安徽省巢湖市示范高中高三上学期四校联考期中考试(数学理)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
安徽省巢湖市示范高中高三上学期四校联考期中考试(数学理)
一、选择题(本大题共10小题,在每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的,请你将正确答案前面的英文字母填入答题卷答题栏内。
每小题5分,计50分)
1.如果实数b 与纯虚数z 满足关系式(2-i)z=4-bi (其中i 是虚数单位),那么b 等于 A 、-8 B 、8 C 、-2 D 、2
2.已知集合M={x|3
1x x +≤-},N={x|x≤-3},则∁R(M ∪N)等于
A 、{x|x ≤1}
B 、{x|x ≥1}
C 、{x|x<1}
D 、{x|x>1} 3.给出下面结论:①命题p :“∃x ∈R ,x2-3x+2≥0”的否定为¬p :“∀x ∈R ,x2-3x+2<0”; ②命题:“∀x ∈M ,P(x)”的否定为:“∃x ∈M ,P(x)”; ③若¬p 是q 的必要条件,则p 是¬q 的充分条件; ④“M>N ”是“㏒aM>㏒aN ”的充分不必要条件。
其中正确结论的个数为 A 、4 B 、3 C 、2 D 、1
4.已知三个互不相等的实数a ,b ,c 成等差数列,那么关于x 的方程ax2+2bx+c=0 A 、一定有两个不相等的实数根 B 、一定有两个相等的实数根 C 、一定没有实数根 D 、一定有实数根
5.已知tan(α+β+6π)=12,tan(β-6π)=-1
3,则tan(α+3π)等于
A 、1
B 、1
2 C 、2
D 、23
6.已知等比数列{an}满足an>0,n=1,2,…,且a5•a2n-5=22n (n ≥3),则当n ≥1时,log2a1+log2a3+…+log2a2n -1= A 、n(2n-1) B 、(n+1)2 C 、n2 D 、(n-1)2 7.函数f(x)=(x-3)ex 的单调递增区间是 A 、(2,+∞) B 、(0,3) C 、(1,4) D 、(-∞,2)
8.在⊿ABC 中,若(a-c •cosB)sinB=(b-c •cosA)sinA ,则这个三角形是 A 、等腰三角形 B 、直角三角形 C 、等腰或直角三角形 D 、等腰直角三角形
9.设函数f(x)定义如下表,数列{xn}满足x0=5,且对任意的自然数n 均有xn+1=f(xn),则x 等于
A 、1
B 、2
C 、4
D 、5
10.定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且f(x)在[-3,-2]上是减函数,又α、β是锐角三角形的两个内角,则
A 、f(sinα)>f(sinβ)
B 、f(cosα)<f(cosβ)
C 、f(sinα)<f(cosβ)
D 、f(sinα)>f(cosβ)
二、填空题(本大题5小题,每小题5分,计25分)
11.设等差数列
{}n a 的前n 项和为n S ,若535a a =则
9
5
S S = ;
12.已知点P(x,y)满足条件
41x y y x x +<⎧⎪
≥⎨⎪≥⎩
,则x2+y2的值域为 ;
13.把函数
sin(2)
4y x π
=+的图象向右平移8π个单位,再把所得图象上各点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变),则所得图象的解析式为 ;
14.已知向量a 与b 的夹角为1若向量c =a +b ,且c ⊥a ,则||
||a b 的值为 ;
15.函数f(x)=|1|1a x x -+-为奇函数,则实数a 的取值范围是 ;
三、解答题(本大题共6小题,计75分)
16.(
12分)已知函数ωxcos ωx-cos2ωx-1
2(x ∈R ,ω>0)。
(1)若f (x)的图象中相邻的两条对称轴之间的距离不小于2π
,求ω的取值范围;
(2)若f (x)的最小正周期为2π
,求函数f (x)的最大值,并且求出使f (x)取得最大值的x 的集合。
17.(12分)已知向量
a ,
b =(1
2,)且存在实数k 和t 使x =a +(t2-3)b ,y =-k a + t b ,若x ⊥
y ,试求2
k t t +的最小值。
18.(12分)已知不等式mx2-2mx+m-1<0。
(1)若对所有的实数x 不等式恒成立,求m 的取值范围;
(2)设不等式对于满足|m|<2的一切m 的值都成立,求x 的取值范围。
19.(12分)某处森林发生火灾,火势正以每分钟100m2的速度顺风蔓延,消防站接到警报立即调派消防员赶往火场,在火灾发生后五分钟到达救火现场,已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火50m2,所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟125元,另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人100元,而烧毁1m2森林损失费为60元,问应该派多少消防队员前去救火,才能使总的损失最少?
13分)已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和Sn 满足S1>1,且6Sn=(a n +1)(a n +2) (n 为正整数)。
(1)求{a n}的通项公式;
(2)设数列{bn}满足bn=2n n a a n n ⎧⎪⎨⎪⎩
为偶数为奇数
,求Tn=b1+ b2+…+bn ;
21.(14分)已知函数f (x)=1
ln
x
x ax
-
+。
(1)若函数f (x)在[1,+∞)上为增函数,求正实数a的取值范围;
(2)当a=1时,求f (x)在[1
2,2]上的最大值和最小值。
(3)求证:对于大于1的正整数n,
1
ln
1
n
n n
>
-。
参考答案
一、ABCD,ACAC,BC
二、9 [2,10)y=sin4x 1/2 (0,1]
16.解:化简得 f (x)=sin(2ωx-6π
)-1
(1)依题有22ππω≥,ω≤1,所以ω的取值范围是(0,1]
(2)由222ππω=
得,ω=4,所以f (x)=sin(4x-6π)-1,故f (x)的最大值为0
此时,令4x-6π=2k π+2π(k ∈Z ),得x=
26k ππ
+,
故所求集合为{x|x=2
6k ππ
+
,k ∈Z} 17.解:依题有,|a|=2,|b|=1,且a •b=0。
由x ⊥y ,得x •y=0,即[a+(t2-3)b](-ka+tb)=0,化简得:k=334t t
-, ∴2k t t +=14(t2+4t-3)=14(t+2)2-74,故t=-2时,2k t t +有最小值为-74。
18.解:(1)记f (x)=mx2-2mx+m-1 依题,函数f (x)的图象全部在x 轴下方。
当m=0时,有-1<0,恒成立
当m ≠0时,依题有244(1)0
0m m m m ⎧∆=--<⎨
<⎩,无解
∴m 的取值范围是m=1
(2)记h (m)=m(x2-2x+|m|<2),这是一个关于m 的一次函数,其图象为一条线段(不含端点),依题当-2<m<2时,该线段位于横轴下方
∴(2)0(2)0h h -≤⎧⎨≤⎩
,即2
224302410x x x x ⎧-+-≤⎪⎨-+≤⎪⎩
,解得12-≤ x
≤12+
∴x 的取值范围是
[
1
,1+]
19.解:设派出x 名消防队员,用时t 分钟,则总的费用W 满足 W=100(5+t)×60+125xt+100x (x ∈N ,t>0)*,其中 50xt=100(5+t)
整理后代入*式得,W=62500
100(2)31450
2x x +-+-≥2500+31450=33950 当且仅当62500
100(2)2x x =--,即x=27时,等号成立,此时总的费用最少
故应派出27名消防队员前往灭火,可使总费用最少。
:(1)f ′(x)=21(0)ax a ax -> 依题2
1
ax ax -≥0在[1,+∞)上恒成立
即a ≥1
x 在[1,+∞)上恒成立,∴a ≥1
(2)当a=1时,f ′(x)=2
1x x -,其中x ∈[12,2], 而x ∈[12,1)时,f ′(x)<0;x ∈(1,12]时,f ′(x)>0, ∴x=1
是f (x)在[1
2,2]上唯一的极小值点,∴ [f (x)]min=f (1)=0
又f (12)-f (2)=32-2ln2=34ln ln 22e ->0,∴f (12)>f (2), ∴[f (x)]max=f (1
2)=1-ln2
综上,a=1时,f (x)在[1
2,2]上的最大值和最小值分别为1-ln2和0
(3)若a=1时,由(1)知f (x)=1ln x
x
x -+在[1,+∞)上为增函数,
当n>1时,令x=1n
n -,则x>1,故f (x)>f (1)=0,
即f (1n n -)=11
1n n n
n -
--+ln 1n n -=-1n +ln 1n n ->0,∴ln 1n n ->1n
21.解:(1)n=1时,6a1=
21132
a a ++且a1>1,∴a1=2
当n ≥2时,由an=Sn-Sn-1得,6an=
22
11
33n n n n a a a a --+--
∴(an+an-1)(an-an-1-3)=0,又an>0(n ∈N*),∴an-an-1=3,
从而{an}为等差数列,an=3n-1
(2)依题bn=31312n n n n --⎧⎨⎩
为偶数
为奇数,
当n 为偶数时,Tn=(b1+b3+…+bn-1)+(b2+b4+…+bn)=… 当n 为奇数时,Tn=(b1+b3+…+bn)+(b2+b4+…+bn-1)=…
∴Tn=14(34)(81)6344(1)(31)(81)634n
n n n n n n n ++⎧-+⎪⎨
-+⎪-+⎩为偶数为奇数
(3)依题cn=132
131********n n a n n
n a n n a n a n n +++-⎧=⎪-⎪⎨
+⎪=⎪⎩为偶数为奇数,
当n 为奇数时,cn+2-cn=35382n n ++-31322n n -+=35
1
2n +[3n+8-64(3n+2)]<0,∴cn+2<cn ,
∴数列c1,c3,c5,…,c2n-1,…递减。
故c2n-1≤c1=54<,
因此不存在满足条件的正整数N 。