黑龙江省虎林市2017届高三上学期期末考试数学(文)试题 含答案

文科数学试题
第Ⅰ卷（选择题 60分）
一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.）
1.设集合()(){}|120A x x x =+-<，集合{}|13B x x =<<，则A B =U （ ）．
A ．{}|13x x -<<
B ．{}|11x x -<<
C ．{}|12x x <<
D ．{}|23x x <<
2.已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，()(),20P m m m -≠是角α终边上的一点，则tan 4πα⎛
⎫+ ⎪⎝⎭
的值为（ ）． A ．3 B ．13 C ．13
- D ．-3 3.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：3：3，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则从高二年级抽取的学生人数为（ ）．
A ．15
B ．20
C ．25
D ． 30
4.已知实数,x y 满足不等式组60220y x x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≥⎩
，且2z x y =+的最小值为m ，最大值为n ，则m n +=
（ ）．
A ．15
B ．16 C.17 D ．18
5.已知,a b v v 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么3a b +=v v （ ）．
A 1013．13
6.已知向量,a b v v 的夹角为120°，且2,3a b ==v v ，则向量23a b +v v 在向量2a b +v v 方向上的投影为（ ）．
A ．8313
B ．61313 C. 66 D ．1313 7.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）．
A ．73
B ．83π- C. 83 D ．73
π- 8.已知双曲线()22
22:10,b 0x y C a a b
-=>>的左、右焦点分别为12,,F F O 为坐标原点. P 是双曲线在第一象限上的点，直线2,,,PO PF A B 分别交双曲线C 左、右支于另一点,M N .若122PF PF =，且0260MF N ∠=，则双曲线C 的离心率为（ ）．
A 2
B 37 D ．33
9.已知命题:p x R ∃∈，使23x x >；命题:0,,tan sin 2q x x x π⎛
⎫∀∈> ⎪⎝⎭
，下列真命题的（ ）． A ．()p q ⌝∧ B ．()()p q ⌝∨⌝ C. ()p q ∧⌝ D ．()p q ∨⌝
10.已知抛物线2
4y x =的焦点为F ，为抛物线上的两点，若3,AF FB O =u u u v u u u v 为坐标原点，则AOB ∆的面积（ ）．
A 38343 D 23 11.为了得到cos 2y x =，只需要将sin 23y x π⎛
⎫=+
⎪⎝⎭作如下变换（ ）． A ．向右平移3π个单位 B ．向右平移6
π个单位 C. 向左平移12π个单位 D ．向右平移12
π个单位 12.若实数,,,a b c d 满足()()2223ln 20b a a c d +-+-+=，则()()22
a c
b d -+-的最小值为（ ）． A 2 B ．2 C. 22．8
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸的横线上．）
13.函数()2
2ln f x x x =-的单调递减区间是 ． 14.在ABC ∆中，226cos a b ab C +=且2sin 2sin sin C A B =，则角C 的大小为 ．
15.已知直三棱柱111ABC A B C -（侧棱垂直于底面）的各顶点都在球O 的球面上，且
3AB AC BC ===，若三棱柱111ABC A B C -的体积等于92
，则球O 的体积为 ． 16.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且{}211,n n a S n a =-为常数列，则n a = ．
三、解答题（本大题共6个小题，第22、23题每题10分，其余各题每题12分，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17. 在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且
2cos cos b c C a A -=． （1）求角A 的大小；
（2）若函数3sin sin 6y B C π⎛⎫=+- ⎪⎝
⎭的值域． 18. 已知长方体1111ABCD A B C D -中，12,1,E AD AB AA ===为11C D 的中点.
（1）在所给图中画出平面1ABD 与平面1B CE 的交线（不必说明理由）
（2）证明：1//BD 平面1B CE ；
（3）求点1C 到平面1B CE 的距离.
19.在平面直角坐标系xOy 中，直线20x y -+=截以原点O 为圆心的圆所得的弦长为22
（1）求圆O 的方程；
（2）若直线l 与圆O 切于第一象限，且与坐标轴交于点,D E ，求DE 的最小值及此时直线l 的方程.
20.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b
+=>>22，经过椭圆的
左顶点()30A -，作斜率为()0k k ≠的直线l 交椭圆C 于点D ，交y 轴点E .
（1）求椭圆C 的方程；
（2）已知点P 为线段AD 的中点，//OM l ，并且OM 交椭圆C 与点M ，求
4AD AE OM
+的最小值. 21.设函数()2ln f x x bx a x =+-. （1）若1,0a b ==，求函数()f x 的极值；
（2）若2x =是函数()f x 的极值点，1和0x 是函数()f x 的两个不同零点，且()0,1,x n n n N ∈+∈，求n ；
（3）若对任意[]2,1b ∈--，都存在()1,x e ∈，使得()0f x <成立产，求实数a 的取值范围.
22.在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线1C 的参数方程为233x y θθ
⎧=+⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），曲线2C 的极坐标方程为()6R πθρ=∈， （1）求曲线1C 的普通方程，曲线2C 的直角坐标方程；
（2）曲线1C 与2C 相交于,A B 两点，点(3P ，求PA PB -的值.
23.设函数()22,f x x x x R =++-∈.不等式()6f x ≤的解集为M .
（1）求M ；
（2）当,a b M ∈33b ab +≤+.
试卷答案 一、选择题
1-5: ACAAAA 6-10: DCBDC 11
、12：CD 二、填空题
13.()0,1 14.
3π 15. 323π 16.
()21n n + 三、解答题
17.解：（1）∵2cos cos b c C a A -=，∴()2sin sin cos sin cos B C A A C -=， ∴()2sin cos sin cos sin cos sin sin B A A C C A A C B =+=+=，
∴23sin 3cos 2sin 366y B B B B B πππ⎛⎫⎛⎫=+--=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭……………………8分 ∵ABC ∆为锐角，∴02B π
<<；02C π
<<，∴62B π
π
<<…………………………10分
3sin 16B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝
⎭，∴函数3sin 6y B C π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的值域为32⎤⎦，……………………12分 18.（1）（2）略，（3）
23 19.（1）224x y +=；（2）DE 最小值为4，l 的直线方程为220x y +-=.
20.（1）2
219
x y +=；（2）26； 21.（1）当2x =
时，()f x 有极小值122-，无极大值； （2）（3）略.
22.（1）()22123:23,:3
C x y C y x -+==； （2）22PA PB -=23.解：（1）原不等式226x x ++-≤等价于
226x x ≤-⎧⎨-≤⎩或2246x -≤≤⎧⎨≤⎩或226x x ≥⎧⎨≤⎩，解得33x -≤≤，∴[]3,3M =-…………………5分 （2）证明：当,a b M ∈，即33,33a b -≤≤-≤≤时，
33a b ab +≤+g ，即证()()22
33a b ab +≤+，
∵
()()()()()()22
2222222222333269339330a b ab a ab b a b ab a b a b a b +-+=++-++=+--=--≤，
3b ab +≤+………………………………………………10分。