重庆市育才中学2019-2020学年九年级上学期数学期末试题(含答案解析)

重庆市育才中学2019-2020学年九年级上学期数学期末试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列数是无理数的是（ ）
A ．32
B ．0
C ．3π
D ．0.2-
【答案】C
【分析】
根据无理数的定义进行判断即可．
【详解】 A. 32
，有理数； B. 0，有理数； C. 3
π，无理数； D. 0.2-，有理数；
故答案为：C ．
【点睛】
本题考查了无理数的问题，掌握无理数的定义是解题的关键．
2．下列运算正确的是（ ）
A ．2x x x -=
B ．22xy y x -=
C ．224
x x x +=
D ．(1)21x x x --=- 【答案】D
【分析】
根据整式的混合运算法则进行计算即可．
【详解】
A. 2x x x -=-，错误；
B. 22xy y xy y -=-，错误；
C. 2222x x x +=，错误；
D. (1)21x x x --=-，正确；
故答案为：D ．
【点睛】
本题考查了整式的混合运算问题，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
3．如图所示几何体的左视图是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【分析】
根据几何体三视图的性质进行判断即可．
【详解】
该几何体的左视图是
故答案为：B ．
【点睛】
本题考查了几何体三视图的问题，掌握几何体三视图的性质是解题的关键．
4．已知线段MN ＝4cm ，P 是线段MN 的黄金分割点，MP ＞NP ，那么线段MP 的长度等于（ ）
A ．（）cm
B ．（2）cm
C ．）cm
D ．1）cm 【答案】B
【分析】
根据黄金分割的定义进行作答.
【详解】
由黄金分割的定义知，
MP MN =MN=4，所以，- 2. 所以答案选B. 【点睛】
本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义是本题解题关键.
5．下列命题正确的是（ ）
A ．长度为5cm 、2cm 和3cm 的三条线段可以组成三角形
B ±4
C ．a 是实数，点()21,2P a +一定在第一象限
D ．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
【答案】C
【分析】
根据三角形三边关系、平方根的性质、象限的性质、平行线的性质进行判断即可．
【详解】
A. 长度为5cm 、2cm 和3cm 的三条线段不可以组成三角形，错误；
B. ±2，错误；
C. a 是实数，点()21,2P a +一定在第一象限，正确；
D. 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，错误；
故答案为：C ．
【点睛】
本题考查了判断命题真假的问题，掌握三角形三边关系、平方根的性质、象限的性质、平行线的性质是解题的关键．
6x 的取值范围为( ) A ．x≥2
B ．x≠3
C ．x ＞2或x≠3
D ．x≥2且x≠3 【答案】D
【分析】
求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件可得关于x 的不等式组，解不等式组即可.
【详解】
2022303x x x x x -≥≥⎧⎧⇒⇒≥⎨⎨-≠≠⎩⎩
且x≠3， 故选D.
7．如图，AB 是圆O 的直径，CD 是圆O 的弦，若35C ∠=︒，则ABD ∠=（ ）
A ．55︒
B ．45︒
C ．35︒
D ．65︒
【答案】A
【分析】 根据同弧所对的圆周角相等可得35BAD C =∠=︒∠，再根据圆直径所对的圆周角是直角，可得90ADB ∠=︒，再根据三角形内角和定理即可求出ABD ∠的度数．
【详解】
∵35C ∠=︒
∴35BAD C =∠=︒∠
∵AB 是圆O 的直径
∴90ADB ∠=︒
∴18055ABD ADB BAD =︒--=︒∠∠∠
故答案为：A ．
【点睛】
本题考查了圆内接三角形的角度问题，掌握同弧所对的圆周角相等、圆直径所对的圆周角是直角、三角形内角和定理是解题的关键．
8．若2350x x --=，则2625x x -+的值为（ ）
A ．0
B ．5
C ．-5
D ．-10
【答案】C
【分析】
将2350x x --=转换成235x x -=的形式，再代入求解即可．
【详解】
2350x x --= 235x x -=
()
22625235x x x x -+=--+ 将235x x -=代入原式中
原式()22352555x x =--+=-⨯+=-
故答案为：C ．
【点睛】
本题考查了代数式的运算问题，掌握代入法是解题的关键．
9．如图，双曲线k y x
=经过Rt BOC ∆斜边上的中点A ，且与BC 交于点D ，若BOD 6S ∆=，则k 的值为（ ）
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
【答案】B
【分析】 设,k A x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据A 是OB 的中点，可得22,k B x x ⎛⎫ ⎪⎝
⎭，再根据BC OC ⊥，点D 在双曲线k y x =上，可得2,2k D x x ⎛⎫ ⎪⎝
⎭，根据三角形面积公式列式求出k 的值即可． 【详解】 设,k A x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭
∵A 是OB 的中点 ∴22,k B x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ∵BC OC ⊥，点D 在双曲线k y x
=上 ∴2,2k D x x ⎛⎫ ⎪⎝
⎭ ∴BOD 112322222
k k S BD OC x k x x ∆⎛⎫=⨯⨯=⨯-⨯= ⎪⎝⎭ ∵BOD 6S ∆= ∴3642
k =÷= 故答案为：B ．
【点睛】
本题考查了反比例函数的几何问题，掌握反比例函数的性质、中点的性质、三角形面积公式是解题的关键．
10．如图，ACB ∆和ECD ∆都是等腰直角三角形，CA CB =，CE CD =，ACB ∆的顶点A 在ECD ∆的斜边DE 上，AB 、CD 交于F ，若6AE =，8AD =，则AF 的长为（ ）
A ．5
B ．407
C ．285
D ．6
【答案】B
【分析】 连接BD ，自F 点分别作FG AD ⊥，FH BD ⊥交AD 、BD 于G 、H 点，通过证明ECA DCB ≅，可得45,6E CDB AE BD ︒∠=∠===，根据勾股定理求出AB 的长度，再根据角平分线的性质可得FG FH =，根据三角形面积公式可得34
BF AF =，代入10AF BF AB +==中即可求出BF 的值．
【详解】
如图，连接BD ，自F 点分别作FG AD ⊥，FH BD ⊥交AD 、BD 于G 、H 点 ∵ACB ∆和ECD ∆都是等腰直角三角形
∴90,45ECD ACB EDC E ︒︒∠=∠=∠=∠=
90ECA ACD DCB ︒∴∠=-∠=∠
在△ECA 和△DCB 中
CA CB ECA DCB CE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
ECA DCB ∴≅
45,6E CDB AE BD ︒∴∠=∠===
45EDC ︒∠=
90ADB EDC CDB ︒∴∠=∠+∠=
在Rt △ADB
中，AB =
8,6AD BD ==
10AB ∴=
45CDB EDC ︒∠=∠=
∴DF 是∠ADB 的角平分线
,FG AD FH BD ⊥⊥
FG FH ∴=
18421632ADF BDF AD FG S AD S BD BD FH ∆⨯∴
====⨯ ∵△ADF 底边AF 上的高h 与△BDF 底边BF 上的高h 相同
142132
ADF BDF AF h S AF S BF BF h ∆∆⨯∴===⨯ 34
BF AF ∴= 10AF BF AB +==
3104AF AF ∴+
= 407
AF ∴= 故答案为：B ．
【点睛】
本题考查了三角形的综合问题，掌握等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质以及判定定理、勾股定理、角平分线的性质、三角形面积公式是解题的关键．
11．关于x 的分式方程8322x a x x
+-=---的解为非负整数，且一次函数()614y a x a =-++的图象不经过第三象限，则满足条件的所有整数a 的和为（ ） A ．22-
B ．12-
C ．14-
D ．8-
【答案】A
【分析】
解分式方程可得2a ≤- 且10a ≠-，再根据一次函数()614y a x a =-++的图象不经过第三象限，可得146a -≤<，结合可得142a -≤≤-，且10a ≠-，再根据a 是整数和24
a x --=是非负整数求出a 的所有值，即可求解． 【详解】
8322x a x x
+-=--- 836x a x ++=-+
24
a x --= 经检验，2x =不是方程的解
∴10a ≠-
∵分式方程的解为非负整数 ∴204
a x --=≥ 解得2a ≤- 且10a ≠-
∵一次函数()614y a x a =-++的图象不经过第三象限
∴60140a a -<⎧⎨+≥⎩
解得146a -≤<
∴142a -≤≤-，且10a ≠-
∵a 是整数
∴14,13,12,11,9,8,7,6,5,43,2a =------------，
∵24
a x --=是非负整数 14,6,2a ∴=---
14(6)(2)22∴-+-+-=-
故答案为：A ．
【点睛】
本题考查了分式方程和一次函数的问题，掌握解分式方程和解不等式组的方法是解题的关键．
12．如图，已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于点A （-1，0），与y 轴的
交点在B （0，-2）和（0，-1）之间（不包括这两点），对称轴为直线1x =，下列结论不正确的是（ ）
A ．930a b c ++=
B ．430b c ->
C ．244ac b a -<-
D ．1536
a << 【答案】D
【分析】 根据二次函数的图象和性质、各项系数结合图象进行解答．
【详解】
∵A （-1，0），对称轴为1x =
∴二次函数与x 轴的另一个交点为()3,0
将()3,0代入()20y ax bx c a =++≠中
093a b c =++，故A 正确
将()()1,0,3,0-代入()20y ax bx c a =++≠中
0093a b c a b c =-+⎧⎨=++⎩
①② ②9-⨯①
0128b c =-
23c b = ∴8143333
b c c c c -=-=- ∵二次函数与y 轴的交点在B （0，-2）和（0，-1）之间（不包括这两点） ∴21c -<<- ∴14303
b c c -=-> ∴430b c ->，故B 正确；
∵二次函数与y 轴的交点在B （0，-2）和（0，-1）之间（不包括这两点）
∴抛物线顶点纵坐标2
414ac b a
-<- ∵抛物线开口向上
∴0a >
∴244ac b a -<-，故C 正确
∵二次函数与y 轴的交点在B （0，-2）和（0，-1）之间（不包括这两点） ∴21c -<<-
将()()1,0,3,0-代入()20y ax bx c a =++≠中
0093a b c a b c =-+⎧⎨=++⎩
①② ①3⨯+②
0124a c =+
3c a =-
∴231a -<-<- ∴1233
a <<，故D 错误，符合题意 故答案为：D ．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的图象与函数解析式的关系，可以根据各项系数结合图象进行解答．
二、填空题
13．分解因式：x 3y ﹣xy 3=_____．
【答案】xy （x+y ）（x ﹣y ）．
【详解】
分析：首先提取公因式xy ，再对余下的多项式运用平方差公式继续分解．
详解：x 3y ﹣xy 3=xy （x 2﹣y 2）=xy （x+y ）（x ﹣y ）．
点睛：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式，要首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
14．如图所示，在ABC ∆中，90C ∠=︒，DE 垂直平分AB ，交BC 于点E ，垂足为点D ，6BE cm =，15B ∠=︒，则AC 等于___________．
【答案】3cm 【分析】
根据三角形内角和定理求出∠BAC ，根据线段垂直平分线性质求出6cm BE AE ==，求出15EAB B ︒∠=∠=，求出∠EAC ，根据含30°角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】
∵在△ABC 中，90,15ACB B ︒︒∠=∠= 901575BAC ︒︒︒∴∠=-=
∵DE 垂直平分AB ，6BE cm =
6cm BE AE ∴==
15EAB B ︒∴∠=∠= 751560EAC ︒︒︒∴∠=-=
90C ︒∠= 30AEC ︒∴∠=
11
6cm 3cm 22
AC AE ∴=
=⨯= 故答案为：3cm ． 【点睛】
本题考查了三角形的边长问题，掌握三角形内角和定理、线段垂直平分线的性质、含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．
15．某班级准备举办“迎鼠年，闹新春”的民俗知识竞答活动，计划A 、B 两组对抗赛方式进行，实际报名后，A 组有男生3人，女生2人，B 组有男生1人，女生4人，若从两组中各随机抽取1人，则抽取到的两人刚好是1男1女的概率是__________． 【答案】
14
25
【分析】
利用列表法把所有情况列出来，再用概率公式求解即可．
根据表格可知共有25种可能的情况出现，其中抽取到的两人刚好是1男1女的有14种情况
∴抽取到的两人刚好是1男1女的概率是14
25
故答案为：1425
． 【点睛】
本题考查了概率的问题，掌握列表法和概率公式是解题的关键．
16．如图，在矩形ABCD 中，AB=2，AD=C 为圆心，以BC 的长为半径画弧交AD 于E ，则图中阴影部分的面积为__________．
【答案】2π+ 【分析】
连接CE ，根据矩形和圆的性质、勾股定理可得2DE =，从而可得△CED 是等腰直角三角形，可得45BCE BCD ECD =-=︒∠∠∠，即可根据阴影部分的面积等于扇形面积加三角形的面积求解即可．
∵四边形ABCD 是矩形，AB=2，AD=
∴2,90AB CD BC AD BCD D ======︒∠ ∵以点C 为圆心，以BC 的长为半径画弧交AD 于E
∴CE BC ==
∴2DE =
∴△CED 是等腰直角三角形 ∴45ECD ∠=︒
∴45BCE BCD ECD =-=︒∠∠∠ ∴阴影部分的面积ECD BCE S S =+△扇形
(2
451
223602
π︒=⨯⨯
+⨯⨯︒ 2π=+
故答案为：2π+．
【点睛】
本题考查了阴影部分面积的问题，掌握矩形和圆的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质、扇形的面积公式、三角形面积公式是解题的关键．
17．甲、乙两车从A 地出发，沿同一路线驶向B 地．甲车先出发匀速驶向B 地，40min 后，乙车出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时．由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了50km/h ，结果与甲车同时到达B 地，甲乙两车距A 地的路程y （km ）与乙车行驶时间x （h ）之间的函数图象如图所示，则下列说法：①0.5a =②甲的速度是60km/h ；③乙出发80min 追上甲；④乙车在货站装好货准备离开时，甲车距B 地150km ；⑤当甲乙两车相距30 km 时，甲的行驶时间为1 h 、3 h 、7
6
h ；其中
正确的是__________．
【答案】②③
【分析】
根据一次函数的性质和该函数的图象对各项进行求解即可．【详解】
∵线段DE代表乙车在途中的货站装货耗时半小时，
∴a=4+0.5=4.5（小时），即①不成立；
∵40分钟=2
3
小时，
∴甲车的速度为460÷（7+2
3
）=60（千米/时），即②成立；
设乙车刚出发时的速度为x千米/时，则装满货后的速度为（x﹣50）千米/时，根据题意可知：4x+（7﹣4.5）（x﹣50）=460，
解得：x=90．
乙车发车时，甲车行驶的路程为60×2
3
=40（千米），
乙车追上甲车的时间为40÷（90﹣60）=4
3
（小时），
4
3
小时=80分钟，即③成立；
乙车刚到达货站时，甲车行驶的时间为（4+2
3
）小时，
此时甲车离B地的距离为460﹣60×（4+2
3
）=180（千米），
即④不成立．
设当甲乙两车相距30 km时，甲的行驶时间为x小时，由题意可得
1）乙车未出发时，即
2
3
x x
-=<
乙
3060x
=
解得
1
2 x=
∵12 23 <
2）乙车出发时间为2
043
x x <-=≤乙 23090603x x ⎛
⎫=-- ⎪⎝
⎭
30906060x x =-- 9030x =
解得3x =
23060903x x ⎛
⎫=-- ⎪⎝
⎭
30609060x x =-+ 3030x =
解得1x =
3）乙车出发时间为2
4 4.53
x x <-
=≤乙 3090460x =⨯- 60330x =
解得 5.5x = ∵
143136
x <≤ 所以不成立
4）乙车出发时间为2
4.573
x x <-
=≤乙 230904+40 4.5603x x ⎛
⎫=⨯--- ⎪⎝
⎭
620
30360+40603
x x =-- 370
203x =
解得376x = 故当甲乙两车相距30 km 时，甲的行驶时间为12
h 、1 h 、3 h 、37
6h ，故⑤不成立
故答案为：②③． 【点睛】
本题考查了两车的路程问题，掌握一次函数的性质是解题的关键．
18．菱形ABCD 边长为4，60ABC ∠=︒，点E 为边AB 的中点，点F 为AD 上一动点，连接EF 、BF ，并将BEF ∆沿BF 翻折得BE F ∆'，连接E C '，取E C '的中点为G ，连接DG ，则1
22
DG E C +'的最小值为_____．
【分析】
取BC 的中点为H ，在HC 上取一点I 使~HIG HGC ，相似比为1
2
，由相似三角形的
性质可得1
2222()2
DG CE DG GI DG GI '+=+=+，即当点D 、
G 、I 三点共线时，DG GI +最小，由点D 作BC 的垂线交BC 延长线于点P ，由锐角三角函数和勾股定理求得DI
的长度，即可根据122()222DH CE DG GI DI '+=+≥==
【详解】
取BC 的中点为H ，在HC 上取一点I 使~HIG HGC ，相似比为1
2
∵G 为CE '的中点
∴1
2
CG CE '=
∵~HIG HGC 且相似比为1
2
2CG GI ∴=，1122
HI HG == 得1
22
CE GI '= 1
2222()2
DG CE DG GI DG GI '∴+=+=+
当点D 、G 、I 三点共线时，DG GI +最小
1
,22
HI CH ==
13222
CI CH HI ∴=-=-
= 由点D 作BC 的垂线交BC 延长线于点P 60ABC ︒∠= 60DCP ︒∴∠=
即sin 604DP DC ︒=⋅==
72
PI PC CI ∴=+=
由勾股定理得
DI ==
122()222DH CE DG GI DI '∴+=+≥==
【点睛】
本题考查了线段长度的最值问题，掌握相似三角形的性质以及判定定理、锐角三角函数、勾股定理是解题的关键．
三、解答题
19．（1）计算(
)2
3sin 601--+︒- （2）解不等式组：()56231531
123x x x x ⎧+>-⎪
⎨-+-≥-⎪⎩ 【答案】（1
）109 （2）143x -<≤ 【分析】
（1）先算乘方、特殊三角函数值、绝对值，再算乘法，最后算加减法即可．
（2）分别解各个一元一次不等式，即可解得不等式组的解集． 【详解】
（1）(
)2
3sin 601--+︒-
119=+
109=
10=
．
（2）()56231531
123x x x x ⎧+>-⎪
⎨-+-≥-⎪⎩
()5623x x +>- 5626x x +>- 312x >-
解得4x >- 1531
123
x x -+-≥- 315626x x ---≥- 721x ≥
解得13
x ≤
故解集为 1
43
x -<≤ ．
【点睛】
本题考查了实数的混合运算和解不等式组的问题，掌握实数的混合运算法则、特殊三角函数值、绝对值的性质、解不等式组的方法是解题的关键．
20．如图，在ABC ∆中，AB AC =，BD 是AC 边上的中线，AE 平分BAC ∠交BC 于点E 、交BD 于点F ，5
cos 13
ABC ∠=
，12AE =．
（1）求AB 的长；
（2）证明：DAE AED ∠=∠； （3）求tan DBC ∠的值．
【分析】
（1）根据等腰三角形三线合一的性质可得,AE BC BE CE ⊥=，结合5cos 13
ABC ∠=，可得5
13
BE AB =，根据勾股定理列式求解即可；
（2）根据直角三角形的斜边中线定理和等边对等角即可证明； （3）通过证明F 是△ABC 的重心，即可得1
43
EF AE ==，根据勾股定理求出BE 的长度，即可在Rt △BEF 中求出tan DBC ∠的值． 【详解】
（1）∵AB AC =，AE 平分BAC ∠交BC 于点E 、交BD 于点F ∴,AE BC BE CE ⊥= ∵5cos 13
ABC ∠=
∴在Rt △ABE 中，5
cos 13
BE ABC AB ∠== ∴5
13
BE AB =
∵12AE =
∴在Rt △ABE 中，222212AE AB BE =-=
∴2
2
2
51213AB AB ⎛⎫-= ⎪⎝⎭
2222221351213AB AB -=⨯ 2221441213AB =⨯ 2213AB =
∵0AB > ∴13AB =；
（2）∵,AE BC ⊥BD 是AC 边上的中线 ∴AD DE CD == ∴DAE AED ∠=∠；
（3）∵AB AC =，AE 平分BAC ∠交BC 于点E 、交BD 于点F ∴AE 是BC 边上的中线 ∵BD 是AC 边上的中线 ∴F 是△ABC 的重心
∴1
43
EF AE =
=
∴5BE = ∴在Rt △BEF 中，5,4BE EF == ∴4tan 5
DBC =∠． 【点睛】
本题考查了三角形的综合问题，掌握等腰三角形三线合一的性质、勾股定理、锐角三角函数、三角形重心的性质是解题的关键．
21．某企业为了解饮料自动售卖机的销售情况，对甲、乙两个城市的饮料自动售卖机进行抽样调查，从两个城市中所有的饮料自动售卖机中分别抽取16台，记录下某一天各自的销售情况（单位：元）如下：
甲：25、45、38、22、10、28、61、18、38、45、78、45、58、32、16、78 乙：48、52、21、25、33、12、42、39、41、42、33、44、33、18、68、72 整理、描述数据：对销售金额进行分组，各组的频数如下：
分析数据：两组样本数据的平均数、中位数如下表所示：
（1）填空：a=， b=， c=， d=．
（2）两个城市目前共有饮料自动售卖机4000台，估计日销售金额不低于40元的数量约为多少台？
（3）根据以上数据，你认为甲、乙哪个城市的饮料自动售卖机销售情况较好？请说明理由（一条理由即可）．
【答案】（1）6，2，38，33 （2）1875 （3）见解析（答案不唯一） 【分析】
（1）根据某一天各自的销售情况求出a b 、的值，根据中位数的定义求出c 的值，根据众数的定义求出d 的值．
（2）用样本估算整体的方法去计算即可． （3）根据平均数、众数、中位数的性质判断即可． 【详解】
（1）623833a b c d ====，，，． （2）78
400018751616
+⨯
=+（台）
故估计日销售金额不低于40元的数量约为1875台．
（3）可以推断出甲城市的饮料自动售货机销售情况较好，理由如下：
①甲城市饮料自动售货机销售金额的平均数较高，表示甲城市的销售情况较好； ②甲城市饮料自动售货机销售金额的众数较高，表示甲城市的销售金额较高； 可以推断出乙城市的饮料自动售货机销售情况较好，理由如下：
①乙城市饮料自动售货机销售金额的中位数较高，表示乙城市销售金额高的自动售货机数量较多； 【点睛】
本题考查了概率统计的问题，掌握平均数、众数、中位数的性质、样本估算整体的方法是解题的关键．
22．小涛根据学习函数的经验，对函数2y ax x =-的图像与性质进行了探究，下面是小涛的探究过程，请补充完整： （1）下表是x 与y 的几组对应值
请直接写出：a =
， m=
， n=
；
（2）如图，小涛在平面直角坐标系中，描出了上表中已经给出的部分对应值为坐标的点，再描出剩下的点，并画出该函数的图象； （3）请直接写出函数2y ax x =-的图像性质：
；（写出一条即可）
（4）请结合画出的函数图象，解决问题：若方程2ax x t -=有三个不同的解，请直接写出t 的取值范围．
【答案】（1）1，1，0 （2）作图见解析 （3）必过点()()0,02,0和．（答案不唯一） （4）01t << 【分析】
（1）根据待定系数法求出a 的值，再代入1x =和2x =，即可求出m 、n 的值；
（2）根据描点法画出函数的图象即可；
（3）根据（2）中函数的图象写出其中一个性质即可；
（4）利用图象法，可得函数2y x x =-与y t =有三个不同的交点，根据二次函数的性质求解即可． 【详解】
（1）将()1,3--代入2y ax x =-中
312a -=--- 33a -=-
解得1a = ∴2y x x =-
当1x =时，121m =-= 当2x =时，2220n =⨯-=； （2）如图所示；
（3）必过点()()0,02,0和； （4）设直线y t =，由（1）得1a = ∵方程2x x t -=有三个不同的解
∴函数2y x x =-与y t =有三个不同的交点
根据图象即可知，当方程2x x t -=有三个不同的解时，01t << 故01t << ．
【点睛】
本题考查了函数的图象问题，掌握待定系数法、描点法、图象法、二次函数的性质是解题的关键．
23．2019年，中央全面落实“稳房价”的长效管控机制，重庆房市较上一年大幅降温，11月，LH 地产共推出了大平层和小三居两种房型共80套，其中大平层每套面积180平方米，单价1．8万元/平方米，小三居每套面积120平方米，单价1．5万元/平方米． （1）LH 地产11月的销售总额为18720万元，问11月要推出多少套大平层房型？ （2）2019年12月，中央经济会议上重申“房子是拿来住的，不是拿来炒的”，重庆房市成功稳定并略有回落．为年底清盘促销，LH 地产调整营销方案，12月推出两种房型的总数量仍为80套，并将大平层的单价在原有基础上每平方米下调m 10万元(m>0)，将小三居的单价在原有基础上每平方米下调
20
m
万元，这样大平层的销量较(1)中11月的销量上涨了7m 套，且推出的房屋全部售罄，结果12月的销售总额恰好与(1)中I1月的销售总额相等．求出m 的值． 【答案】（1）30 （2）2 【分析】
（1）设推出大平层x 套，小三居y 套，根据题意列出方程求解即可；
（2）由题意得，12月大平层推出()307m +套，单价为21.8/10m m ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭，12月小三居推
出()507m -套，单价为21.5/20m m ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭，根据题意列出方程求解即可．
【详解】
（1）解：设推出大平层x 套，小三居y 套，由题意得
80180 1.8120 1.518720x y x y +=⎧⎨
⨯+⨯=⎩
①
② ②18-⨯①
14.4432x =
30x =
故11月要推出30套大平层房型；
（2）解：由题意得，12月大平层推出()307m +套，单价为21.8/10m m ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭，12月小三
居推出()507m -套，单价为21.5/20m m ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭
∴()()30+7180 1.8507120 1.5187201020m m m m ⎛⎫⎛
⎫⨯⨯-+-⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
22
217162937.81505213121010m m m m m m -+-+--+=
2
142.8010
m m -=
228140m m -=
()1420m m -=
解得0m =或2m = ∵0m > ∴2m =． 【点睛】
本题考查了一元一次方程组和一元二次方程的实际应用，掌握解一元一次方程组和一元二次方程的方法是解题的关键．
24．如图1，若二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴交于点A （-1，0）、B ，与y 轴交于点C （0，4），连接AC 、BC ，且抛物线的对称轴为直线3
2
x =
．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点P 是抛物线在一象限内BC 上方一动点，且点P 在对称轴的右侧，连接PB 、
PC ，是否存在点P ，使3
5
PBC ABC S S ∆∆=？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由；
（3）如图2，若点Q 是抛物线上一动点，且满足45QBC ACO ∠=︒-∠，请直接写出点Q 坐标．
【答案】（1）234y x x =-++ （2）存在，(3,4)P （3）
Q 点的坐标为(3,4)或39,416⎛
⎫
- ⎪⎝⎭
【分析】
（1）根据抛物线的对称性求出(4,0)B ，再利用待定系数法求解即可；
（2）连接OP ，设()
2
,34P m m m -++，根据三角形面积的关系可得2286m m -+=，即
可求出P 点的坐标；
（3）分两种情况：①当Q 在BC 的上方时，过C 作//CD BQ 交AB 于D ；②当Q 在BC 的下方时，连接BQ 交y 轴于点E ，根据全等三角形的性质联立方程求解即可． 【详解】
（1）∵抛物线的对称轴为直线()3
,1,02x A =-
(4,0)B ∴
016404a b c a b c c -+=⎧⎪
∴++=⎨⎪=⎩
解得134a b c =-⎧⎪
=⎨⎪=⎩
234y x x ∴=-++；
（2）连接OP
(1,0),(4,0)A B - 4(1)5AB ∴=--=
(0,4)C
4OC ∴=
1
54102
ABC
S
∴=⨯⨯= 设()
2
,34P m m m -++
BCP
OBP
OCP
OBC
S
S
S
S
∴=+-
()
2111
434444222
m m m =⨯⨯-+++⨯⨯-⨯⨯
226828m m m =-+++-
228m m =-+ 33
1065
5
PBC
ABC
S
S ==⨯= 2286m m ∴-+=
121,3m m ∴==
∵P 在对称轴的右侧
3m ∴=
(3,4)P ∴；
（3）①当Q 在BC 的上方时，过C 作//CD BQ 交AB 于D
CBQ BCD ∴∠=∠
45QBC ACO ︒∠+∠=
45BCD ACO ︒∴∠+∠= (4,0),(0,4),(1,0)B C A -
,1OB OC OA ∴==
45OBC OCB ︒∴∠=∠= 45OCD BCD ︒∴∠+∠=
OCA OCD ∴∠=∠
,AOC DOC OC OC ∠=∠= ()AOC DOC ASA ∴≅
1OD OA ∴==
(1,0)D ∴
设CD 的解析式为11y k x b =+
11
204k b b +=⎧∴⎨=⎩
1144k b =-⎧∴⎨=⎩ 44y x ∴=-+ //BQ CD
∴设BQ 的解析式为4y x b =-+
160b ∴-+= 16b ∴=
416y x ∴=-+
解得121234
40x x y y ⎧==⎧⎪⎨⎨==⎪⎩⎩， (3,4)Q ∴
②当Q 在BC 的下方时，连接BQ 交y 轴于点E
4545QBC ACO QBC OBE OBC ︒︒∠+∠=∠+∠=∠=，
OBE ACO ∴∠=∠
90,AOC BOE OB OC ︒∠=∠== ()OBE OCA ASA ∴≅
1OE OA ∴==
(0,1)E ∴
设BE 的解析式为22y k x b =+
222401k b b +=⎧∴⎨=⎩ 22141
k b ⎧
=-⎪∴⎨⎪=⎩ 1
14
y x ∴=-+
2341
1
4y x x y x ⎧=-++⎪∴⎨=-+⎪⎩
解得122134
40916x x y y ⎧=-⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=
⎪⎩， 39,416Q ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭
综上所述，Q 点的坐标为(3,4)或39,
416⎛
⎫
- ⎪⎝⎭
．
【点睛】
本题考查了二次函数的综合问题，掌握二次函数的性质、待定系数法、三角形面积公式、一次函数的性质、全等三角形的性质、平行线的性质、解方程组的方法是解题的关键． 25．平行四边形ABCD 中，点E 为BC 上一点，连接DE 交对角线AC 于点F ，点G 为DE 上一点，AH DE ⊥于H ，2BC AG =且ACE GAC ∠=∠，点M 为AD 的中点，连接MF ；若75DFC ∠=︒．
（1）求MFD ∠的度数； （2
）求证：GF GH += 【答案】（1）30° （2）证明见解析 【分析】
（1）通过平行四边形的性质、中点的性质、平行线的性质去证明()AFG AFM SAS ≅，可得,75FG FM AFG AFM DFC ︒=∠=∠=∠=，再根据180()MFD AFG AFM ︒∠=-∠+∠求解即可；
（2）延长FE 至点N ，使GN FG =，连接AN ，通过证明()AGN DMF SAS ≅，可得30ANH DFM ︒∠=∠=
，再根据特殊角的锐角三角函数值，即可得证
GN GH GF GH +=+=．
【详解】
（1）∵四边形ABCD 为平行四边形
AD BC ∴=
2BC AG =
2AD AG ∴=
∵M 为AD 的中点
22AD AM DM ∴==
AG AM DM ∴== //AD BC ACE CAM ∴∠=∠
即ACE FAM ∠=∠
ACE GAC ∠=∠
CAG FAM ∴∠=∠即FAG FAM ∠=∠
AF AF =
()AFG AFM SAS ∴≅
,75FG FM AFG AFM DFC ︒∴=∠=∠=∠= 180()30MFD AFG AFM ︒︒∴∠=-∠+∠=；
（2）延长FE 至点N ，使GN FG =，连接AN ，由（1）知，,FG FM AGF AMF =∠=∠ ,GN FM AGN CMF ∴=∠=∠
AG DM =
()AGN DMF SAS ∴≅
30ANH DFM ︒∴∠=∠=
AH DE ⊥
HN ∴=
GN GH GF GH ∴+=+=．
【点睛】
本题考查了平行四边形的综合问题，掌握平行四边形的性质、平行线的性质、全等三角形的性质以及判定定理、特殊三角函数值是解题的关键．
26．平面直角坐标系中有两点()11,A x y 、()22,B x y ，我们定义A 、B 两点间的“k 值”直角距离为(),k d A B ，且满足()1212,k d A B k x x y y =-+-，其中0k >．小静和佳佳在解决问题：（求点()0,0O 与点()2,5M 的“1值”直角距离()1,d O M ）时，采用了两种不同的方法：
（方法一）：()1,120507d O M =⨯-+-=；
（方法二）：如图1，过点M 作MN x ⊥轴于点N ，过点M 作直线7y x =-+与x 轴交于点E ，则()1,7d O M ON MN OE =+==
请你参照以上两种方法，解决下列问题：
（1）已知点()2,1P -，点()2,3Q ，则P 、Q 两点间的“2值”直角距离()2,d P Q =．
（2）函数()40y x x
=<的图像如图2所示，点C 为其图像上一动点，满足,O C 两点间的“k 值”直角距离(),5k d O C =，且符合条件的点C 有且仅有一个，求出符合条件的“k 值”和点C 坐标．
（3）城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走，因此，两地之间修建垂直和平行的街道常常转化为两点间
的“k 值”直角距离，
B 地位于A 地的正东方向上，
C 地在A 点东北方向上且相距，
以C 为圆心修建了一个半径为的圆形湿地公园，现在要在公园和A 地之间修建观光步道．步道只能东西或者南北走向，并且东西方向每千米成本是20万元，南北方向每千米的成本是10万元，问：修建这一规光步道至少要多少万元？
【答案】（1）10 （2）2516k =，85,52C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
（3）900- 【分析】 （1）根据直角距离的公式，直接代入求解即可；
（2）设点C 的坐标为()4,,0x x x ⎛⎫< ⎪⎝⎭
，代入直角距离公式可得2540kx x ---=根据根的判别式求出k 的值，即可求出点C 的坐标；
（3）如图，⊙C 与线段AC 交于点D ，过点D 作DE AE ⊥与AB 交于点E ，先证明△ADE
是等腰直角三角形，从而得出30AE DE ==-，再根据直角距离的定义，即可求出出最低的成本．
【详解】
（1）∵()1212,k d A B k x x y y =-+-，点()2,1P -，点()2,3Q
∴()2,222138210d P Q =⨯--+-=+=；
（2）设点C 的坐标为()4,,0x x x ⎛⎫< ⎪⎝⎭
∵(),5k d O C =
∴()4,5k d O C k x x =+
= ∵0x < ∴45kx x
--= ∴2540kx x ---=
∵符合条件的点C 有且仅有一个，且0k >
∴()()()254425160k k =--⨯-⨯-=-=△ 解得2516k =
∴22554016
x x ---= 22554016
x x ++=
2
5204x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
解得85
x =- ∴85,52C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
故2516k =，85,52C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭； （3）如图，⊙C 与线段AC 交于点D ，过点D 作DE AE ⊥与AB 交于点E
由题意得45AC CD CAE ===︒，，∠
∴AD AC CD =-=
∵DE AE ⊥
∴△ADE 是等腰直角三角形
∴30
AE DE ====- ∵步道只能东西或者南北走向，并且东西方向每千米成本是20万元，南北方向每千米的成本是10万元
∴步道的最短距离为A 和D 的直角距离，即AE DE +
最低总成本((30203010900=-⨯+-⨯=-
故修建这一规光步道至少要900-万元． 【点睛】
本题考查了直角距离的问题，掌握直角距离的定义以及公式、根的判别式、解一元二次方程的方法是解题的关键．。