2019年广东省深圳市福田区五校联考中考数学一模试卷(可编辑修改word版)

2019 年广东省深圳市福田区五校联考中考数学一模试卷
一、选择题（共 12 小题，每小题 3 分，每小题只有一个正确答案，共 36 分） 1．（3 分）在﹣3，﹣，0，﹣ 四个数中，最小的数是（ ）
A ．﹣3
B ．﹣
C ．0
D ．﹣
2．（3 分）把如图所示的正方体的展开图围成正方体时，“对”字的相对面上的文字是（
）
A ．诚
B ．信
C ．考
D ．试
3．（3 分）病毒 H 7N 9 的直径为 0.000000028 米，用科学记数法表示这个病毒直径的大小，正确的是（ ）
A ．28×10﹣9
B ．2.8×10﹣8
C ．0.28×10﹣7
D ．2.8×10﹣6
4．
（
3 分）某车间需加工一批零件，车间 20 名工人每天加工零件数如表所示：
每天加工零件数
4 5 6 7 8 人数
3
6
5
4
2
每天加工零件数的中位数和众数为（
）
A ．6，5
B ．6，6
C ．5，5
D ．5，6
5．（3 分）下列运算正确的是（ ）
A ．3a 2+5a 2＝8a 4 C ．（a ﹣b ）2＝a 2﹣b 2
B ．a 6÷a ﹣2＝a 4 D ．（a 2+1）0＝1
6．（3 分）如图，△DEF 和△ABC 是位似图形，点 O 是位似中心，点 D ，E ，F 分别是 OA ，OB ，OC
的中点，若△DEF 的周长是 2，则△ABC 的周长是（
）
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
7．（3 分）如图，将一副三角板如图放置，∠BAC ＝∠ADE ＝90°，∠E ＝45°，∠B ＝60°，
若AE∥BC，则∠AFD＝（）
A．75°B．85°C．90°D．65°
8．（3 分）下列命题中，是真命题的是（）
A.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B.黄金分割比的值为≈0.618
C.若方程x2﹣2x﹣k＝0 有两个不相等的实数根，则k＞1
D．顺次链接平行四边形的各边中点，构成的四边形是菱形
9．（3 分）如图，已知锐角三角形ABC，以点A 为圆心，AC 为半径画弧与BC 交于点E，分别以点E、C 为圆心，以大于EC 的长为半径画弧相交于点P，作射线AP，交BC 于点D．若BC＝5，AD＝4，tan∠BAD＝，则AC 的长为（）
A．3 B．5 C． D．2
10．（3 分）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大1，若将个位与十位上的数字对调，得到的新数比原数小9，设个位上的数字为x，十位上的数字为y，根据题意，可列方程为（）
A．B．
C．D．
11．（3 分）如图，半⊙O 的半径为2，点P 是⊙O 直径AB 延长线上的一点，PT 切⊙O 于点T，M 是OP 的中点，射线TM 与半⊙O 交于点C．若∠P＝20°，则图中阴影部分的面积为（）
A．1+ B．1+
C．2sin20°+ D．
12．（3 分）如图，在正方形ABCD 中，E，F 分别为BC，CD 的中点，连接AE，BF 交于点G，将△BCF 沿BF 对折，得到△BPF，延长FP 交BA 延长于点Q，下列结论正确的有（）个．
①AE⊥BF；②QB＝QF；③FG＝AG；④sin∠BQP＝；⑤S ECPG＝3S△BGE
A．5 B．4 C．3 D．2
二、填空题（本题共4 小题，每小题3 分，共12 分）
13．（3 分）分解因式：xy2﹣4x＝．
14．（3 分）在实数范围内规定新运算“△”其规则是：a△b＝a+b﹣1，则x△（x﹣2）＞3 的解集为．
15．（3 分）计算：21﹣1＝1，22﹣1＝3，23﹣1＝7，24﹣1＝15，25﹣1＝31，归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测22019﹣1 的个位数字是．
16．（3 分）如图，已知点A 是反比例函数y＝的图象在第一象限上的动点，连结AO 并延长交另一分支于点B，以AB 为边作等边△ABC 使点C 落在第二象限，且边BC 交x 轴于点D，若△ACD 与△ABD 的面积之比为1：2，则点C 的坐标为．
三、解答题（本题共7 小题，其中第17 题5 分，第18 题6 分，第19 题7 分，第20 题8 分，第21 题8 分，第29 题9 分，第23 题9 分）
17．（5 分）计算：（﹣）﹣1+| |﹣（π﹣3.14）0+2sin60°
18．（6 分）﹣＝．
19．（7 分）央视“经典咏流传”开播以来受到社会广泛关注我市某校就“中华文化我传承﹣﹣地方戏曲进校园”的喜爱情况进行了随机调查．对收集的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．请你根据统计图所提供的信息解答下列问题：
图中A 表示“很喜欢”，B 表示“喜欢”、C 表示“一般”，D 表示“不喜欢”．
（1）被调查的总人数是人，扇形统计图中C 部分所对应的扇形圆心角的度数为；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校共有学生1800 人，请根据上述调查结果，估计该校学生中A 类有人；
（4）在抽取的A 类5 人中，刚好有3 个女生2 个男生，从中随机抽取两个同学担任两角色，用树形图或列表法求出被抽到的两个学生性别相同的概率．
20．（8 分）如图，在平行四边形ABCD 中，AC⊥AD，延长DA 于点E，使得DA＝AE，连接BE．
（1）求证：四边形AEBC 是矩形；
（2）过点E 作AB 的垂线分别交AB，AC 于点F，G，连接CE 交AB 于点O，连接OG，若AB＝6，∠CAB＝30°，求△OGC 的面积．
21．（8 分）位于郑州市二七区的二七德化步行街是郑州最早的商业文化购物步行街，在郑州乃至中原都相当有名，德化步行街某店铺经营某种品牌童装，购进时的单价是40 元，根据市场调查，当销售单价是60 元时，每天销售量是200 件，销售单价每降低1 元，就可多售出20 件．
（1）求出销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）求出销售该品牌童装获得的利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（3）若童装厂规定该品牌童装的销售单价不低于56 元且不高于60 元，则此服装店销售该品牌童装获得的最大利润是多少？
22．（9 分）如图1，已知AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，过O 点作OF⊥AB 交⊙O 于点D，交AC 于点E，交BC 的延长线于点F，点G 是EF 的中点，连接CG
（1）判断CG 与⊙O 的位置关系，并说明理由；
（2）求证：2OB2＝BC•BF；
（3）如图2，当∠DCE＝2∠F，CE＝3，DG＝2.5 时，求DE 的长．
23．（9 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+2x﹣3 与x 轴交于A，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C，对称轴为直线l，点D（﹣4，n）在抛物线上．
（1）求直线CD 的解析式；
（2）E 为直线CD 下方抛物线上的一点，连接EC，ED，当△ECD 的面积最大时，在直线l 上取一点M，过M 作y 轴的垂线，垂足为点N，连接EM，BN，若EM＝BN 时，求EM+MN+BN 的值．
（3）将抛物线y＝x2+2x﹣3 沿x 轴正方向平移得到新抛物线y′，y′经过原点O，y′ 与x 轴的另一个交点为F，设P 是抛物线y′上任意一点，点Q 在直线l 上，△PFQ 能否成为以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若能，直接写出点P 的坐标，若不能，请说明理由．
2019 年广东省深圳市福田区五校联考中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12 小题，每小题3 分，每小题只有一个正确答案，共36 分）
1．（3 分）在﹣3，﹣，0，﹣四个数中，最小的数是（）
A．﹣3 B．﹣ C．0 D．﹣
【分析】根据有理数的大小比较法则进行比较即可．
【解答】解：﹣3，﹣，0，四个数中，最小的数是﹣
3．故选：A．
【点评】本题考查了有理数的大小比较，掌握有理数的大小比较法则是解题关键．2．（3 分）把如图所示的正方体的展开图围成正方体时，“对”字的相对面上的文字是（）
A．诚B．信C．考D．试
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“对”与“试”相对，“信”与“待”相对，“诚”与“考”相对．
故选：D．
【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
3．（3 分）病毒H7N9 的直径为0.000000028 米，用科学记数法表示这个病毒直径的大小，正确的是（）
A．28×10﹣9 B．2.8×10﹣8 C．0.28×10﹣7 D．2.8×10﹣6
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数．
【解答】解：0.000000028 用科学记数法表示 2.8×10﹣8，
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．
4．（3 分）某车间需加工一批零件，车间20 名工人每天加工零件数如表所示：
每天加工零件数的中位数和众数为（）
A．6，5 B．6，6 C．5，5 D．5，6
【分析】根据众数、中位数的定义分别进行解答即可．
【解答】解：由表知数据5 出现了6 次，次数最多，所以众数为5；
因为共有20 个数据，
所以中位数为第10、11 个数据的平均数，即中位数为＝6，
故选：A．
【点评】本题考查了众数和中位数的定义．用到的知识点：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
5．（3 分）下列运算正确的是（）
A．3a2+5a2＝8a4 C．（a﹣b）2＝a2﹣b2B．a6÷a﹣2＝a4 D．（a2+1）0＝1
【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的除法、完全平方公式和零指数幂的运算法则逐一计算可得．
【解答】解：A．3a2+5a2＝8a2，此选项错误；
B．a6÷a﹣2＝a8，此选项错误；C．（a﹣b）2＝
a2﹣2ab+b2，此选项错误；D．（a2+1）0＝1，此选项正
确；
故选：D．
【点评】本题主要考查同底数幂的除法，解题的关键是掌握合并同类项法则、同底数幂的除法、完全平方公式和零指数幂的运算法则．
6．（3 分）如图，△DEF 和△ABC 是位似图形，点O 是位似中心，点D，E，F 分别是OA，OB，OC 的中点，若△DEF 的周长是2，则△ABC 的周长是（）
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】先根据三角形中位线的性质得到DE＝AB，从而得到相似比，再利用位似的性质得到△DEF∽△DBA，然后根据相似三角形的性质求解．
【解答】解：∵点D，E 分别是OA，OB 的中点，
∴DE＝AB，
∵△DEF 和△ABC 是位似图形，点O 是位似中心，
∴△DEF∽△DBA，
∴＝，
∴△ABC 的周长＝2×2＝
4．故选：B．
【点评】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．7．（3 分）如图，将一副三角板如图放置，∠BAC＝∠ADE＝90°，∠E＝45°，∠B＝60°，若AE∥BC，则∠AFD＝（）
A．75°B．85°C．90°D．65°
【分析】因为∠AFD 是△AFE 的一个外角，先利用平行线性质求出∠EAC 的度数，再利用三角形外角性质即可求解．
【解答】解：∵∠C＝30°，AE∥BC，
∴∠EAC＝∠C＝30°，
又∵∠E＝45°．
∴∠AFD＝∠E+∠EAC＝45°+30°＝
75°．故选：A．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是要熟练掌握平行线的性质以及三角形外角与内角的关系．
8．（3 分）下列命题中，是真命题的是（）
A.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B.黄金分割比的值为≈0.618
C.若方程x2﹣2x﹣k＝0 有两个不相等的实数根，则k＞1
D．顺次链接平行四边形的各边中点，构成的四边形是菱形
【分析】根据平行四边形的判定、黄金分割比、一元二次方程的解和菱形的判定判断即可．【解答】解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，是假命题；
B、黄金分割比的值为≈0.618，是真命题；
C、若方程x2﹣2x﹣k＝0 有两个不相等的实数根，则k＞﹣1，是假命题；
D、顺次连接平行四边形的各边中点，构成的四边形是平行四边形，是假命题；
故选：B．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
9．（3 分）如图，已知锐角三角形ABC，以点A 为圆心，AC 为半径画弧与BC 交于点E，分别以点E、C 为圆心，以大于EC 的长为半径画弧相交于点P，作射线AP，交BC 于点D．若BC＝5，AD＝4，tan∠BAD＝，则AC 的长为（）
A．3 B．5 C． D．2
【分析】先判断出AD⊥BC，进而用锐角三角函数求出BD，即可得出CD，最后用勾股定理即可得出结论．
【解答】解：由作图知，AD⊥BC 于D，
在Rt△ABD 中，AD＝4，tan∠BAD＝＝＝，
∴BD＝3，
∵BC＝5，
∴CD＝BC﹣BD＝2，
在Rt△ADC 中，AC＝＝2，
故选：D．
【点评】此题主要考查了基本作图，锐角三角函数，勾股定理，解本题的关键是判断出AD ⊥BC．
10．（3 分）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大1，若将个位与十位上的数字对调，得到的新数比原数小9，设个位上的数字为x，十位上的数字为y，根据题意，可列方程为（）
A．B．
C．D．
【分析】设个位上的数字为x，十位上的数字为y，由“十位上的数字比个位上的数字大1，将个位与十位上的数字对调得到的新数比原数小9”，即可得出关于x，y 的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：设个位上的数字为x，十位上的数字为y，
根据题意，可列方程：．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
11．（3 分）如图，半⊙O 的半径为2，点P 是⊙O 直径AB 延长线上的一点，PT 切⊙O 于点T，M 是OP 的中点，射线TM 与半⊙O 交于点C．若∠P＝20°，则图中阴影部分的面积为（）
A．1+ B．1+
C．2sin20°+ D．
【分析】连接OT、OC，可求得∠COM＝30°，作CH⊥AP，垂足为H，则CH＝1，于是，S
阴影＝S△AOC+S 扇形OCB，代入可得结论．
【解答】解：连接OT、OC，
∵PT 切⊙O 于点T，
∴∠OTP＝90°，
∵∠P＝20°，
∴∠POT＝70°，
∵M 是OP 的中点，
∴TM＝OM＝PM，
∴∠MTO＝∠POT＝70°，
∵OT＝OC，
∴∠MTO＝∠OCT＝70°，
∴∠OCT＝180°﹣2×70°＝40°，
∴∠COM＝30°，
作CH⊥AP，垂足为H，则CH＝OC＝1，
S 阴影＝S△AOC+S 扇形OCB＝+＝1+，
故选：A．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来
进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关
问题．也考查了等腰三角形的判定与性质和含30 度的直角三角形三边的关系．
12．（3 分）如图，在正方形ABCD 中，E，F 分别为BC，CD 的中点，连接AE，BF 交于点G，
将△BCF 沿BF 对折，得到△BPF，延长FP 交BA 延长于点Q，下列结论正确的有（）
个．
①AE⊥BF；②QB＝QF；③FG＝AG；④sin∠BQP＝；⑤S ECPG＝3S△BGE
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】①首先证明△ABE≌△BCF，再利用角的关系求得∠BGE＝90°，即可得到AE⊥ BF；
②①△BCF 沿BF 对折，得到△BPF，利用角的关系求出QF＝QB；
③证明△BEG∽△ABG∽△AEB，得出＝＝＝，设GE＝x，则BG＝2x，AG＝4x，∴BF＝AE＝AG+GE＝5x，∴FG＝BF﹣BG＝3x，得出＝，即可得出结论；
④利用QF＝QB，解出BP，QB，根据正弦的定义即可求解；
⑤可证△BGE 与△BMC 相似，进一步得到相似比，再根据相似三角形的性质和三角形的面积关系即可求解．
【解答】解：①∵四边形BCD 是正方形，
∴∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝CD，AB∥CD，
∵E，F 分别是正方形ABCD 边BC，CD 的中点，
∴CF＝BE，
在△ABE 和△BCF 中，，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠BAE＝∠CBF，AE＝BF，
又∵∠BAE+∠BEA＝90°，
∴∠CBF+∠BEA＝90°，
∴∠BGE＝90°，
∴AE⊥BF，故①正确；
由折叠的性质得：FP＝FC，∠PFB＝∠BFC，∠FPB＝90°
∵CD∥AB，
∴∠CFB＝∠ABF，
∴∠ABF＝∠PFB，
∴QB＝QF，故②正确；
③∵AE⊥BF，∠ABE＝90°，
∴△BEG∽△ABG∽△AEB，
∴＝＝＝，
设GE＝x，则BG＝2x，AG＝4x，
∴BF＝AE＝AG+GE＝5x，
∴FG＝BF﹣BG＝3x，
∴＝，
∴FG＝AG，故③错误；
④由①知，QF＝QB，
令PF＝k（k＞0），则PB＝2k，
在Rt△BPQ 中，设QB＝a，
∴a2＝（a﹣k）2+4k2，
∴a＝，
∴sin∠BQP＝＝，故④正确；
⑤如图所示：
∵PC⊥BF，AE⊥BF，
∴PC∥AE，△BGE∽△BMC，
∵E 是BC 的中点，
∴BE＝CE，
∴△BGE 的面积：△BMC 的面积＝1：4，
∴△BGE 的面积：四边形ECMG 的面积＝1：3，
连接CG，则△PGM 的面积＝△CGM 的面积＝2△CGE 的面积＝2△BGE 的面积，∴四边形ECPG 的面积：△BGE 的面积＝5：1，
∴S 四边形ECFG＝5S△BGE，故⑤错
误．综上所述，共有 3 个结论正确．
【点评】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、折叠的性质、勾股定理、三角函数等知识；熟练掌握正方形和折叠变换的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题关键．
二、填空题（本题共4 小题，每小题3 分，共12 分）
13．（3 分）分解因式：xy2﹣4x＝ x（y+2）（y﹣2）．
【分析】原式提取x，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝x（y2﹣4）＝x（y+2）（y﹣2），
故答案为：x（y+2）（y﹣2）
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
14．（3 分）在实数范围内规定新运算“△”其规则是：a△b＝a+b﹣1，则x△（x﹣2）＞3 的解集为x＞3 ．
【分析】根据新定义列出不等式，依据不等式的基本性质解之可得．
【解答】解：根据题意，得：x+x﹣2﹣1＞3，
即2x﹣3＞3，
∴2x＞6，
解得：x＞3，
故答案为：x＞3．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．15．（3 分）计算：21﹣1＝1，22﹣1＝3，23﹣1＝7，24﹣1＝15，25﹣1＝31，归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测22019﹣1 的个位数字是7 ．
【分析】观察给出的数，发现个位数是循环的，然后再看2019÷4 的余数，即可求解．【解答】解：由给出的这组数21﹣1＝1，22﹣1＝3，23﹣1＝7，24﹣1＝15，25﹣1＝
个位数字1，3，7，5 循环出现，四个一组，
2019÷4＝504…3，
∴22019﹣1 的个位数是
7．故答案为7．
【点评】本题考查数的循环规律，确定循环规律，找准余数是解题的关键．
16．（3 分）如图，已知点A 是反比例函数y＝的图象在第一象限上的动点，连结AO 并延长交另一分支于点B，以AB 为边作等边△ABC 使点C 落在第二象限，且边BC 交x 轴于点D，若△ACD 与△ABD 的面积之比为1：2，则点C 的坐标为（﹣6，）．
【分析】作CM⊥OD 于M，AE⊥OD 于E，作DF⊥AB 于F，连接CO，根据等高的三角形的面积比等于底边的比，可得DB＝2CD，由△ABC 是等边三角形，且AO＝BO 可得CO⊥AB，CO＝AO＝BO，由DF∥CO 可得OF＝OB，DF＝OB，根据△AOE ∽△DOF 可得AE＝2OE，根据AE×OE＝2 ，可求A 点坐标，再根据△CMO∽△AOE 可求C 点坐标．
【解答】解：如图，作CM⊥OD 于M，AE⊥OD 于E，作DF⊥AB 于F，连接CO，
根据题意得：AO＝BO
∵S△ACD：S△ADB＝1：2
∴CD：DB＝1：2 即DB＝2CD
∵△ABC 为等边三角形且AO＝BO
∴∠CBA＝60°，CO⊥AB 且DF⊥AB
∴DF∥CO
∴，
∴DF＝CO，BF＝BO，即FO＝BO
∵∠CBA＝60°，CO⊥AB
∴CO＝BO，
∴DF＝BO
∵∠DOF＝∠AOE，∠DFO＝∠AEO＝90°
∴△DFO∽△AOE
∴，
∴AE＝2 OE
∵点A 是反比例函数y＝的图象在第一象限上的动点
∴AE×OE＝2 ，
∴AE＝2 ，OE＝1
∵∠COM+∠AOE＝90°，∠AOE+∠EAO＝90°
∴∠COM＝∠EAO，且∠CMO＝∠AEO＝90°
∴△COM∽△AOE
，
∴CM＝，MO＝6
且M 在第二象限
∴C（﹣6，）
故答案为：（﹣6，）．
【点评】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质．关键是熟练运用相似三角形的判定和性质解决问题．
三、解答题（本题共7 小题，其中第17 题5 分，第18 题6 分，第19 题7 分，第20 题8 分，
第21 题8 分，第29 题9 分，第23 题9 分）
17．（5 分）计算：（﹣）﹣1+| |﹣（π﹣3.14）0+2sin60°
【分析】首先计算乘方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：（﹣）﹣1+| |﹣（π﹣3.14）0+2sin60°
＝﹣+2﹣﹣1+2×
＝﹣﹣+
＝﹣
【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
18．（6 分）﹣＝．
【分析】先去分母，把分式方程转化成整式方程，求出方程的解，再进行检验即可．【解答】解：两边都乘以（x+3）（x﹣3），得：2﹣x﹣（x+3）＝2（x﹣3），
解得：x＝，
检验：当x＝时，（x+3）（x﹣3）≠0，
所以分式方程的解为x＝．
【点评】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．19．（7 分）央视“经典咏流传”开播以来受到社会广泛关注我市某校就“中华文化我传承﹣﹣地方戏曲进校园”的喜爱情况进行了随机调查．对收集的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．请你根据统计图所提供的信息解答下列问题：
图中A 表示“很喜欢”，B 表示“喜欢”、C 表示“一般”，D 表示“不喜欢”．
（1）被调查的总人数是50 人，扇形统计图中C 部分所对应的扇形圆心角的度数为216°；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校共有学生1800 人，请根据上述调查结果，估计该校学生中A 类有 180 人；（4）在抽取的A 类5 人中，刚好有3 个女生2 个男生，从中随机抽取两个同学担任两角色，用树形图或列表法求出被抽到的两个学生性别相同的概率．
【分析】（1）由A 类别人数及其所占百分比可得总人数，用360°乘以C 部分人数所占比例可得；
（2）总人数减去其他类别人数求得B 的人数，据此即可补全条形图；
（3）用总人数乘以样本中A 类别人数所占百分比可得；
（4）用树状图或列表法即可求出抽到性别相同的两个学生的概率．
【解答】解：（1）被调查的总人数为5÷10%＝50 人，扇形统计图中C 部分所对应的扇形圆心角的度数为360°×＝216°，
故答案为：50、216°；
（2）B 类别人数为50﹣（5+30+5）＝10 人，
补全图形如下：
（3）估计该校学生中A 类有1800×10%＝180 人，
故答案为：180；
（4）列表如下：
所有等可能的结果为20 种，其中被抽到的两个学生性别相同的结果数为8，
∴被抽到的两个学生性别相同的概率为＝．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图的应用．解题时注意：概率＝所求情况数与总情况数之比．一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
20．（8 分）如图，在平行四边形ABCD 中，AC⊥AD，延长DA 于点E，使得DA＝AE，连接BE．
（1）求证：四边形AEBC 是矩形；
（2）过点E 作AB 的垂线分别交AB，AC 于点F，G，连接CE 交AB 于点O，连接OG，若AB＝6，∠CAB＝30°，求△OGC 的面积．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AD＝BC，推出四边形AEBC 是平行四边形，求得∠CAE＝90°，于是得到四边形AEBC 是矩形；
（2）根据三角形的内角和得到∠AGF＝60°，∠EAF＝60°，推出△AOE 是等边三角形，得到AE＝EO，求得∠GOF＝∠GAF＝30°，根据直角三角形的性质得到OG＝2，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵DA＝AE，
∴AE＝BC，AE∥BC，
∴四边形AEBC 是平行四边形，
∵AC⊥AD，
∴∠DAC＝90°，
∴∠CAE＝90°，
∴四边形AEBC 是矩形；
（2）∵EG⊥AB，
∴∠AFG＝90°，
∵∠CAB＝30°，
∴∠AGF＝60°，∠EAF＝60°，
∵四边形AEBC 是矩形，
∴OA＝OC＝OB＝OD，
∴△AOE 是等边三角形，
∴AE＝EO，
∴AF＝OF，
∴AG＝OG，
∴∠GOF＝∠GAF＝30°，
∴∠CGO＝60°，
∴∠COG＝90°，
∵OC＝OA＝AB＝3，
∴OG＝，
∴△OGC 的面积＝×3× ＝．
【点评】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
21．（8 分）位于郑州市二七区的二七德化步行街是郑州最早的商业文化购物步行街，在郑州乃至中原都相当有名，德化步行街某店铺经营某种品牌童装，购进时的单价是40 元，根据市场调查，当销售单价是60 元时，每天销售量是200 件，销售单价每降低1 元，就可多售出20 件．
（1）求出销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）求出销售该品牌童装获得的利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（3）若童装厂规定该品牌童装的销售单价不低于56 元且不高于60 元，则此服装店销售该品牌童装获得的最大利润是多少？
【分析】（1）销售量y 件为200 件加增加的件数（60﹣x）×20；
（2）利润w 等于单件利润×销售量y 件，即W＝（x﹣40）（﹣20x+1400），整理即可；
（3）先利用二次函数的性质得到w＝﹣20x2+2200x﹣56000＝﹣20（x﹣55）2+4500，而56 ≤x≤60，根据二次函数的性质得到当56≤x≤60 时，W 随x 的增大而减小，把x＝56 代入计算即可得到商场销售该品牌童装获得的最大利润．
【解答】解：（1）根据题意得，y＝200+（60﹣x）×20
＝﹣20x+1400，
所以销售量y 件与销售单价x 元之间的函数关系式为y＝﹣20x+1400（40≤x≤60）；
（2）W＝（x﹣40）y
＝（x﹣40）（﹣20x+1400）
＝﹣20x2+2200x﹣56000，
所以销售该品牌童装获得的利润w 元与销售单价x 元之间的函数关系式W＝﹣20x2+2200x﹣56000；
（3）根据题意得56≤x≤60，
w＝﹣20x2+2200x﹣56000＝﹣20（x﹣55）2+4500
∵a＝﹣20＜0，
∴抛物线开口向下，
∴当56≤x≤60 时，W 随x 的增大而减小，
∴x＝56 时，W 有最大值，最大值＝﹣20（56﹣55）2+4500＝4480
（元）．所以商场销售该品牌童装获得的最大利润是4480 元．
【点评】本题考查了二次函数的应用：根据实际问题列出二次函数关系式，然后利用二次函数的性质，特别是二次函数的最值问题解决实际中的最大或最小值问题．
22．（9 分）如图1，已知AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，过O 点作OF⊥AB 交⊙O 于点D，交AC 于点E，交BC 的延长线于点F，点G 是EF 的中点，连接CG
（1）判断CG 与⊙O 的位置关系，并说明理由；
（2）求证：2OB2＝BC•BF；
（3）如图2，当∠DCE＝2∠F，CE＝3，DG＝2.5 时，求DE 的长．
（1）连接CE，由AB 是直径知△ECF 是直角三角形，结合G 为EF 中点知∠AEO＝∠【分析】
GEC＝∠GCE，再由OA＝OC 知∠OCA＝∠OAC，根据OF⊥AB 可得∠OCA+∠GCE＝90°，即OC⊥GC，据此即可得证；
（2）证△ABC∽△FBO 得＝，结合AB＝2BO 即可得；
（3）证ECD∽△EGC 得＝，根据CE＝3，DG＝2.5 知＝，解之可得．【解答】解：（1）CG 与⊙O 相切，理由如下：
如图1，连接CE，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB＝∠ACF＝90°，
∵点G 是EF 的中点，
∴GF＝GE＝GC，
∴∠AEO＝∠GEC＝∠GCE，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∵OF⊥AB，
∴∠OAC+∠AEO＝90°，
∴∠OCA+∠GCE＝90°，即OC⊥GC，
∴CG 与⊙O 相切；
（2）∵∠AOE＝∠FCE＝90°，∠AEO＝∠FEC，
∴∠OAE＝∠F，
又∵∠B＝∠B，
∴△ABC∽△FBO，
∴＝，即BO•AB＝BC•BF，
∵AB＝2BO，
∴2OB2＝BC•BF；
（3）由（1）知GC＝GE＝GF，
∴∠F＝∠GCF，
∴∠EGC＝2∠F，
又∵∠DCE＝2∠F，
∴∠EGC＝∠DCE，
∵∠DEC＝∠CEG，
∴△ECD∽△EGC，
∴＝，
∵CE＝3，DG＝2.5，
∴＝，
整理，得：DE2+2.5DE﹣9＝0，
解得：DE＝2 或DE＝﹣4.5（舍），
故DE＝2．
【点评】本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握圆周角定理、切线的判定、相似三角形的判定与性质及直角三角形的性质等知识点．
23．（9 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+2x﹣3 与x 轴交于A，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C，对称轴为直线l，点D（﹣4，n）在抛物线上．
（1）求直线CD 的解析式；
（2）E 为直线CD 下方抛物线上的一点，连接EC，ED，当△ECD 的面积最大时，在直线l 上取一点M，过M 作y 轴的垂线，垂足为点N，连接EM，BN，若EM＝BN 时，求EM+MN+BN 的值．
（3）将抛物线y＝x2+2x﹣3 沿x 轴正方向平移得到新抛物线y′，y′经过原点O，y′ 与x 轴的另一个交点为F，设P 是抛物线y′上任意一点，点Q 在直线l 上，△PFQ 能否成为以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若能，直接写出点P 的坐标，若不能，请说明理由．
【分析】（1）求出C、D 两点坐标，利用待定系数法即可解决问题；
（2）如图1 中，过点E 作EG∥y 轴交直线CD 于G．设E（m，m2+2m﹣3）．则G（m，﹣2m﹣3），GE＝﹣m2﹣4m．根据S△EDC＝•EG•|D x|＝（﹣m2﹣4m）×4＝﹣2（m+2）2+8，可知m＝﹣2 时，△DEC 的面积最大，此时E（﹣2，﹣3），再证明Rt△EHM≌Rt△BON 即可解决问题；
（3）存在．如图2 中．作P1M⊥x 轴于M，P1N⊥对称轴l 于N．对称轴l 交OA 于K，由△P1MF≌△P1NQ，推出P1M＝P1N，推出点P 在∠MKN 的角平分线上，只要求出直线KP1 的解析式，构建方程组即可解决问题，同法可求P3，P4．
【解答】解：（1）由题意C（0，﹣3），D（﹣4，5），
设直线CD 的解析式为y＝kx+b，则有
解得，
∴直线CD 的解析式为y＝﹣2x﹣3．
（2）如图1 中，过点E 作EG∥y 轴交直线CD 于G．设E（m，m2+2m﹣3）．则G（m，﹣2m﹣3），GE＝﹣m2﹣4m．
∴S△EDC＝•EG•|D x|＝（﹣m2﹣4m）×4＝﹣2（m+2）2+8，
∵﹣2＜0，
∴m＝﹣2 时，△DEC 的面积最大，此时E（﹣2，﹣3），
∵C（0，﹣3），
∴EC∥AB，设CE 交对称轴于H，
∵B（1，0），
∴EH＝OB＝1，∵EM＝BN，
∴Rt△EHM≌Rt△BON，
∴MH＝ON＝OC＝，
∴EM＝BN＝＝，
∴EM+MN+BN＝1+ ．
（3）存在．如图2 中．作P1M⊥x 轴于M，P1N⊥对称轴l 于N．对称轴l 交OA 于K，
，解得或
，），P
2（
，
，解得或，
，），P
4（，
由P1Q＝P1F，∠QP1F＝90°，可得△P1MF≌△P1NQ，
∴P1M＝P1N，
∴点P 在∠MKN 的角平分线上，
∵直线KP1 的解析式为y＝﹣x﹣1，抛物线y′的解析式为y＝x2﹣4x，
由
∴P1（），
同法可知，直线y＝x+1 与抛物线的交点P3，P4 也符合条件．
由
∴P3（），
综上所述，满足条件的点P 坐标为（，）或（，）或（，）或（，）．
【点评】本题考查二次函数综合题、平移变换、一次函数的应用、全等三角形的判定和
性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会构建二次函数解决最值问题，学会利用方程组确定厉害函数的交点坐标，属于中考压轴题．
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