有趣的斐波那契数列

有趣的斐波那契数列
有趣的斐波那契数列
谈起斐波那契数列，我想很多⼈会想到《达芬奇密码》中的故事：午夜,卢浮宫博物馆年迈的馆长被⼈杀害在⼤陈列馆的镶⽊地板上.在⼈⽣的最后时刻,馆长脱光了⾐服,明⽩⽆误的⽤⾃⼰的⾝体摆成了达.芬奇名画维特鲁维⼈的样⼦,还在⼫体旁边留下了⼀个令⼈难以捉摸的密码.符号学专家罗伯特.兰登与密码破译天才索菲.奈夫,在对⼀⼤堆怪异的密码进⾏整理的过程当中,发现⼀连串的线索竟然隐藏在达.芬奇的艺术作品当中。

⽽这串密码就是斐波那契数列：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...
然⽽它们到底是怎样的⼀串数字呢？今天就让我们⼀起来认识⼀下吧！斐波那契数列，⼜称黄⾦分割数列，指的是这样⼀个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的⽅法定义：F0=0，F1=1，Fn=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*）
递推公式
斐波那契数列：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, (1)
如果设F(n）为该数列的第n项（n∈N*），那么这句话可以写成如下形式：[1]
显然这是⼀个线性递推数列。

[1]
通项公式
(如上，⼜称为“⽐内公式”，是⽤⽆理数表⽰有理数的⼀个范例。

)
注：此时a1=1，a2=1，an=a(n-1)+a(n-2)（n>=3,n∈N*）
待定系数法构造等⽐数列2（初等代数解法）
已知a1=1,a2=1,an=a(n-1)+a(n-2)(n>=3），求数列{an}的通项公式。

解：设an-αa(n-1)=β（a(n-1)-αa(n-2））。

得α+β=1。

αβ=-1。

构造⽅程x^2-x-1=0，解得α=(1-√5)/2，β=(1+√5)/2或α=(1+√5)/2，β=(1-√5)/2。

所以。

an-(1-√5)/2*a(n-1)=(1+√5)/2*(a(n-1)-(1-√5)/2*a(n-2))=[(1+√5)/2]^ (n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)`````````1。

an-(1+√5)/2*a(n-1)=(1-√5)/2*(a(n-1)-(1+√5)/2*a(n-2))=[(1-√5)/2]^ (n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)`````````2。

由式1，式2，可得。

an=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)``````````````3。

an=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)``````````````4。

将式3*(1+√5)/2-式4*(1-√5)/2，化简得an=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}。

⽣活中的斐波那契数列
⽣活中的斐波那契数列会经常出现在我们的眼前——⽐如松果、凤梨、树叶的排列、某些花朵的花瓣数（典型的有向⽇葵花瓣），蜂巢，蜻蜓翅膀，超越数e（可以推出更多），黄⾦矩形、黄⾦分割、等⾓螺线，⼗⼆平均律等。

斐波那契数与植物花瓣
3………………………百合和蝴蝶花
5………………………蓝花耧⽃菜、⾦凤花、飞燕草、⽑茛花8………………………翠雀花
13………………………⾦盏和玫瑰
21………………………紫宛
34、55、89……………雏菊
斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现。

例如，在树⽊的枝⼲上选⼀⽚叶⼦，记其为数0，然后依序点数叶⼦（假定没有折损），直到到达与那些叶⼦正对的位置，则其间的叶⼦数多半是斐波那契数。

叶⼦从⼀个位置到达下⼀个正对的位置称为⼀个循回。

叶⼦在⼀个循回中旋转的圈数也是斐波那契数。

在⼀个循回中叶⼦数与叶⼦旋转圈数的⽐称为叶序（源⾃希腊词，意即叶⼦的排列）⽐。

多数的叶序⽐呈现为斐波那契数的⽐。

黄⾦分割、杨辉三⾓、兔⼦繁殖问题、艾略特波浪理论、⼈类⽂明的斐波那契演进
总之，斐波那契数列在我们⽣活是很有趣并且很重要的数列。

由于版⾯有限不再在此赘述！。