福建省福州市福州师范大学附属中学2025届高三第四次模拟考试数学试卷含解析

福建省福州市福州师范大学附属中学2025届高三第四次模拟考试数学试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知圆1C ：2
2
(1)(1)1x y -++=，圆2C ：2
2
(4)(5)9x y -+-=，点M 、N 分别是圆1C 、圆2C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则PN PM -的最大值是（ ）
A ．4
B ．9
C ．7
D ．2
2．在四边形ABCD 中，//AD BC ，2AB =，5AD =，3BC =，60A ∠=︒，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，点M 在边CD 所在直线上，则AM ME ⋅的最大值为（ ） A ．71
4
-
B ．24-
C ．514
-
D ．30-
3．在区间[]3,3-上随机取一个数x ，使得301
x
x -≥-成立的概率为等差数列{}n a 的公差，且264a a +=-，若0n a >，则n 的最小值为（ ） A ．8
B ．9
C ．10
D ．11
4．已知各项都为正的等差数列{}n a 中，23415a a a ++=，若12a +，34a +，616a +成等比数列，则10a =（ ） A ．19
B ．20
C ．21
D ．22
5．已知平面α和直线a ，b ，则下列命题正确的是（ ） A ．若a ∥b ，b ∥α，则a ∥α B ．若a b ⊥，b α⊥，则a ∥α C ．若a ∥b ，b α⊥，则a α⊥
D ．若a b ⊥，b ∥α，则a α⊥
6．已知偶函数()f x 在区间(],0-∞内单调递减，(
a f =，sin 5
b f π⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，2
314c f ⎛⎫⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则a ，b ，
c 满足（ ）
A ．a b c <<
B ．c a b <<
C ．b c a <<
D ．c b a <<
7．已知向量()()1,3,2a m b ==-，，且()a b b +⊥，则m =( ) A ．−8 B ．−6
8．双曲线()2
21x y m c m
-=>的一条渐近线方程为20x y +=，那么它的离心率为（ ）
A ．3
B ．5
C ．
62
D ．
52
9．过双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左焦点作倾斜角为30的直线l ，若l 与y 轴的交点坐标为()0,b ，则该双曲
线的标准方程可能为（ ）
A ．2
212x y -=
B ．2
213x y -=
C ．2
214x y -=
D ．22
132
x y -=
10．若0.60.5a ＝,0.50.6b ＝,0.52c ＝,则下列结论正确的是( ) A ．b c a >>
B ．c a b >>
C ．a b c >>
D ．c b a >>
11．秦九韶是我国南宁时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入
n 、x 的值分别为3、1，则输出v 的值为（ ）
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
12．已知函数()3sin cos f x x m x =+，其图象关于直线3
x π
=对称，为了得到函数2()3cos2g x m x =+的图象，
只需将函数()f x 的图象上的所有点（ ） A ．先向左平移
6
π
个单位长度，再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变 B ．先向右平移
6π
个单位长度，再把所得各点横坐标缩短为原来的12
，纵坐标保持不变 C ．先向右平移
3
π
个单位长度，再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变 D ．先向左平移
3π
个单位长度，再把所得各点横坐标缩短为原来的12
，纵坐标保持不变 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知函数()2
44f x x x =--.若
()1f x <在区间()1,2m m --上恒成立.则实数m 的取值范围是__________．
14．平行四边形ABCD 中，60,4,2BAD AB AD ∠=︒==，E 为边CD 上一点（不C D 、与重合），将平行四边形
ABCD 沿BE 折起，使五点,,,,A B C D E 均在一个球面上，当四棱锥C ABED -体积最大时，球的表面积为________.
15．在平面直角坐标系
中，已知
，若圆
上有且仅有四个不同的点C ，使得△ABC 的面
积为5，则实数a 的取值范围是____.
16．若点(cos ,sin )P αα在直线2y x =上，则cos(2)2
π
α+
的值等于______________ .
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）如图，在三棱柱ADF BCE -中，平面ABCD ⊥平面ABEF ，侧面ABCD 为平行四边形，侧面ABEF 为正方形，AC AB ⊥，24AC AB ==，M 为FD 的中点.
（1）求证：//FB 平面ACM ； （2）求二面角M AC F --的大小.
18．（12分）在ABC 中， 角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ， 其中a c <，222
cos()
sin cos b c a B C bc C C
+--+=
. （1）求角C 的值；
（2）若45c =，272a =，D 为AC 边上的任意一点，求2AD BD +的最小值.
19．（12分）设数列{}n a 的前n 项和n S 满足2n n S na n =+，n ∈+N ，22a =， （1）证明：数列{}n a 是等差数列，并求其通项公式﹔ （2）设111
n n
n n n
b a a a a ++=
+，求证：121n n T b b b =++
+<.
20．（12分）在ABC ∆中，3
B π
∠=
，7b =， .求BC 边上的高.
①21
sin 7
A =
，②sin 3sin A C =，③2a c -=，这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答. 21．（12分）已知等腰梯形ABCD 中（如图1），4AB =，2BC CD DA ===，F 为线段CD 的中点，E 、M 为线段AB 上的点，1AE EM ==，现将四边形AEFD 沿EF 折起（如图2）
（1）求证：//AM 平面BCD ；
（2）在图2中，若6BD =，求直线CD 与平面BCFE 所成角的正弦值. 22．（10分）在ABC ∆中，内角,,A B C 的边长分别为,,a b c ，且2c =．
（1）若π
A 3
=
，3b =，求sin C 的值； （2）若22sin cos
sin cos 3sin 22B A A B C +=，且ABC ∆的面积25sin 2
S C =，求a 和b 的值． 参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

【解析】
试题分析：圆()()221111C x y -++=：的圆心(11)E -，
，半径为1，圆()()22
2459C x y -+-=：的圆心(45)F ，，半径是3．要使PN PM -最大，需PN 最大，且PM 最小，PN 最大值为3,PF PM +的最小值为1PE -，故
PN PM -最大值是()() 314PF PE PF PE +--=-+;(45)F ，
关于x 轴的对称点(45)F '-，，
5PF PE PF PE EF -='-≤'==，故4PF PE -+的最大值为549+=，故选B ．
考点：圆与圆的位置关系及其判定．
【思路点睛】先根据两圆的方程求出圆心和半径，要使|PN PM -最大，需PN 最大，且PM 最小，PN 最大值为3,PF PM +的最小值为1PE -，故PN PM -最大值是()()
314PF PE PF PE +--=-+，再利用对称性，求出所求式子的最大值． 2、A 【解析】
依题意，如图以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，根据AE BE =求出E 的坐标，求出边CD 所
在直线的方程，设(,M x +，利用坐标表示,AM ME ，根据二次函数的性质求出最大值. 【详解】
解：依题意，如图以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，由2AB =，5AD =，3BC =，60A ∠=︒，
()
0,0A ∴，(B ，(C ，()5,0D
因为点E 在线段CB 的延长线上，设(0E x ，01x <
AE BE =
()2
2
2001x x +
=-解得01x =-
(
E ∴-
(4,3C ，()5,0D
CD ∴所在直线的方程为y =+
因为点M 在边CD 所在直线上，故设(
,M x +
(
,AM x ∴=+ (
1E x M -=--
()(
)()
3433531AM ME x x x x --∴⋅=--++
242660x x =-+- 242660x x =-+-
2
3714144x ⎛⎫= ⎪⎭---⎝
当13
4
x =
时()
max
714
AM ME ⋅=-
故选：A
【点睛】
本题考查向量的数量积，关键是建立平面直角坐标系，属于中档题. 3、D 【解析】
由题意，本题符合几何概型，只要求出区间的长度以及使不等式成立的x 的范围区间长度，利用几何概型公式可得概率，即等差数列的公差，利用条件2642a a a +=，求得42a =-，从而求得1033
n n
a =-+，解不等式求得结果. 【详解】
由题意，本题符合几何概型，区间[]3,3-长度为6，
使得
301x
x -≥-成立的x 的范围为(]1,3，区间长度为2， 故使得
301
x x -≥-成立的概率为21
63d ==，
又26442a a a +=-=，42a ∴=-，()11024333
n n a n ∴=-+-⨯=-+， 令0n a >，则有10n >，故n 的最小值为11， 故选：D. 【点睛】
该题考查的是有关几何概型与等差数列的综合题，涉及到的知识点有长度型几何概型概率公式，等差数列的通项公式，属于基础题目. 4、A 【解析】
试题分析：设公差为234331111,3152552(2)(516)d a a a a a a d a d a a d ++==⇒=+=⇒=-⇒+++
2(72)(321)81272202d d d d d =-+=⇒+-=⇒=或11
2
d =-
（舍），故选A.
考点：等差数列及其性质. 5、C 【解析】
根据线面的位置关系，结合线面平行的判定定理、平行线的性质进行判断即可. 【详解】
A ：当a α⊂时，也可以满足a ∥b ，b ∥α，故本命题不正确；
B ：当a α⊂时，也可以满足a b ⊥，b α⊥，故本命题不正确；
C ：根据平行线的性质可知：当a ∥b ，b α⊥，时，能得到a α⊥，故本命题是正确的；
D ：当a α⊂时，也可以满足a b ⊥，b ∥α，故本命题不正确. 故选：C 【点睛】
本题考查了线面的位置关系，考查了平行线的性质，考查了推理论证能力. 6、D 【解析】
首先由函数为偶函数，可得函数()f x 在[)0,+∞内单调递增，再由2
log 3sin 5π⎛⎫>- ⎪⎝⎭2
3
14⎛⎫> ⎪⎝⎭
，即可判定大小
【详解】
因为偶函数()f x 在(],0-∞减，所以()f x 在[)0,+∞上增，
1
>，
1
sin,1
52
π
⎛⎫⎛⎫
-∈
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，
2
3
11
0,
42
⎛⎫⎛⎫
∈
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，∴c b a
<<.
故选：D
【点睛】
本题考查函数的奇偶性和单调性,不同类型的数比较大小,应找一个中间数,通过它实现大小关系的传递，属于中档题.
7、D
【解析】
由已知向量的坐标求出a b
+的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案．
【详解】
∵(1,),(3,2),(4,2)
a m
b a b m
==-∴+=-，又()
a b b
+⊥，
∴3×4+（﹣2）×（m﹣2）＝0，解得m＝1．
故选D．
【点睛】
本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，属于基础题．
8、D
【解析】
根据双曲线()
2
21
x
y m c
m
-=>的一条渐近线方程为20
x y
+=，列出方程，求出m的值即可.
【详解】
∵双曲线()
2
21
x
y m c
m
-=>的一条渐近线方程为20
x y
+=，
1
2
=，∴4
m=，
∴双曲线的离心率
c
e
a
==.
故选：D.
【点睛】
本小题主要考查双曲线离心率的求法，属于基础题.
9、A
【解析】
直线l 的方程为)y x c =+，令0x =，得y =，得到a,b 的关系，结合选项求解即可 【详解】
直线l 的方程为()3y x c =+，令0x =，得3y c =.因为3
c b =，所以22222232a c b b b b =-=-=，只有选项A 满足条件. 故选：A 【点睛】
本题考查直线与双曲线的位置关系以及双曲线的标准方程，考查运算求解能力. 10、D 【解析】
根据指数函数的性质，取得,,a b c 的取值范围，即可求解，得到答案. 【详解】
由指数函数的性质，可得0.50.50.610.60.50.50>>>>，即10b a >>>， 又由0.512c =>，所以c b a >>. 故选：D. 【点睛】
本题主要考查了指数幂的比较大小，其中解答中熟记指数函数的性质，求得,,a b c 的取值范围是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题. 11、B 【解析】
列出循环的每一步，由此可得出输出的v 值. 【详解】
由题意可得：输入3n =，1x =，2v =，3m =；
第一次循环，2135v =⨯+=，312m =-=，312n =-=，继续循环； 第二次循环，5127v =⨯+=，211m =-=，211n =-=，继续循环； 第三次循环，7118v =⨯+=，110m =-=，110n =-=，跳出循环； 输出8v =. 故选：B.
本题考查根据算法框图计算输出值，一般要列举出算法的每一步，考查计算能力，属于基础题. 12、D 【解析】
由函数()f x 的图象关于直线3
x π
=对称，得1m =，进而得(
)cos 2sin 2cos 63f x x x x x ππ⎛
⎫
⎛
⎫=+=+
=- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
，再利用图像变换求解即可 【详解】
由函数()f x 的图象关于直线3
x π
=
对称，得3f π⎛⎫=
⎪⎝⎭
322m +=1m =，所以(
)cos 2sin 2cos 63f x x x x x ππ⎛⎫⎛
⎫=+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，()2cos2g x x =，故只需将函数()f x 的图象上的所有点“先
向左平移3π个单位长度，得2cos ,y x =再将横坐标缩短为原来的1
2
，纵坐标保持不变,得()2cos2g x x =”即可. 故选：D 【点睛】
本题考查三角函数的图象与性质，考查图像变换，考查运算求解能力，是中档题
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭
【解析】 首先解不等式()1f x <，再由()1f x <在区间()1,2m m --上恒成立，即()()1,21,5m m --⊆-得到不等组，解得即
可. 【详解】 解：()244f x x x =--且()1f x <，即2441x x --<解得15x -<<，即()1,5x ∈-
因为
()1f x <在区间()1,2m m --上恒成立，()()1,21,5m m ∴--⊆-
111225
m m m m -≤-⎧⎪∴-<-⎨⎪-≤⎩
解得103x ≤<即10,3x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭
故答案为：10,3⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
本题考查一元二次不等式及函数的综合问题，属于基础题.
14、523
π 【解析】
依题意可得A 、B 、E 、D 四点共圆，即可得到120BED ︒∠=，从而得到三角形BCE 为正三角形，利用余弦定理可得AE ，且AE BE ⊥，要使四棱锥C ABED -体积最大，当且仅当面BCE ⊥面ABED 时体积取得最大值，利用
正弦定理求出BCE ∆的外接圆的半径，再又可证AE ⊥面BCE ，则外接球的半径R =，即可求出球的表面积；
【详解】
解：依题意可得A 、B 、E 、D 四点共圆，
所以180BED BAD ︒∠+∠=
因为60BAD ∠=︒，
所以120BED ︒∠=，60BEC ︒∠=，
所以三角形BCE 为正三角形，则2BE BC ==，60CBE ︒∠=，60ABE ︒∠=
利用余弦定理得2222cos AE AB BE AB BE ABE =+-⋅⋅∠
即22242242cos60AE ︒=+-⨯⨯，解得AE =222AE BE AB +=
所以AE BE ⊥，
当面BCE ⊥面ABED 时，C ABED V -取得最大，
所以BCE ∆的外接圆的半径2
2sin 60r ︒== 又面BCE ⊥面ABED ，AE BE ⊥，且面BCE
面ABED BE =， AE ⊂面ABED 所以AE ⊥面BCE ，
所以外接球的半径R ===所以213524433S R πππ==⨯
= 故答案为：523
π
【点睛】
本题考查多面体的外接球的相关计算，正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题.
15、（，）
【解析】
求出AB的长度，直线方程，结合△ABC的面积为5，转化为圆心到直线的距离进行求解即可．【详解】
解：AB的斜率k，|AB|
5，
设△ABC的高为h，
则∵△ABC的面积为5，
∴S|AB|h h＝5，
即h＝2，
直线AB的方程为y﹣a x，即4x﹣3y+3a＝0
若圆x2+y2＝9上有且仅有四个不同的点C，
则圆心O到直线4x﹣3y+3a＝0的距离d，
则应该满足d＜R﹣h＝3﹣2＝1，
即1，
得|3a|＜5
得a，
故答案为：（，）
【点睛】
本题主要考查直线与圆的位置关系的应用，求出直线方程和AB 的长度，转化为圆心到直线的距离是解决本题的关键．
16、45
- 【解析】
根据题意可得sin 2cos αα=，再由22sin cos 1αα+=，即可得到结论.
【详解】
由题意，得sin 2cos αα=，又22sin cos 1αα+=，解得5cos α=， 当5cos 5α=时，则5sin 5
α=， 此时5254cos 2sin 222555
παα⎛
⎫+=-=-⨯=- ⎪⎝⎭； 当5cos α=时，则25sin α=， 此时5254cos 2sin 2225παα⎛⎛⎛⎫+=-=-⨯⨯=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 综上，4cos 225πα⎛⎫+
=- ⎪⎝⎭. 故答案为：45
-
. 【点睛】
本题考查诱导公式和同角的三角函数的关系，考查计算能力，属于基础题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）证明见解析（2）45︒
【解析】
（1）连接BD ，交AC 与O ，连接MO ，由//MO FB ，得出结论；
（2）以A 为原点，AC ，AB ，AF 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求出平面ACM 的法向量，利用夹角公式求出即可.
【详解】
（1）连接BD ，交AC 与O ，连接MO ，
在DFB ∆中，//MO FB ，
又FB ⊄平面ACM ，MO ⊂平面ACM ，
所以//FB 平面ACM ；
（2）由平面ABCD ⊥平面ABEF ，AC AB ⊥，AB 为平面ABCD 与平面ABEF 的交线，故AC ⊥平面ABEF ，故AF AC ⊥，又AF AB ⊥，所以AF ⊥平面ABCD ，
以A 为原点，AC ，AB ，AF 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，
()0,0,0A ，()4,0,0C ，()0,2,0B ，()4,2,0D -，()0,0,2F ，()2,1,1M -，
设平面ACM 的法向量为(),,m x y z =，()4,0,0AC =，()2,1,1AM =-，
由4020
m AC x m AM x y z ⎧⋅==⎨⋅=-+=⎩，得()0,1,1m =，
平面ACF 的法向量为()0,1,0AB =， 由12cos ,22
AB m ==， 故二面角M AC F --的大小为45︒.
【点睛】
本小题主要考查线面平行的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
18、（1）
4
π；（2
）9+. 【解析】 （1）利用余弦定理和二倍角的正弦公式，化简即可得出结果；
（2）在ABC ∆中， 由余弦定理得63b AC ==，在BCD ∆中结合正弦定理求出27sin BD θ
=，从而得出CD ，即可得出2y AD BD =+的解析式，最后结合斜率的几何意义，即可求出2AD BD +的最小值.
【详解】
（1） 222cos()sin cos b c a B C bc C C
+--+=， cos 2cos sin cos A A C C
∴=， 由题知，a c <，则A C ∠<∠，则cos 0A ≠
2sin cos 1C C ∴=，
sin 21C ∴=，
4C π
∴=；
（2）在ABC ∆中， 由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，
63b AC ∴==，
设3,4
BDC A πθθ∠=<<
， 其中3sin 5A =. 在BCD 中，sin sin 4
BD BC πθ=， sin 4BD
π
∴=
27sin BD θ∴=
， ()
27(sin cos )sin 45sin sin CD θθθθθ︒+=+=， 所以27(sin cos )2272cos 263362727sin sin sin y AD BD θθθθθθ
+⨯-=+=-+=-+⨯， 2cos 2cos sin 0sin t θθθθ
--==--， 所以t 的几何意义为(0,2),(sin ,cos )θθ两点连线斜率的相反数，
数形结合可得2cos 30sin t θ
θ-=--，
故2AD BD +的最小值为9+.
【点睛】
本题考查正弦定理和余弦定理的实际应用，还涉及二倍角正弦公式和诱导公式，考查计算能力.
19、（1）证明见解析，n a n =；（2）证明见解析
【解析】
（1）由2n n S na n =+，()11211n n S n a n ++=+++作差得到()1110n n n a na +--+=，进一步得到
()21110n n na n a ++-++=，再作差即可得到112n n n a a a +++=，从而使问题得到解决；
（2
）n b =
==-. 【详解】
（1）2n n S na n =+，()11211n n S n a n ++=+++，
两式相减：()1110n n n a na +--+=①
用1n +换n ，得()21110n n na n a ++-++=②
②—①，得2120n n n na na na ++-+=，即112n n n a a a +++=，
所以数列{}n a 是等差数列，又1121S a =+，
∴11a =，22a =，公差1d =，所以n a n =.
（II
）n b ==
=
==-
12111111112231n n T b b b n n =++
+=-+-++-=-<+ 【点睛】
本题考查由n S 与n a 的关系求通项以及裂项相消法求数列的和，考查学生的计算能力，是一道容易题.
20、详见解析
【解析】
选择①，利用正弦定理求得a ，利用余弦定理求得c ，再计算BC 边上的高.
选择②，利用正弦定理得出3a c =，由余弦定理求出c ，再求BC 边上的高.
选择③，利用余弦定理列方程求出c ，再计算BC 边上的高.
【详解】
选择①，在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin a b A B
=，
=，解得2a =； 由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，
即22212222
c c =+-⨯⨯⨯， 化简得2230c c --=，解得3c =或1c =-（舍去）；
所以BC
边上的高为sin 3h c B ===选择②，在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin a c A C
=， 又因为sin 3sin A C =，所以3sin sin a c C C
=，即3a c =； 由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，
即()22213232
c c c c =+-⨯⨯⨯， 化简得277c =，解得1c =或1c =-（舍去）；
所以BC
边上的高为sin 1h c B ===选择③，在ABC ∆中，由2a c -=，得2a c =+；
由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，
即()()22212222
c c c c =++-⨯+⨯⨯，
化简得2230c +c -=，解得1c =或3c =-（舍去）；
所以BC 边上的高为sin 1h c B ===【点睛】
本小题主要考查真闲的了、余弦定理解三角形，属于中档题.
21、（1）见解析；（2）
3. 【解析】
（1）先连接CM ，根据线面平行的判定定理，即可证明结论成立；
（2）在图2中，过点D 作DO EF ⊥，垂足为O ，连接OB ，OC ，证明平面BCFE ⊥平面BOD ，得到点D 在底面BCFE 上的投影必落在直线OB 上，记H 为点D 在底面BCFE 上的投影，连接DH ，HC ，得出DCH ∠即是直线CD 与平面BCFE 所成角，再由题中数据求解，即可得出结果.
【详解】
（1）连接CM ，因为等腰梯形ABCD 中（如图1），2AM AE EM CD =+==，//AB CD ，
所以AM 与CD 平行且相等，即四边形AMCD 为平行四边形；所以//AD CM ；
又F 为线段CD 的中点，E 为AM 中点，易得：四边形AEFD 也为平行四边形，所以//AD EF ；
将四边形AEFD 沿EF 折起后，平行关系没有变化，仍有：//AD CM ，且AD CM =，
所以翻折后四边形AMCD 也为平行四边形；故//AM CD ；
因为AM ⊄平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，
所以//AM 平面BCD ；
（2）在图2中，过点D 作DO EF ⊥，垂足为O ，连接OB ，OC ，
因为2AD =，1AE =，翻折前梯形ABCD 的高为FM DE ==
所以60DAE DFE ∠=∠=，则3sin 602DO DF =⋅=，1cos602OF DF =⋅=； 所以32
OE EF OF =-=； 又3BE EM MB =+=，60FEM DFE ∠=∠=， 所以3602
BO ==，即222BO OE BE +=，所以BO OE ⊥； 又DO BO O ⋂=，且DO ⊂平面BOD ，BO ⊂平面BOD ，
所以EO ⊥平面BOD ；因此，平面BCFE ⊥平面BOD ；
所以点D 在底面BCFE 上的投影必落在直线OB 上；
记H 为点D 在底面BCFE 上的投影，连接DH ，HC ，
则DH ⊥平面BCFE ；
所以DCH ∠即是直线CD 与平面BCFE 所成角， 因为6BD =，所以2221cos 23OB OD BD BOD OB OD +-∠==⋅， 因此3226sin 233DH DO DOB =⋅∠=⋅=，313cos 236
OH DO DOB =⋅∠=⋅=， 故33343263
BH BO OH =-=-=； 因为120OFC EFC FCB ∠=∠=∠=，
所以3601201209030HBC OBC ∠=∠=---=，
因此22232cos 3CH BH BC BH BC HBC =+-⋅⋅∠=
，故222CD DH HC =+=， 所以3sin 3
DH DCH CD ∠==. 即直线CD 与平面BCFE 所成角的正弦值为33
.
【点睛】
本题主要考查证明线面平行，以及求直线与平面所成的角，熟记线面平行的判定定理，以及线面角的求法即可，属于常考题型.
22、（1）21sin 7
C =
；（2）5a b ==. 【解析】
（1）先由余弦定理求得a ，再由正弦定理计算即可得到所求值；
（2）运用二倍角的余弦公式和两角和的正弦公式，化简可得sinA+sinB=5sinC ，运用正弦定理和三角形的面积公式可
得a ，b 的方程组，解方程即可得到所求值．
【详解】
解：（1）由余弦定理
22212cos 942327,2a b c bc A a =+-=+-⨯⨯⨯
==
由正弦定理,sin sin a c A C =得sin C = （2）由已知得：1cos 1cos sin sin 3sin 22B A A B C ++⨯
+⨯= sin sin cos sin sin cos 6sin A A B B B A C +++=
()sin sin sin 6sin ,sin sin 5sin A B A B C A B C +++=+=
所以510a b c +==------① 又125sin sin ,22
S ab C C ==所以25ab =------② 由①②解得5a b ==
【点睛】
本题考查正弦定理、余弦定理和面积公式的运用，以及三角函数的恒等变换，考查化简整理的运算能力，属于中档题．。