ab +=，然后变形所求的式子并结合基本不等式可知结果. 解法二对a b x y xy ==取对数可知lg lg lg x y a x +=，lg lg lg x yb y+=，然后代入所求式子并结合基本不等式可知结果. 【详解】解法一由abxyxy ==得1()a xy x =，1()b xy y =，所以11()a b xy xy +=，所以111a b+=，即a b ab +=，所以4949139413941311(1)(1)()1b a a b a b a b a b ab a b +-+-+===+------++. 因为111a b +=，所以114994(94)1325b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当49b a a b =时等号成立.故491211a b +≥--，所以4911a b +--的最小值为12. 解法二对a b x y xy ==两边同时取对数，得lg lg lg x y a x +=，lg lg lg x yb y+=，所以494lg 9lg 1211lg lg x y a b y x +=+≥--，当且仅当23x y =时等号成立，所以4911a b +--的最小值为12. 故答案为：12 【点睛】关键点定睛：解法一关键在于得到111a b+=，解法二结合对数，同时两种解法都使用基本不等式. 31．已知数列{}n a 是等差数列，11a ≥-，22a ≤，30a ≥，则153z a a =-的最大值是______．【答案】16 【解析】由等差数列得通项公式可的1111220a a d a d ≥-⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩设1a x =，d y =，则不等式组等价为1220x x y x y ≥-⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，15324z a a x y =-=-，利用线性规划知识求最值即可.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由题设知，1111220a a d a d ≥-⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，设1a x =，d y =，则不等式组等价为1220x x y x y ≥-⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，对应的可行域为如图所示的三角形ABC 及其内部，由15132424a a a d x y -=-=-，由24z x y =-可得124z y x =-，作12y x =沿着可行域的方向平移，当直线过点A 时，z 取得最大值．由220x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得()4,2A -，所以 ()max 244216z =⨯-⨯-=，故答案为：1632．设1e ，2e 为单位向量，满足21|22|-≤e e ，12a e e =+，123b e e =+，设a ，b 的夹角为θ，则2cos θ的最小值为_______．【答案】2829【解析】利用复数模的平方等于复数的平方化简条件得1234e e ⋅≥，再根据向量夹角公式求2cos θ函数关系式，根据函数单调性求最值. 【详解】12|2|2e e -≤， 124412e e ∴-⋅+≤，1234e e ∴⋅≥， 222121222121212(44)4(1)()cos (22)(106)53e e e e a b e e e e e e a bθ+⋅+⋅⋅∴===+⋅+⋅+⋅⋅12424228(1)(1)3332953534e e =-≥-=+⋅+⨯. 故答案为：2829. 四、双空题33．如图，在四边形ABCD 中，60,3B AB ︒∠==，6BC =，且3,2AD BC AD AB λ=⋅=-，则实数λ的值为_________，若,M N 是线段BC 上的动点，且||1MN =，则DM DN ⋅的最小值为_________．【答案】16 132【解析】可得120BAD ∠=，利用平面向量数量积的定义求得λ的值，然后以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，设点(),0M x ，则点()1,0N x +（其中05x ≤≤），得出DM DN ⋅关于x 的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得DM DN ⋅的最小值. 【详解】AD BC λ=，//AD BC ∴，180120BAD B ∴∠=-∠=，cos120AB AD BC AB BC ABλλ⋅=⋅=⋅1363922λλ⎛⎫=⨯⨯⨯-=-=- ⎪⎝⎭，解得16λ=，以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立如下图所示的平面直角坐标系xBy ，()66,0BC C =∴，,∵3,60AB ABC =∠=︒，∴A 的坐标为3332A ⎛ ⎝⎭,∵又∵16AD BC =,则5332D ⎛ ⎝⎭，设(),0M x ，则()1,0N x +（其中05x ≤≤）， 533,2DM x ⎛=- ⎝⎭，333,2DN x ⎛=- ⎝⎭，()22253332113422222DM DN x x x x x ⎛⎫⎛⎫⋅=--+=-+=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，当2x =时，DM DN ⋅取得最小值132. 故答案为：16；132. 五、解答题34．某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍惜水果树的单株产量W （单位：千克）与施用肥料x （单位：千克）满足如下关系：()253,02()50,251x x W x x x x⎧+≤≤⎪=⎨<≤⎪+⎩，肥料成本投入为10x 元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x元．已知这种水果的市场售价大约15元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为()f x （单位：元）（1）写单株利润()f x （元）关于施用肥料x （千克）的关系式；（2）当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）27530225,02()75030,251x x x f x x x x x⎧-+⎪=⎨-<⎪+⎩（2）故当施肥量为4千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润为480元．【解析】（1）用销售额减去成本投入得出利润()f x 的解析式；（2）分段判断()f x 的单调性，及利用基本不等式求出()f x 的最大值即可．【详解】（1）依题意()15()1020f x W x x x =--，又()253,02()50,251x x W x xx x⎧+≤≤⎪=⎨<≤⎪+⎩ 所以27530225,02()75030,251x x x f x x x x x⎧-+⎪=⎨-<⎪+⎩．（2）当02x 时，2()7530225f x x x =-+，开口向上，对称轴为15x =， ()f x ∴在[0，1]5上单调递减，在1(5，2]上单调递增，()f x ∴在[0，2]上的最大值为()2465f =．当25x <时，2525()78030(1)78030(1)48011f x x x x x=-++-⨯+++，当且仅当2511x x=++时，即4x =时等号成立．因为465480<，所以当4x =时，()480max f x =．答：当投入的肥料费用为40元时，种植该果树获得的最大利润是480元．。

2021年高考数学真题逐题解析：平面-向量的数量积(原卷)

第10题平面向量的数量积一、原题呈现【原题】已知O 为坐标原点,点 1cos ,sin P , 2cos ,sin P ,3cos ,sin P ,()1,0A ,则（）A.12OP OPB.12AP APC.312OA OP OP OP D.123OA OP OP OP 【答案】AC【解析】由1(cos ,sin )OP,2(cos ,sin )OP ,可得121OP OP ,故A 正确；1||2|sin |2AP ,同理2||2|sin |2AP ,12||,||AP AP 不一定相等,故B 错误；由31cos()0sin()cos()OA OP,12cos cos sin (sin )cos()OP OP,可得C 正确；由11cos 0sin cos OA OP ,23cos cos()(sin )sin()OP OPcos βαβcos α2β ,123,OA OP OP OP不一定相等,D 错误,故选AC 【就题论题】本题涉及平面向量的数量积及坐标运算,又涉及三角变换,在知识交汇处命题,背景较新颖,能有效考查考生分析问题解决问题的能力,是一道难度适中的好题,熟悉新教材必修二（A 版）的同学们应该知道P35有利用向量证明两角差余弦公式的例题,该题应该是由此题改编而成.二、考题揭秘【命题意图】本题考查平面向量的数量积及坐标运算、三角变换,考查数学运算、逻辑推理及数学抽象的核心素养.难度：中等【考情分析】平面向量是高考数学必考知识点,一般以客观题形式考查,热点是平面向量的线性运算及平面向量的数量积,可以是容易题,也可以是中等难度题,中等难度题常用平面几何、不等式等知识交汇考查.【得分秘籍】(1)向量的夹角已知两个非零向量a 和b ,作OA →＝a ,OB →＝b ,则∠AOB 就是向量a 与b 的夹角,向量夹角的范围是：[0,π]．(2)平面向量的数量积定义设两个非零向量a ,b 的夹角为θ,则数量|a ||b |·cos θ叫做a 与b 的数量积,记作a ·b投影|a |cos θ叫做向量a 在b 方向上的投影,|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影几何意义数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积(3)平面向量数量积的性质设a ,b 都是非零向量,e 是单位向量,θ为a 与b (或e )的夹角．则①e ·a ＝a ·e ＝|a |cos θ.②a ⊥b ⇔a ·b ＝0.③当a 与b 同向时,a ·b ＝|a ||b |；当a 与b 反向时,a ·b ＝－|a ||b |.特别地,a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a .④cos θ＝a ·b|a ||b |.⑤|a ·b |≤|a ||b |.(4)平面向量数量积有关性质的坐标表示①设向量a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2,由此得到若a ＝(x ,y ),则|a |2＝x 2＋y 2或|a |＝x 2＋y 2.②设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则A ,B 两点间的距离AB ＝|AB →|③设两个非零向量a ,b ,a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.④若a ,b 都是非零向量,θ是a 与b 的夹角,则cos θ＝a ·b|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.(5)两个向量a ,b 的夹角为锐角⇔a·b >0且a ,b 不共线；两个向量a ,b 的夹角为钝角⇔a·b <0且a ,b 不共线．(6)平面向量数量积求解问题的策略①求两向量的夹角：cos θ＝a·b|a||b |,要注意θ∈[0,π]．②两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔|a －b |＝|a ＋b |.③求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：a 2＝a·a ＝|a |2或|a |＝a·a ;|a ±b |＝a 2±2a·b ＋b 2;若a ＝(x ,y ),则|a |＝x 2＋y 2.(7)平面向量数量积的四种运算方法：①定义法,要注意两个向量的夹角．②坐标法,引入直角坐标系,明确向量的坐标进行运算．③利用向量数量积的几何意义,注意一个向量在另一向量上的投影是数量．④运用平方的技巧．(8)向量与平面几何的综合问题,往往要数形结合,借助平面几何的知识解题．(2)根据数量积求模或参数的值(范围)问题的一般方法：①基底法,②坐标法．(9)向量与函数、三角函数的综合题,多通过考查向量的线性运算、向量共线的充要条件、平面向量的基本定理及数量积等来直接考查函数的基本概念,函数、三角函数的图象与性质,三角变换等内容．此类题目中,向量往往是条件的载体,题目考查的重点仍是函数、三角函数,熟练掌握向量的概念和基本运算是解决问题的前提．若题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式,运用向量共线或垂直或等式成立等,得到三角函数的关系式,然后求解．若给出用三角函数表示的向量坐标,要求的是向量的模或者其他向量的表达形式,解题思路是经过向量的运算,利用三角函数在定义域内的有界性,求得值域等．(10)向量在解析几何中的“两个”作用：(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现,多用于“包装”,解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”,导出曲线上点的坐标之间的关系,从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题．(2)工具作用：利用a ⊥b ⇔a ·b ＝0(a ,b 为非零向量),a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0),可解决垂直、平行问题,特别地,向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较优越的方法．【易错警示】(1)a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0与a ∥b ⇔x 1y 2-x 2y 1＝0混淆(2)误认为两个向量a ,b 的夹角为锐角⇔a·b >0；两个向量a ,b 的夹角为钝角⇔a·b <0．(3)与平面几何有关的向量问题,向量的夹角求错,如△ABC 中误认为,AB BC夹角为ABC .三、以例及类（以下所选试题均来自新高考Ⅰ卷地区2020年1-6月模拟试卷）一、单选题1．（2021河北省邯郸市高三二模）已知向量(2,6)a ,(1,)b x ,若a 与b反向,则(3)a a b （）A ．-30B ．30C ．-100D ．1002．（2021湖北省武汉市高三5月质量检测）已知向量 1,3a,则下列向量中与a垂直的是（）A ．0,0B ．3,1 C ．3,1D ．3,1 3．（2021江苏省南通市高三5月四模）已知向量 sin ,1a , 2sin ,1b ,且a b,则cos 2 （）A ．0B ．12C ．22D ．14．（2021山东省日照市高三第二次模拟）已知4a b ,当4b a b 时,向量a 与b的夹角为（）A ．6B ．4C ．23D ．345．（2021山东省高考考前热身押题）已知向量OM ,ON ,OP 的模长均为2,且满足2230OM ON OP u u u r u u u r u u u r r,则PM PN的值为（）A ．192B ．232C ．212D ．56．（2021湖南省衡阳市高三下学期考前预测）已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 边上一动点,则AP AB （）A ．最大值是4 ,最小值是4B ．最大值是6,最小值是C ．最大值是6,最小值是2D ．最大值是4 最小值是27．（2021湖北省黄冈中学高三下学期第三次模拟）已知ABC 是边长为4的等边三角形,且2,BD DC E为AD 中点,则BE AC （）A ．2B ．43C ．23D ．838．（2021湖北省黄冈市高三高考适应性考）已知平面上三个不同的点M ,F ,P ,若2MF MP MP ,则（）A ．PM PFB ．PM MFC ．0PM PF D ．0PM PF9．（2021河北省沧州市高三三模）已知非零向量,a b满足b ,且32a b a b ,则a 与b 的夹角为（）A ．45B ．135C ．60D ．12010．（2021福建省厦门市高三5月二模）已知a ,b 是相互垂直的单位向量,与a ,b共面的向量c 满足2a c b c ,则c的模为（）A B ．2C ．D ．11．（2021广东省深圳市高三下学期第五次统一考试）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸,是中国古老的传统民间艺术之一．每年新春佳节,我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗,以此达到装点环境、渲染气氛的目的,并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望．图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花,已知图二中正六边形ABCDEF 的边长为4,圆O 的圆心为正六边形的中心,半径为2,若点P 在正六边形的边上运动,MN 为圆O 的直径,则PM PN的取值范围是（）A ． 6,12B ． 6,16C ． 8,12D ．8,1612．（2021江苏省六校高三下学期第四次适应性联考）已知向量a e ,1e,且对任意t R ,a te a e 恒成立,则（）A ．a eB ．a a eC ．e a eD ．a e a e13．（2021山东省烟台市高三第一次联考）如图,在平行四边形ABCD 中,M 是BC 的中点,且AD =DM ,N 是线段BD 上的动点,过点N 作AM 的垂线,垂足为H ,当AM MN最小时,HC（）A ．1344AB ADB ．1142AB ADC ．1324AB ADD ．3142AB AD二、多选题14．（2021江苏省盐城市高三下学期5月第三次模拟）将平面向量12,a x x称为二维向量,由此可推广至n 维向量 12,,,n a x x x .对于n 维向量a ,b ,其运算与平面向量类似,如数量积1cos i i ina b a b x y（为向量a ,b 的夹角）,其向量a的模a,则下列说法正确的有（）A ．不等式211122i i i i i i i n n n x y x y可能成立B ．不等式211122i i i i i i i n n n x y x y一定成立C ．不等式2112i i i i n n n x x可能成立D ．若 01,2,,i x i n ,则不等式2111nn i i i i x n x 一定成立15．（2021江苏省七市高三下学期第三次调研）在ABC 中,M 是BC 的中点,若AB a ,AC b ,则AM（）A ．12a bB ．12a bC ．D 16．（2021江苏省苏州市高三下学期三模）已知ABC 是边长为2的正三角形,该三角形重心为点G ,点P 为ABC 所在平面内任一点,下列等式一定成立的是（）A ．||2AB ACB ．2AB ACC ．3PA PB PC PGD ．||||AB BC AB CB17．（2021华大新高考联盟高三下学期3月教学质量测评）已知边长为4的正方形ABCD 的对角线的交点为O ,以O 为圆心,6为半径作圆；若点E 在圆O 上运动,则（）A ．72EA EB EB EC EC ED ED EA B ．56EA EC EB EDC ．144EA EB EB EC EC ED ED EA D ．28EA EC EB ED18．（2021河北省张家口市高三下学期阶段模拟）已知a ,b是平面上夹角为3的两个单位向量,c 在该平面上,且(a ﹣c )·(b ﹣c)=0,则下列结论中正确的有（）A ．1a bB ．1a b r rC ．cD ．a b ,c的夹角是钝角19．（2021湖北省部分重点中学高三联考）对于给定的ABC ,其外心为O ,重心为G ,垂心为H ,则下列结论正确的是（）A ．212AO AB ABB ．OA OB OA OC OB OCC ．过点G 的直线l 交AB AC 、于E F 、,若AE AB ,AF AC ,则113D ．AH 与cos cos AB AC AB B AC C共线三、填空题20．（2021广东省惠州市高三二模）若向量a ,b 满足a b,则a b 的最小值为______.21．（2021江苏省淮安市高三下学期5月模拟）已知平行四边形ABCD 中,3AB ,4 AD ,3BAD,平面内有动点E ,满足2ED EC ,则DB DA AE的取值范围为___________．。

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2021年高考数学5年真题备考题库第四章第3节平面向量的数量积与平面向量应用举例理（含解析）1. （xx 重庆，5分）已知向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( )A ．－92B ．0C ．3 D.152解析：因为2a －3b ＝(2k －3，－6)，(2a －3b )⊥c ，所以(2a －3b )·c ＝2(2k －3)－6＝0，解得k ＝3，选C.答案：C2. （xx 山东，5分）在△ABC 中，已知·＝tan A ，当A ＝π6时，△ABC 的面积为________．解析：根据平面向量数量积的概念得 ·＝||·||cos A ，当A ＝π6时，根据已知可得||·||＝23，故△ABC 的面积为12||·||·sin π6＝16.答案：163. （xx 安徽，5分）已知两个不相等的非零向量a ，b ，两组向量x 1，x 2，x 3，x 4，x 5和y 1，y 2，y 3，y 4，y 5均由2个a 和3个b 排列而成．记S ＝x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3＋x 4·y 4＋x 5·y 5，S min 表示S 所有可能取值中的最小值．则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①S 有5个不同的值； ②若a ⊥b ，则S min 与|a |无关； ③若a ∥b ，则S min 与|b |无关； ④若|b |>4|a |，则S min >0；⑤若|b |＝2a ，S min ＝8|a |2，则a 与b 的夹角为π4.解析：对于①，若a ，b 有0组对应乘积，则S 1＝2a 2＋3b 2，若a ，b 有2组对应乘积，则S 2＝a 2＋2b 2＋2a ·b ，若a ，b 有4组对应乘积，则S 3＝b 2＋4a ·b ，所以S 最多有3个不同的值，①错误；因为a ，b 是不等向量，所以S 1－S 3＝2a 2＋2b 2－4a ·b ＝2(a －b )2>0，S 1－S 2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝(a －b )2>0，S 2－S 3＝(a －b )2>0，所以S 3<S 2<S 1，故S min ＝S 3＝b 2＋4a ·b ，对于②，当a ⊥b 时，S min ＝b 2与|a |无关，②正确；对于③，显然S min 与|b |有关，③错误；对于④，设a ，b 的夹角为θ，则S min ＝b 2＋4a ·b >16|a |2＋16|a |2cos θ＝16|a |2(1＋cosθ)≥0，故S min >0，④正确；对于⑤，|b |＝2|a |，S min ＝4|a |2＋8|a |2cos θ＝8|a |2，所以cos θ＝12，又θ∈[0，π]，所以θ＝π3，⑤错误．答案：②④4. （xx 湖北，5分）设向量a ＝(3,3)，b ＝(1，－1)．若(a ＋λb )⊥(a －λb )，则实数λ＝________.解析：(a ＋λb )⊥(a －λb )⇒(a ＋λb )·(a －λb )＝a 2－λ2b 2＝0⇒18－2λ2＝0⇒λ＝±3.答案：±35. （xx 天津，5分）已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BE ＝λBC ，DF ＝μDC .若·＝1，·＝－23，则λ＋μ＝( )A.12B.23C.56D.712解析：如图所示，以菱形ABCD 的两条对角线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系xOy ，不妨设A (0，－1)，B (－3，0)，C (0,1)，D (3，0)，由题意得＝(1－λ)·＝(3λ－3，λ－1)，＝(1－μ) ＝(3－3μ，μ－1)．因为·＝－23，所以3(λ－1)·(1－μ)＋(λ－1)·(μ－1)＝－23，即(λ－1)(μ－1)＝13. 因为＝＋＝(3λ－3，λ＋1)，＝＋＝(3－3μ，μ＋1)，又·＝1，所以(λ＋1)(μ＋1)＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧λ－1μ－1＝13，λ＋1μ＋1＝2，整理得λ＋μ＝56.选C.答案：C6. （xx 江苏，5分）如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，＝3，·＝2，则·的值是________．解析：因为＝＋＝＋14，＝＋＝－34，所以·＝⎝ ⎛⎭⎪⎫＋14 ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－34 ＝ ||2－316||2－12·＝2，将AB ＝8，AD ＝5代入解得·＝22.答案：226. （xx 安徽，5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a ，b ，|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0，点Q 满足OQ ―→＝2(a ＋b )．曲线C ＝{P |＝a cos θ＋b sin θ，0≤θ<2π}，区域Ω＝{P |0<r ≤|PQ ―→|≤R ，r <R }．若C ∩Ω为两段分离的曲线，则( )A ．1<r <R <3B ．1<r <3≤RC ．r ≤1<R <3D ．1<r <3<R解析：由已知可设＝a ＝(1,0)，＝b ＝(0,1)，P (x ，y )，则OQ ―→＝(2，2)，曲线C ＝{P |＝(cos θ，sin θ)，0≤θ<2π}，即C ：x 2＋y 2＝1，区域Ω＝{P |0<r ≤|PQ ―→|≤R ，r <R }表示圆P 1：(x －2)2＋(y －2)2＝r 2与圆P 2：(x －2)2＋(y －2)2＝R 2所形成的圆环，如图所示，要使C ∩Ω为两段分离的曲线，只有1<r <R <3.答案：A6. （xx 湖南，5分）在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1,0)，B (0，3)，C (3，0)，动点D 满足|CD ―→|＝1，则|＋＋|的最大值是________．解析：设D (x ，y )，由| |＝1，得(x －3)2＋y 2＝1，向量＋＋＝(x －1，y ＋3)，故|＋＋|＝x －12＋y ＋32的最大值为圆(x －3)2＋y 2＝1上的动点到点(1，－3)距离的最大值，其最大值为圆(x －3)2＋y 2＝1的圆心(3,0)到点(1，－3)的距离加上圆的半径，即3－12＋0＋32＋1＝1＋7.答案：1＋76. （xx 山东，12分）已知向量a ＝(m ，cos 2x )，b ＝(sin 2x ，n )，函数f (x )＝a ·b ，且y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，3和点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2. (1)求m ，n 的值；(2)将y ＝f (x )的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求y ＝g (x )的单调递增区间．解：(1)由题意知f (x )＝a ·b ＝m sin 2x ＋n cos 2x . 因为y ＝f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎪⎫π12，3和⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＝m sin π6＋n cos π6，－2＝m sin 4π3＋n cos 4π3，即⎩⎪⎨⎪⎧3＝12m ＋32n ，－2＝－32m －12n ，解得m ＝3，n ＝1.(2)由(1)知f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.由题意知g (x )＝f (x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2φ＋π6. 设y ＝g (x )的图象上符合题意的最高点为(x 0,2)，由题意知x 20＋1＝1，所以x 0＝0，即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2)．将其代入y ＝g (x )得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2φ＋π6＝1，因为0<φ<π，所以φ＝π6.因此g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x . 由2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z 得k π－π2≤x ≤k π，k ∈Z .所以函数y ＝g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π，k ∈Z . 7. （xx 辽宁，12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a>c.已知·＝2，cos B ＝13，b ＝3.求：(1)a 和c 的值； (2)cos (B －C)的值．解：(1)由·＝2得c·a cos B ＝2，又cos B ＝13，所以ac ＝6.由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B.又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×2＝13.解⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝6，a 2＋c 2＝13得a ＝2，c ＝3或a ＝3，c ＝2.因a>c ，所以a ＝3，c ＝2. (2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223，由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23·223＝429.因a ＝b>c ，所以C 为锐角，因此cos C ＝1－sin 2C ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫4292＝79. 于是cos (B －C)＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝13·79＋223·429＝2327.8．（xx 湖南，5分）已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0.若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的取值范围是( )A ．[2－1，2＋1]B ．[2－1，2＋2]C ．[1，2＋1]D ．[1，2＋2]解析：本小题主要考查单位向量和向量的模的概念、向量垂直的条件，考查转化化归、数形结合、特殊与一般等数学思想．由a ，b 为单位向量且a ·b ＝0，可设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，又设c ＝(x ，y )，代入|c －a －b |＝1得(x －1)2＋(y －1)2＝1，又|c |＝x 2＋y 2，故由几何性质得 12＋12－1≤|c |≤ 12＋12＋1，即2－1≤|c |≤2＋1.答案：A9．（xx 湖北，5分）已知点A (－1,1)、B (1,2)、C (－2，－1)、D (3,4)，则向量在方向上的投影为( )A.322B.3152C ．－322D ．－3152解析：本题考查向量的坐标运算及向量投影的概念，意在考查考生对基础知识的掌握情况．＝(2,1)，＝(5,5)，向量＝(2,1)在＝(5,5)上的投影为||cos 〈，〉＝||·||||＝·|| ＝155 2＝3 22，故选A. 答案：A10．（xx 新课标全国Ⅰ，5分）已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b ，若b·c ＝0，则t ＝________.解析：本题考查平面向量的数量积运算，意在考查考生的运算求解能力．根据数量积b·c ＝0，把已知两向量的夹角转化到两向量数量积的运算中．因为向量a ，b 为单位向量，所以b 2＝1，又向量a ，b 的夹角为60°，所以a·b ＝12，由b·c ＝0得b ·[t a ＋(1－t )b ]＝0，即t a·b ＋(1－t )b 2＝0，所以12t ＋(1－t )＝0，所以t ＝2.答案：211．（xx 浙江，4分）设e 1，e 2为单位向量，非零向量b ＝x e 1＋y e 2，x ，y ∈R .若e 1，e 2的夹角为π6，则|x ||b |的最大值等于________．解析：本题考查向量的概念、运算、函数的最值等知识，考查转化与化归能力、函数与方程思想以及灵活利用知识分析问题、解决问题的能力．当x ＝0时，|x ||b |＝0，当x ≠0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫|x ||b |2＝x 2x 2＋y 2＋3xy ＝11＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 2＋3y x ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋322＋14≤4，所以|x ||b |的最大值是2，当且仅当y x ＝－32时取到最大值．答案：212．（xx 天津，5分）在平行四边形ABCD 中， AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若·＝1, 则AB 的长为________．解析：本题考查平面向量的运算，意在考查考生的运算求解能力．设||＝x ，x ＞0，则·＝12x .又·＝(＋)·(－12)＝1－12x 2＋14x ＝1，解得x ＝12，即AB 的长为12. 答案：1213.（xx 湖南，5分）在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝4，点P 是边AB 上异于A ，B 的一点，光线从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P (如图)．若光线QR 经过△ABC 的重心，则AP 等于( )A ．2B ．1 C.83D.43解析：本小题主要考查对称性和解析法，考查转化化归、数形结合等数学思想．以AB 、AC 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (4,0)，C (0,4)，得△ABC的重心D ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，设AP ＝x ，从而P (x,0)，x ∈(0,4)，由光的几何性质可知点P 关于直线BC 、AC 的对称点P 1(4,4－x )、P 2(－x,0)与△ABC 的重心D ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43共线，所以4343＋x ＝43－4－x 43－4，求得x ＝43.答案：D14．（xx 辽宁，12分）设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值．解：本题考查向量与三角函数的综合应用，侧重考查三角函数的性质． (1)由|a |2＝(3sin x )2＋(sin x )2＝4sin 2x ， |b |2＝(cos x )2＋(sin x )2＝1，及|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1. 又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，从而sin x ＝12，所以x ＝π6.(2)f (x )＝a ·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12，当x ＝π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6取最大值1.所以f (x )的最大值为32.15．（xx 辽宁，5分）已知两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b|，则下面结论正确的是( )A ．a∥bB ．a⊥bC ．|a|＝|b|D ．a ＋b ＝a －b解析：由|a ＋b |＝|a －b |，两边平方并化简得a ·b ＝0，又a ，b 都是非零向量，所以a ⊥b .答案：B16．（xx 湖南，5分）在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，·＝1，则BC ＝( ) A. 3 B.7 C ．2 2D.23解析：设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .·＝1，即ac cos B ＝－1.在△ABC 中，再根据余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，及AB ＝c ＝2，AC ＝b ＝3，可得a 2＝3，即BC ＝ 3.答案：A17．（2011广东，5分）若向量a ，b ，c 满足a ∥b 且a ⊥c ，则c ·(a ＋2b )＝( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．0解析：由a ∥b 及a ⊥c ，得b ⊥c ，则c ·(a ＋2b )＝c ·a ＋2c ·b ＝0. 答案：D18．（2011辽宁，5分）若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为( )A.2－1 B ．1 C. 2D ．2解析：由已知条件，向量a ，b ，c 都是单位向量可以求出，a 2＝1，b 2＝1，c 2＝1，由a ·b ＝0，及(a －c )(b －c )≤0，可以知道，(a ＋b )·c ≥c 2＝1，因为|a ＋b －c |2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b －2a ·c －2b ·c ，所以有|a ＋b －c |2＝3－2(a ·c ＋b ·c )≤1，故|a ＋b －c |≤1.答案：B32553 7F29 缩31044 7944 祄 40336 9D90 鶐y29789 745D 瑝25771 64AB 撫`27919 6D0F 洏#31129 7999 禙37826 93C2 鏂20051 4E53 乓32830 803E 耾•。