第八讲 应变能密度
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3.7 应变能密度
§3.7 复杂应力状态下的应变能密度
1、概念
应变能（Vε）：固体在外力作用下，因变形而储存的能 量称应变能。
当外力逐渐减小时，弹性体变形逐渐恢复，所储存的应 变能被释放而做功。
应变能密度：单位体积内储存的应变能
单向应力状态下的应变能密度
v
=
V V
=
1
2
o
§3.7 复杂应力状态下的应变能密度
1、概念
v
=
V V
=
1
2
单向应=力E状 态
v
=
1 2
2E
v
=
1 2
E 2
有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６或关注桃报：奉献教育（店铺）
§3.7 复杂应力状态下的应变能密度
2、计算公式
三个主应力同时存在时, 单元体的应变能密度为
v
=
1 2
(11
+
2
2
+ 33 )
将广义胡克定律
1
=
1 E
1
−
( 2
+ 3 )
=
1+
6E
[(1
− 2 )2
+
( 2
−3)2
+
(1
− 3 )2 ]
有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６或关注桃报：奉献教育（店铺）
+
2 2
+
2 3
− 2(1 2
+ 2 3
+ 1 3 )]
a的体积改变能密度
(vV )a
=
1− 2
(vV )b = 6E
(1
+2
+ 3 )2
§3.7 复杂应力状态下的应变能密度
2、计算公式
2
m=(1+ 2+ 3)/3
代之以m
1
m
3
(a)
m
(b)
即可求得空间应力状态下单元体的畸变能密度
vd
=
v
− vV
§3.7 复杂应力状态下的应变能密度
2、计算公式
1
2 3
m m
m
1−m
2 −m 3 −m
体积改变能密度
形状改变能密度 (畸变能密度)
有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６或关注桃报：奉献教育（店铺）
§3.7 复杂应力状态下的应变能密度
2、计算公式
m
三向等值应力单元体的主应变为
1
= 2
= 3
=
1 E
[
m
(vV )b =(v
)b
=
1 2E
[
2 m
+
2 m
+
2 m
−
2
(
2 m
+
2 m
+
2 m
)]
=
3(1− 2
2E
)
2 m
=
1− 2
6E
(1
+2
+ 3 )2
§3.7 复杂应力状态下的应变能密度
2、计算公式
2
m=(1+ 2+ 3)/3
代之以m
1
m
3
(a)
m
(b)
图a单元体的应变能密度为
v
=
1 2E
[
2 1
代之以m
1
m
3
(a)
(v )a = (vV )a + (vd )a
m
(b)
(v )b = (vV )b
=
1− 2
E
(1
+
2
+
3
)
（体积应变）
(vV )a = (vV )b
§3.7 复杂应力状态下的应变能密度
2、计算公式
2
m=(1+ 2+ 3)/3
代之以m
1
m
3
(a)
m
(b)
图b所示单元体的体积改变能密度
则应变能密度vε等于两部分之和
v = vV + vd
§3.7 复杂应力状态下的应变能密度
2、计算公式
2
1 3
当单元体的三个主应力不相等，因此变形后既发生体 积改变也发生形状改变。
§3.7 复杂应力状态下的应变能密度
2、计算公式
2
代之以m
1
3
m
m=(1+ 2+ 3)/3 m
当单元体的三个主应力相等，因此变形后的形状与 原来的形状相似，即只发生体积改变而无形状改变。
2
=
1 E
2
−
( 3
+ 1 )
3
=ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 E
3
−
( 1
+ 2 )
代入上式，经整理得应变能密度
v
=
1 2E
[
2 1
+
2 2
+
2 3
− 2(1 2
+ 2 3
+ 1 3 )]
§3.7 复杂应力状态下的应变能密度
2、计算公式
用vV表示与单元体体积改变相应的那部分应变能密度， 称为体积改变能密度；
用vd表示与单元体形状改变相应的那部分应变能密度， 称为形状改变能密度，又称为畸变能密度。
−
(
m
+
m
)]
=
1
− 2
E
m
m m
如果变形前单元体的三个棱边成某种比例，
2
由于三个棱边应变相同，则变形后的三个棱边
的长度仍保持这种比例。所以在三向等值应力
1
m的作用下，单元体变形后的形状和变形前的
相似，称这样的单元体是形状不变的。
3
1
§3.7 复杂应力状态下的应变能密度
2、计算公式
2
m=(1+ 2+ 3)/3
§3.7 复杂应力状态下的应变能密度
1、概念
应变能（Vε）：固体在外力作用下，因变形而储存的能 量称应变能。
当外力逐渐减小时，弹性体变形逐渐恢复，所储存的应 变能被释放而做功。
应变能密度：单位体积内储存的应变能
单向应力状态下的应变能密度
v
=
V V
=
1
2
o
§3.7 复杂应力状态下的应变能密度
1、概念
v
=
V V
=
1
2
单向应=力E状 态
v
=
1 2
2E
v
=
1 2
E 2
有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６或关注桃报：奉献教育（店铺）
§3.7 复杂应力状态下的应变能密度
2、计算公式
三个主应力同时存在时, 单元体的应变能密度为
v
=
1 2
(11
+
2
2
+ 33 )
将广义胡克定律
1
=
1 E
1
−
( 2
+ 3 )
=
1+
6E
[(1
− 2 )2
+
( 2
−3)2
+
(1
− 3 )2 ]
有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６或关注桃报：奉献教育（店铺）
+
2 2
+
2 3
− 2(1 2
+ 2 3
+ 1 3 )]
a的体积改变能密度
(vV )a
=
1− 2
(vV )b = 6E
(1
+2
+ 3 )2
§3.7 复杂应力状态下的应变能密度
2、计算公式
2
m=(1+ 2+ 3)/3
代之以m
1
m
3
(a)
m
(b)
即可求得空间应力状态下单元体的畸变能密度
vd
=
v
− vV
§3.7 复杂应力状态下的应变能密度
2、计算公式
1
2 3
m m
m
1−m
2 −m 3 −m
体积改变能密度
形状改变能密度 (畸变能密度)
有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６或关注桃报：奉献教育（店铺）
§3.7 复杂应力状态下的应变能密度
2、计算公式
m
三向等值应力单元体的主应变为
1
= 2
= 3
=
1 E
[
m
(vV )b =(v
)b
=
1 2E
[
2 m
+
2 m
+
2 m
−
2
(
2 m
+
2 m
+
2 m
)]
=
3(1− 2
2E
)
2 m
=
1− 2
6E
(1
+2
+ 3 )2
§3.7 复杂应力状态下的应变能密度
2、计算公式
2
m=(1+ 2+ 3)/3
代之以m
1
m
3
(a)
m
(b)
图a单元体的应变能密度为
v
=
1 2E
[
2 1
代之以m
1
m
3
(a)
(v )a = (vV )a + (vd )a
m
(b)
(v )b = (vV )b
=
1− 2
E
(1
+
2
+
3
)
（体积应变）
(vV )a = (vV )b
§3.7 复杂应力状态下的应变能密度
2、计算公式
2
m=(1+ 2+ 3)/3
代之以m
1
m
3
(a)
m
(b)
图b所示单元体的体积改变能密度
则应变能密度vε等于两部分之和
v = vV + vd
§3.7 复杂应力状态下的应变能密度
2、计算公式
2
1 3
当单元体的三个主应力不相等，因此变形后既发生体 积改变也发生形状改变。
§3.7 复杂应力状态下的应变能密度
2、计算公式
2
代之以m
1
3
m
m=(1+ 2+ 3)/3 m
当单元体的三个主应力相等，因此变形后的形状与 原来的形状相似，即只发生体积改变而无形状改变。
2
=
1 E
2
−
( 3
+ 1 )
3
=ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 E
3
−
( 1
+ 2 )
代入上式，经整理得应变能密度
v
=
1 2E
[
2 1
+
2 2
+
2 3
− 2(1 2
+ 2 3
+ 1 3 )]
§3.7 复杂应力状态下的应变能密度
2、计算公式
用vV表示与单元体体积改变相应的那部分应变能密度， 称为体积改变能密度；
用vd表示与单元体形状改变相应的那部分应变能密度， 称为形状改变能密度，又称为畸变能密度。
−
(
m
+
m
)]
=
1
− 2
E
m
m m
如果变形前单元体的三个棱边成某种比例，
2
由于三个棱边应变相同，则变形后的三个棱边
的长度仍保持这种比例。所以在三向等值应力
1
m的作用下，单元体变形后的形状和变形前的
相似，称这样的单元体是形状不变的。
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1
§3.7 复杂应力状态下的应变能密度
2、计算公式
2
m=(1+ 2+ 3)/3