吉林省实验中学高二数学上学期期末考试试题 文

吉林省实验中学2017级高二年级上学期期末考试
数学(文科)学科试卷
考试时间 :120分钟满分:150分
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．某班有男生36人，女生18人，用分层抽样的方法从该班全体学生中抽取一个容量
为9的样本，则抽取的女生人数为（）A．6 B．4 C．3 D．2
2．已知p：a≠0，q：ab≠0，则p是q的 ( ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知命题p：∀x>2,x3－8>0，那么 p是（）A．∀x≤2，x3－8≤0 B．∃x≤2，x3－8≤0
C．∀x〉2，x3－8≤0 D．∃x>2，x3－8≤0
4．四张卡片上分别写有数字1,2,3，4，若从这4张卡片中随机抽取2张,则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（）
A。

错误! B. 错误! C. 错误! D. 错误!
5．已知函数y＝x ln x，则这个函数在点x＝1处的切线方程是 ( ）A．y＝2x－2 B．y＝2x＋2 C．y＝x－1 D．y＝x＋1
6．已知椭圆与双曲线错误!－错误!＝1的焦点相同，且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和
为10，那么椭圆的离心率等于 ( )
A.错误!
B. 错误!
C. 错误!
D. 错误!
7．已知一组数据按从小到大的顺序排列,得到－1,0,4,x，7，14，中位数为5，则这组数据的平均数和方差分别为（）
A．
74
5,
3
B．
73
5,
3
C．
76
4,
3
D．
77
4,
3
8．已知双曲线C：错误!－错误!＝1(a〉0,b〉0）的离心率为错误!,则C的渐近线方程为（）A．y＝±错误!x B．y＝±错误!x C．y＝±错误!x D．y＝±x
9．函数f(x)＝x
e x
，x∈［0,4］的最大值为（）
A．0 B. 错误! C. 错误! D。

错误!
10．在（0，1)之间随机取两个数,x y ，则6
5
x y +<
的概率为 （ ） A.
1725 B 。

1125 C. 925 D. 1425
11．设P 是椭圆错误!＋错误!＝1上一点，M ，N 分别是两圆（x ＋4)2
＋y 2
＝1和(x －4）2
＋y 2
＝1上的点，则|PM |＋｜PN ｜的最小值、最大值分别为 （ ）
A ．9，12
B ．8，11
C ．10，12
D ．8,12
12．已知偶函数f (x )在定义域(,0)(0,)-∞⋃+∞内可导，且()0xf x '<，设(1)a f =-，1
()2
b f =，(2)
c f =,
则 ( ）
A ．a <b 〈c
B ．c 〈a 〈b
C ．c 〈b 〈a
D ．b <c <a
二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分)
13．如图所示,在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此
估计阴影部分的面积为 ．
14．已知P 为椭圆C ：错误!＋错误!＝1(a >b >0）上一点，,,1212为左右焦点，且90F F F PF ∠=若129PF F S ∆=,则b = ．
15．已知函数()ln f x ax x =-+有两个零点，则a 的取值范围是 ．
16．过双曲线错误!－错误!＝1(a 〉0,b 〉0)的左焦点F （－c ，0）（c 〉0)作圆x 2
＋y 2
＝错误!的切线,切点为
E ,延长FE 交双曲线右支于点P ，若错误!＝错误!（错误!＋错误!)，则双曲线的离心率为________．
三、解答题:（本大题共6小题，其中17小题10分,18～22小题每小题12分；解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）某班抽取20名学生周测物理考试成绩(单位：分）的频率分布直方图如下： （1）求频率分布直方图中a 的值,并写出众数； （2）分别求出成绩落在[50,60）与[60，70）中的学生人数；
（3）从成绩在[50,70）的学生中任选2人，求这2人的成绩都在［60,70）
中的概率．
18．（本小题满分12分）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1（a >b 〉0)的一个顶点A （2,0），离心率为错误!，直线y ＝
k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N 。

（1）求椭圆C 的方程；
（2)当△AMN 的面积为错误!时,求实数k 的值．
19．（本小题满分12分）从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i （单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元）的数据资料，算得
101
i
i x =∑＝80，101
i
i y =∑＝20，101
i i
i x y =∑＝184，10
2
1
i
i x
=∑＝720。

（1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y bx a =+； （2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关;
(3）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．
参考公式：1
221
n
i i i n i i x y nx y
b x nx a y b x
∧==∧∧⎧
-⋅⎪⎪=⎪
⎨-⎪⎪⎪=-⎩∑∑
20．（本小题满分12分）已知抛物线C ：y 2
＝2px （p 〉0)的焦点为F ，点K （－1,0)为直线l 与抛物线C 准线的交点，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点． （1)求抛物线C 的方程；
（2)设错误!·错误!＝错误!,求直线l 的方程．
21．（本小题满分12分）设函数()ln 1f x x x =-+． (1）讨论()f x 的单调性； (2）证明:当(1,)x ∈+∞时，1
1ln x x x
-<<．
22．（本小题满分12分）已知函数f (x )＝错误!x 2
＋a ln x 。

(1）若a＝－1，求函数f（x)的极值,并指出是极大值还是极小值；
（2)若a＝1,求函数f(x）在［1，e]上的最大值和最小值;
(3）若a＝1，求证：在区间[1，＋∞)上函数f（x)的图像恒在函数g（x）＝错误!x3的图像的下方．
吉林省实验中学2017级高二年级上学期期末考试
数学（文科)学科答案
一、
选择题（本大题共12小题，每小题5分）
CBDCC BACBA DB
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分） 13. 0.18或
9
50
14。

3
15。

(,)1
0e
三、解答题
17。

解：（1）据直方图知组距＝10，
由(2a ＋3a ＋6a ＋7a ＋2a )×10＝1, 解得a ＝错误!＝0。

005。

众数：75 ………………4分 （2)成绩落在[50,60）中的学生人数为2×0。

005×10×20＝2，
成绩落在［60,70)中的学生人数为3×0.005×10×20＝3 .………………6分 （3）记成绩落在［50,60）中的2人为A 1,A 2,成绩落在［60，70)中的3人为B 1，B 2，B 3，
则从成绩在［50,70）的学生中任选2人的基本事件共有10个：（A 1，A 2），(A 1,B 1），(A 1，B 2)，（A 1，B 3)，(A 2,B 1),（A 2，B 2）,(A 2，B 3),（B 1,B 2)，(B 1，B 3)，（B 2,B 3), 记“两人成绩都落在[60,70）”为事件C ，
则事件C 包含的基本事件有3个：(B 1，B 2）,(B 1，B 3）,(B 2，B 3)，
3
()10
P C
. ………………10分
18. 解：（1）∵a ＝2，e ＝错误!＝错误!，∴c ＝错误!，b ＝错误!。

∴椭圆C ：错误!＋错误!＝1. ………………4分 （2）设M （x 1，y 1），N (x 2，y 2），则由错误!消y ， 得（1＋2k 2
）x 2
－4k 2
x ＋2k 2
－4＝0。

∵直线y ＝k （x －1）恒过椭圆内一点(1,0)， ∴Δ〉0恒成立．
由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝4k 2
1＋2k
2，x 1x 2＝错误!. ………………8分
S △AMN ＝1
2
×1×|y 1－y 2|＝错误!×|kx 1－kx 2｜ ………………10分
＝错误
＝错误!错误!＝错误!.
即7k 4
－2k 2
－5＝0，解得k ＝±1。

………………12分
19. 解：（1）由题意知n ＝10，x ＝错误!
10
1
i i x =∑＝错误!＝8
y ＝错误!10
1
i i y =∑＝错误!＝2,又10
21
i i x =∑－2nx ＝720－10×82＝80,
又
10
1
i i
i x y =∑－nx y ＝184－10×8×2＝24，
由此得12
2
1
n
i i
i n
i
i x y nx y
b x
nx ∧
==-⋅=
=-∑∑错误!＝0.3， a y b x ∧∧
=-=2－0。

3×8＝－0.4，
故所求回归方程为错误!＝0.3x －0.4。

………………6分 （2)由于变量y 的值随x 的值增加而增加（b ＝0。

3〉0），故x 与y 之间是正相关 ……8分 （3）将x ＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄约为y ＝0。

3×7－0。

4＝1。

7千元．
………………12分
20. (1）依题意知－错误!＝－1，解得p ＝2。

所以抛物线C 的方程为y 2
＝4x 。

………………4分 （2）设A (x 1，y 1），B （x 2，y 2),且设直线l 的方程为x ＝my －1（m ≠0）．
将x ＝my －1代入y 2
＝4x ,并整理，得y 2
－4my ＋4＝0。

由Δ>0，得m 2
〉1.从而y 1＋y 2＝4m ,y 1y 2＝4。

所以x 1＋x 2＝(my 1－1)＋（my 2－1）＝4m 2
－2,
x 1x 2＝(my 1－1)（my 2－1）＝m 2y 1y 2－m (y 1＋y 2）＋1＝1 。

………………8分
因为错误!＝（x 1－1，y 1),错误!＝(x 2－1,y 2)，
FA ，→
·错误!＝（x 1－1）(x 2－1）＋y 1y 2＝x 1x 2－（x 1＋x 2)＋1＋4＝8－4m 2， ………………10分 故8－4m 2
＝错误!，解得m ＝±错误!满足m 2
>1。

所以直线l 的方程为x ＝±错误!y －1。

………………12分
即3x －4y ＋3＝0或3x ＋4y ＋3＝0.
21．解：（1）由题设，()f x 的定义域为(0,)+∞，
1
()1f x x
'=
-， 。

………………2分 令()0f x '=,解得1x =． ………………3分 当01x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增；
当1x >时，()0f x '<,()f x 单调递减． ………………6分 （2）由（1）知，()f x 在1x =处取得最大值,最大值为(1)0f =, 所以当1x ≠时，ln 1x x <-,
故当(1,)x ∈+∞时,ln 1x x <-，∴11
ln
1x x
<-， ∴1ln 1x x -<-,即1ln x x x --<,∴1ln x x x
-> ∴11ln x x x -<<．
………………12分 （2)法二：
1x > ln 0x ∴> ∴要证1ln x x x
-< 即证1ln x x x -<，
构造函数()ln 1h x x x x =-+，证明()0h x >，(1,)x ∀∈+∞即可．
22. 解：（1）由于函数f (x )的定义域为（0，＋∞)，
当a ＝－1时,f ′(x ）＝x －错误!＝错误!， 令f ′(x ）＝0,得x ＝1或x ＝－1(舍去）． 当x ∈（0，1)时,函数f (x )单调递减, 当x ∈(1，＋∞）时,函数f （x ）单调递增，
所以f (x ）在x ＝1处取得极小值，极小值为错误!. ………………4分 （2）当a ＝1时,易知函数f （x ）在［1，e ］上为增函数,
所以f （x ）min ＝f (1)＝错误!，f （x ）max ＝f (e ）＝错误!e 2
＋1。

………………8分
（3）证明：设F （x )＝f （x )－g （x ）＝12
x 2＋ln x －错误!x 3,
则F ′(x )＝x ＋错误!－2x 2
＝2(1)(12)
x x x x
-++，
当x〉1时，F′(x)<0,故F（x）在区间(1，＋∞)上是减函数．又因为F（1)＝－错误!<0，所以在区间［1，＋∞）上F(x）〈0恒成立，即f(x)<g(x)恒成立．因此，当a＝1时，在区间[1,＋∞）上函数f(x）的图像在函数g（x)图像的下方．………………12分。