九年级数学下册 第27章 圆 27.4 正多边形和圆导学课件

点 O 为圆心，作小⊙O 与 AB 相切，
那么 AD，DC，AB 和 BC 都与小⊙O__相__切____，
四边形 ABCD 是小⊙O 的_外__切__正__四_边__形__．
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图 27－4－1
27.4 正多边形和圆
例2 [教材补充例题] 下列结论中正确的有( B )
(1)各边都相等的多边形是正多边形；
(2)各角都相等的多边形是正多边形；
(3)正七边形有7条对称轴；
(4)任何正多边形只有一个外接圆和一个内切圆；
(5)一个圆有无数个内接正多边形和外切正多边形；
(6)边数为奇数的正多边形一定是轴对称图形；
(7)如果一个正多边形的每个外角都等于36°，那么它是正十边形；
(8)若正方形的边长为6，则其内切圆的半径为3.
反思
学习了正多边形与圆后，三名同学有下列结论： 张东：正多边形内切圆的半径与正多边形的半径相等； 李艳：边数相同的正多边形都相似； 刘浩：正多边形既是轴对称图形，也是中心对称图形． 他们的说法正确吗？
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27.4 正多边形和圆
解：正多边形内切圆的半径与正多边形的边心距相等，所以张东的说法 不正确；
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27.4 正多边形和圆
(3)用圆规和直尺：用尺规等分圆周，可以作正六边形、正方形 等特殊的圆内接正多边形．
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27.4 正多边形和圆
总结反思
小结 知识点一 正多边形与圆的关系
正多边形：__各__条__边_相__等___、__各_个__角_也__相__等__的多边形叫做正多 边形．
任何一个正多边形都有一个__外__接_圆___和一个__内__切__圆__，并且 这两个圆是同心圆．
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27.4 正多边形和圆
知识点二 正多边形的有关概念
正多边形的中心：正多边形的__外__接_圆___(或内切圆)的圆心叫做 正多边形的中心．
正多边形的半径：外接圆的___半__径___叫做正多边形的半径． 正多边形的边心距：__内__切_圆___的半径叫做正多边形的边心距． 正多边形的中心角：正多边形每一条边所对的外接圆的圆心角 都相等，叫做正多边形的中心角．正n(n≥3，且n为整数)边形的每
1 5a
正五边形的周长
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P＝5a；正五边形的面积
S＝5S△OBC＝5×2ad＝
2
r2－a42.
27.4 正多边形和圆
【归纳总结】正多边形的有关计算： (1)正多边形满足以下两个条件：各边相等、各角相等． (2)正多边形中各元素间的关系： 设正 n(n≥3，且 n 为整数)边形的边长为 an，半径为 R，边心 距为 rn，中心角为 αn，周长为 Cn，面积为 Sn，则 R2＝rn2＋a2n2，
A．5个 12/12/2021
B．6个
C．7个
D．8个
27.4 正多边形和圆
[解析] 菱形的四条边都相等，但它不是正四边形，所以(1)不正确； 矩形的四个角都相等，但它不是正四边形，所以(2)不正确；其余六个结论 都正确．
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27.4 正多边形和圆
【归纳总结】各边相等、各角相等是正多边形的两个基本特征， 边数为n(n＞3)的多边形必须同时满足这两个特征才是正多边形，否 则就不一定是正多边形．
第二十七章 圆
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第二十七章 圆
27．4 正多边形和圆
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知识目标 目标突破 总结反思
27.4 正多边形和圆
知识目标
1．了解正多边形的概念，而且知道正多边形与圆的关系． 2．在理解正多边形与圆的关系的基础上，通过例题和练习的 学习，能够进行正多边形的有关计算． 3．通过阅读教材，能借助等分圆周的方法画圆内接正多边形 和圆外切正多边形．
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27.4 正多边形和圆
目标二 能进行正多边形的有关计算
例 3 [教材补充例题] 如图 27－4－2，已知△ABC 是⊙O 的内接
等腰三角形，顶角∠A＝36°，弦 BE，CD 分别平分∠ABC，∠ACB.
(1)求证：五边形 ADBCE 是正五边形；
(2)指出正五边形的中心；
(3)求正五边形的中心角；
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27.4 正多边形和圆
解：(1)证明：∵△ABC 是等腰三角形，且∠BAC＝36°， ∴∠ABC＝∠ACB＝72°. 又∵BE 平分∠ABC，CD 平分∠ACB， ∴∠ABE＝∠EBC＝∠ACD＝∠DCB＝36°， 即∠ABE＝∠EBC＝∠ACD＝∠DCB＝∠BAC， ∴ ＝ ＝＝＝， ∴A，D，B，C，E 是⊙O 的五等分点， ∴五边形 ADBCE 是正五边形．
(4)如果正五边形的半径是 r，边长是 a，
求正五边形的边心距 d、周长 P 和面积 S.
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图 27－4－2
27.4 正多边形和圆
[解析] (1)要证明五边形 ADBCE 是正五边形，只需要证明 ＝ ＝ ＝ ＝ 即可；(2)正多边形的中心就是其外接圆的圆心；(3)正 n 边形的中心角为36n0°； (4)连结 OB，OC，过点 O 作 BC 的垂线，垂线段的长度就是边心距，根据勾股定理 即可求出．
根据相似形的定义可知边数相同的正多边形都相似，所以李艳的说法 正确．
正多边形都是轴对称图形，但不一定是中心对称图形，比如正五边形 不是中心对称图形，所以刘浩的说法不正确．
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27.4 正多边形和圆
目标三 会画正多边形
例 4 [教材例题针对训练] 如图 27－4－3，已知 A，B，C，D， E 是⊙O 的五等分点，过点 A 画出⊙O 的内接正五边形和外切正 五边形．
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图 27－4－3
27.4 正多边形和圆
[解析] 依次连结圆的五等分点，所得的五边形是圆内接正五边形；经过 圆的五等分点作圆的切线，相邻切线相交成的五边形是圆外切正五边形．
解：(1)如图，依次连结 AB，BC，CD，DE，EA，就得到⊙O 的内接正五边 形 ABCDE. (2)如图，分别过点 A，B，C，D，E 作⊙O 的切线，所得的五边形 FGHMN 是⊙O 的外切正五边形．
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27.4 正多边形和圆
【归纳总结】等分圆周画圆内接正多边形的工具和方法： (1)只用量角器：用量角器把 360°的圆心角 n(n>2，且 n 为整数) 等分，相应圆周也被 n 等分，顺次连结各分点即可得到圆内接正 n 边形. (2)用量角器和圆规：先用量角器画出 360°圆心角的n1(n>2，且 n 为整数)，相应地可得到圆周的n1；再用圆规顺次截取，便得到圆周 的 n 等分点，顺次连结各分点即可得到圆内接正 n 边形.
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27.4 正多边形和圆
目标突破
目标一 了解正多边形的概念
例 1 [教材补充例题]已知：如图 27－4－1 所示，正方形 ABCD 的四
个顶点都在大⊙O 上，连结 AC 和 BD，那么 OA，OB，OC，OD 都是大
⊙O 的___半_径____，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOA＝____9_0___°，以
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27.4 正多边形和圆
(2)∵正多边形的中心是其外接圆的圆心，∴正五边形的中心是点 O.
(3)∵ ＝ ＝ ＝ ＝ ，
∴正五边形的中心角是3650°＝72°.
(4)如图，连结 OB，OC，过点 O 作 OF⊥BC 于点 F.
∵OB＝r，BF＝12BC＝12a，
∴正五边形的边心距 d＝ OB2－BF2＝ r2－a42；
360°
个中心角都等于____n____．
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27.4 正多边形和圆
知识点三 正多边形的画法
基本原理：由于在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相 等，所对的弦相等，因此可以用等分圆心角的方法来等分圆周， 从而画正多边形．
把圆分成n(n≥3，且n为整数)等份，依次连结各分点所得的多 边形是这个圆的一个内接__正_n_边__形__；经过各分点作圆的切线，以 相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切__正_n_边__形__．
αn＝36n0°，Cn＝nan，Sn＝12nrnan＝12Cnrn.
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27.4 正多边形和圆
从以上关系式可以看出，正多边形的有关计算都可以转化到由 半径、中心到边的垂线段和边长的一半组成的直角三角形中解决．
(3)正三角形中，边心距∶半径∶高＝1∶2∶3；正方形中，正方 形的对角线长等于其半径的 2 倍，边心距等于其边长的一半；正六 边形中，正六边形的边长等于其半径．
等分圆周的常用方法：(1)用__量__角_器___等分；(2)用___圆__规___等 分． 12/12/2021
27.4 正多边形和圆
知识点四 正多边形与圆的有关计算
解决正多边形的相关计算问题，关键在于添加辅助线，将其 转化为直角三角形，然后运用勾股定理来解决．
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27.4 正多边形和圆