湖南省娄底市特殊教育学校2019年高三数学文测试题含解析

湖南省娄底市特殊教育学校2019年高三数学文测试题
含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知两条直线，两个平面．给出下面四个命题：
①；②；
③；④．
其中正确的命题序号
为（）A．①② B．②③ C．①④
D．②④
参考答案：
D
2. 右图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（）
A.i>10
B.i<10
C.i>20
D.i<20
参考答案：
A
略
3. 已知集合，则满足的集合N的个数是（）
A．2 B．3 C．4 D．8
参考答案：
C
4. 函数y=ax2+bx与y=（ab≠0，|a|≠|b|）在同一直角坐标系中的图象可能是（）
A．B．C．D．
参考答案：
D
【考点】二次函数的图象；对数函数的图象与性质．
【分析】可采用反证法做题，假设A和B的对数函数图象正确，由二次函数的图象推出矛盾，所以得到A和B错误；同理假设C和D的对数函数图象正确，根据二次函数图象推出矛盾，得到C错误，D正确．
【解答】解：对于A、B两图，||＞1而ax2+bx=0的两根为0和﹣，且两根之和为﹣，由图知0＜﹣＜1得﹣1＜＜0，矛盾，
对于C、D两图，0＜||＜1，在C图中两根之和﹣＜﹣1，即＞1矛盾，C错，D正确．
故选：D．
5. 是复数为纯虚数的（）条件
A.充分
B.必要
C.充要
D. 非充分非必要
参考答案：
B
6. 若一个四位数的各位数字相加和为10，则称该数为“完美四位数”，如数字“2017”.试问用数字0，1，2，3，4，5，6，7组成的无重复数字且大于2017的“完美四位数”有
（）个.
A. 71
B. 66
C. 59
D. 53
参考答案：
A
【分析】
根据题意，分析可得四位数字相加和为10的情况有①0、1、3、6，②0、1、4、5，
③0、1、
2、7，④0、2、
3、5，⑤1、2、3、4；共5种情况，据此分5种情况讨论，依次求出每种情
况下大于2017的“完美四位数”的个数，将其相加即可得答案．
【详解】根据题意，四位数字相加和为10的情况有①0、1、3、6，②0、1、4、5，
③0、1、2、7，
④0、2、3、5，⑤1、2、3、4；共5种情况，
则分5种情况讨论：
①、四个数字为0、1、3、6时，
千位数字可以为3或6，有2种情况，将其余3个数字全排列，安排在百位、十位、个位，
有种情况，此时有个“完美四位数”，
②、四个数字为0、1、4、5时，
千位数字可以为4或5，有2种情况，将其余3个数字全排列，安排在百位、十位、个位，
有种情况，此时有个“完美四位数”，
③、四个数字为0、1、2、7时，
千位数字为7时，将其余3个数字全排列，安排在百位、十位、个位，有种情况，千位数字为2时，有2071、2107、2170、2701、2710，共5种情况，此时有个“完
美四位数”，
④、四个数字为0、2、3、5时，
千位数字可以为2或3或5，有3种情况，将其余3个数字全排列，安排在百位、十位、个
位，有种情况，此时有个“完美四位数”，
⑤、四个数字为1、2、3、4时，
千位数字可以为3或4或2，有3种情况，将其余3个数字全排列，安排在百位、十位、个
位，有种情况，此时有个“完美四位数”，
则一共有个“完美四位数”，
故选：．
【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的运用，分类讨论注意做到不重不漏．
7. 已知点M（3，﹣2），N（﹣5，﹣1），且，则点P是( )
A．（﹣8，1）B．（﹣1，﹣）C．（1，）D．（8，1）
参考答案：
B
【考点】平面向量的基本定理及其意义；平面向量的坐标运算．
【专题】计算题；函数思想；平面向量及应用．
【分析】设出P的坐标，利用向量相等，列出方程求解即可．
【解答】解：设P（x，y），
点M（3，﹣2），N（﹣5，﹣1），且，
可得x﹣3=，解得x=﹣1．
y+2=，解得y=﹣．
P（﹣1，﹣）．
故选：B．
【点评】本题考查向量的坐标运算，向量的平行，是基础题．
8. 已知函数在区间上有两个不同的零点，则实数的取值范围为
A．B．C．D．
参考答案：
A
9. 已知为偶函数，当时，，若函数
恰有4个零点，则实数的取值范围是（）
A．B．C．D
．
参考答案：
D
10. 如图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是（）
A．B．C．D．
参考答案：
A
【考点】L!：由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图可知：该几何体由一个半圆柱与三棱柱组成的几何体．
【解答】解：由三视图可知：该几何体由一个半圆柱与三棱柱组成的几何体．
这个几何体体积V=+×（）2×2=2+．
故选：A．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数瑞任意的恒成立，则的取值范围是
参考答案：
略
12. 若复数z满足（其中i为虚数单位），则▲ .
参考答案：
1
13. 设为第二象限角，若,则= .
参考答案：
略
14. 某个几何体的三视图如图所示，（其中正视图中的圆弧是半径为2的半圆），则该几何体的表面积为．
参考答案：
15. 在△ABC中，a＝15，b＝10，∠A＝60°，则cos B＝____．
参考答案：
16. 已知等差数列满足，公差为，，当且仅当时，取得最小值，则公差的取值范围是________________。

参考答案：
17. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，则的值为
参考答案：
试题分析：由于函数为奇函数，故.
考点：函数的奇偶性、分段函数求值.
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分12分）
从一批草莓中，随机抽取个，其重量（单位：克）的频率分布表如下：
已知从个草莓中随机抽取一个，抽到重量在的草莓的概率为．
（Ⅰ）求出，的值；
（Ⅱ）用分层抽样的方法从重量在和的草莓中共抽取个，再从这个草
莓中任取个，求重量在和中各有个的概率．
参考答案：
（Ⅰ）依题意可得，，从而得.
（Ⅱ）若采用分层抽样的方法从重量在和的草莓中共抽取5个，则重量在的个数为；记为，，
在的个数为；记为，，，
从抽出的5个草莓中，任取个共有，，，，，，，，， 10种情况．
其中符合“重量在和中各有一个”的情况共有，，，，， 6种．
设事件表示“抽出的5个草莓中，任取个，重量在和中各有一
个”，则．
答：从抽出的5个草莓中，任取个，重量在和中各有一个的概率为
．
19. （本小题满分10分）（注意：在试题卷上作答无效）
△ABC中，角A、B、C对边分别是a、b、c，满足2·（b+c）2．
（1）求角A的大小；
（2）求2cos2sin（－B）的最大值，并求取得最大值时角B、C的大小．
参考答案：
略
20. （12分）在中，内角对边的边长分别是.已知.（Ⅰ）若的面积等于，试判断的形状，并说明理由；
（Ⅱ）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求的面积.
参考答案：
（Ⅰ）为等边三角形，理由为：
，∴由余弦定理得：，即①，
∵的面积等于②，∴，即ab=4，
联立①②解得：a=b=2，则△ABC为等边三角形；
（Ⅱ）由sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，
变形得：sin（B+A）+sin（B﹣A）=4sinAcosA，即sinBcosA=2sinAcosA，
若cosA=0，即A=，由c=2，C=，得b=，此时面积;
若，可得sinB=2sinA，由正弦定理得：b=2a③，
联立①③得：，此时△ABC面积为.
本题考查的知识点为正弦定理.（Ⅰ）△ABC为等边三角形，理由为：利用余弦定理列出关系式，把c，cosC的值代入得到关系式，再由△ABC的面积等于，利用三角形面积公式列出关系式，两式联立求出a与b的值，即可对于△ABC的形状做出判断；
（Ⅱ）已知等式利用诱导公式及二倍角的正弦函数公式化简，再利用和差化积公式变形，由cosA为0与cosA不为0两种情况，分别求出三角形ABC面积即可.
21. 已知函数f(x)＝x2－2xsin2和函数g(x)＝ln x，记F(x)＝f(x)＋g(x)．
（1）当时，若f(x)在[1,2]上的最大值是f(2)，求实数的取值范围；
（2）当＝1时，判断F(x)在其定义域内是否有极值，并予以证明；
（3）对任意的∈，若F(x)在其定义域内既有极大值又有极小值，求的取值范围．
参考答案：
略
22. （本小题满分12分）
直线y＝kx＋b与曲线交于A、B两点，记△AOB的面积为（O是坐标原点）．
（1）求曲线的离心率；
（2）求在k＝0，0＜b＜1的条件下，的最大值．
参考答案：。