高中数学 第二章 2.2.1圆的方程(一)配套课件 苏教版必修2

设圆的半径为 r，则 C(0，－r)，
即圆的方程为 x2＋(y＋r)2＝r2.
①
将点 A 的坐标(6，－2)代入方程①，
得 36＋(r－2)2＝r2，∴r＝10.
∴圆的方程为 x2＋(y＋10)2＝100.
②
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.1(一)
当水面下降 1 米后， 可设点 A′的坐标为(x0，－3) (x0＞0)， 将 A′的坐标(x0，－3)代入方程②得 x0＝ 51， ∴水面下降 1 米后，水面宽为 2x0＝2 51米．
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.1(一)
[问题情境] 在平面直角坐标系中，已知两点能确定一条直线，已知一 点及倾斜角也能确定一条直线，那么在什么条件下可以确 定一个圆呢？直线能用二元一次方程表示，圆也能用一个 方程表示吗？这些就是本节我们要探讨的问题．
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.1(一)
练一练·当堂检测、目标达成落实处
2.2.1(一)
(2)待定系数法：第一步：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y －b)2＝r2； 第二步：根据条件列方程组求得待定系数 a，b，r； 第三步：将求得的值代入所设的方程中去，得到所求圆的 标准方程． 3．在具体问题的求解过程中，应灵活运用圆的有关几何性质 (如弦的垂直平分线过圆心；半弦长、弦心距、半径长构 成的勾股关系)．
得 x－a2＋y－b2＝r, 化简可得：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.1(一)
问题 4 如何说明(x－a)2＋(y－b)2＝r2 就是圆心坐标为 A(a， b)，半径为 r 的圆的方程？ 答 若点 M(x，y)在圆上，由上述讨论可知，点 M 的坐标适 合方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 反之，若点 M(x，y)的坐标适合方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 这就说明点 M 与圆心 A 的距离为 r， 即点 M 在圆心为 A 的圆上． 小结 方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2 (r>0)叫做以点(a，b)为圆 心，r 为半径的圆的标准方程．
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.1(一)
问题 5 点 M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2 的关系如何判 断？ 答 (1)(x0－a)2＋(y0－b)2>r2，点在圆外；
(2)(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，点在圆上； (3)(x0－a)2＋(y0－b)2<r2，点在圆内．
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.1(一)
探究点二 圆的标准方程的应用 问题 从圆的标准方程所含的参数上，你能分析出求圆的标
准方程需要几个条件吗？ 答 在圆的标准方程中，含有三个参数分别是 a，b，r， 因此求圆的标准方程需要三个已知条件．
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.1(一)
例 1 求圆心是 C(2，－3)，且经过坐标原点的圆的方程． 解 因为圆 C 经过坐标原点， 所以圆 C 的半径是 r＝ 22＋－32＝ 13. 因此，所求圆的方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝13.
于是57－ －aa22＋ ＋1－－3b－2b＝2r＝2 r2
a＝2 ，解方程组得b＝－3
.
2－a2＋－8－b2＝r2
r2＝25
所以，△ABC 的外接圆的方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝25.
研一研·问题探究、课堂更高效
.1(一)
小结 用待定系数法求圆的标准方程，即先设出圆的标准方 程，把已知条件代入方程，得到关于 a，b，r 的三个方程组 成的方程组，解方程组求出 a，b，r，再将 a，b，r 的值代 入标准方程．
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.1(一)
例 2 △ABC 的三个顶点的坐标是 A(5,1)，B(7，－3)，C(2， － 8)．求它的外接圆的方程．
解 设所求圆的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
①
因为 A(5,1)，B (7，－3)，C(2，－8) 都在圆上，所以它们
的坐标都满足方程①.
所以圆的半径 r＝PB＝ 13. 故所求的圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝13.
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.1(一)
例 3 已知隧道的截面是半径为 4 m 的半圆，车辆只能在道 路中心线的一侧行驶，车辆宽度为 3 m，高为 3.5 m 的货 车能不能驶入这个隧道？ 解 如右图，以某一截面半圆的圆心为原点， 半圆的直径 AB 所在的直线为 x 轴，建立直 角坐标系，那么半圆的方程为： x2＋y2＝16 (y≥0)，
2．2.1 圆的方程
2.2.1(一)
第一课时
【学习要求】 1．了解推导圆的方程的思想方法． 2．掌握圆的标准方程，并能根据方程写出圆心的坐标和圆
的半径． 3．能根据所给条件，求出圆的半径和圆心坐标，从而求出
圆的标准方程． 【学法指导】
通过运用圆的定义及两点间的距离公式，探究出圆的标准 方程；通过应用圆的标准方程解决实际问题，培养观察问 题、发现问题及分析、解决问题的能力.
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.1(一)
跟踪训练 2 已知三点 A(3,2)，B(5，－3)，C(－1,3)，以 P(2， －1)为圆心作一个圆，使 A、B、C 三点中一点在圆外，一点 在圆上，一点在圆内，求这个圆的方程．
解 要使 A、B、C 三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在 圆内， 则圆的半径是 PA、PB、PC 中的中间值． 由于 PA＝ 10，PB＝ 13，PC＝ 25. 即 PA＜PB＜PC.
填一填·知识要点、记下疑难点
2.2.1(一)
1．方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2 (r>0)是以点 (a，b)为圆心，r 为 半径的圆的方程，叫做圆的 标准方程 ．当圆心为原点(0,0) 时，圆的方程则为 x2＋y2＝r2 .
2．点和圆的位置关系：点和圆的位置关系有 3 种，圆的标准 方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点 M(x0，y0)： (1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝ r2； (2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2 > r2； (3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2 < r2.
探究点一 圆的标准方程 问题 1 在初中圆是如何定义的？
答 平面内到定点的距离等于定长的点的集合．定点就是 圆心，定长就是半径．
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.1(一)
问题 2 如何求以坐标原点为圆心，r 为半径的圆的方程？ 答 设 P(x，y)是圆上的任意一点，依据圆的定义，则有 OP ＝r，
将 x＝3 代入得
y＝ 16－32＝ 7< 9＝3<3.5，
即在离中心线 3 m 处，隧道的高度低于货车的高度． 因此，该货车不能驶入这个隧道．
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.1(一)
小结 本题是用解析法解决实际问题．解析法解决实际问题 的步骤为：建系、设点、列式、计算、总结．
研一研·问题探究、课堂更高效
小结 求圆的标准方程就是将已知条件与圆心坐标及圆半径 建立联系，从而求出圆心坐标及圆半径．
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.1(一)
跟踪训练 1 已知圆与 y 轴相切，圆心在直线 x－3y＝0 上， 且这个圆经过点 A(6,1)，求该圆的标准方程．
解 因圆与 y 轴相切，则可设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝ a2， 又圆心在直线 x－3y＝0 上，∴a＝3b. 又点 A(6,1)在圆上， ∴(3b－6)2＋(b－1)2＝9b2，解得 b＝1 或 b＝37， ∴a＝3 或 a＝111. 故该圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9 或(x－111)2＋(y－37)2＝ 1112.
练一练·当堂检测、目标达成落实处
2.2.1(一)
1．圆心是 O(－3,4)，半径长为 5 的圆的方程为 _(_x_＋__3_)2_＋__(y_－__4_)_2_＝_2_5__．
解析 将 O(－3,4)，r＝5 代入圆的标准方程可得．
练一练·当堂检测、目标达成落实处
2.2.1(一)
2．圆心在直线 y＝x 上且与 x 轴相切于点(1,0)的圆的方程为 _(x_－__1_)_2＋__(_y_－__1_)2_＝__1__．
解析 设圆心为 P(a，a)， 而切点为 A(1,0)， 则 PA⊥x 轴，∴a＝1. 故方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1.
练一练·当堂检测、目标达成落实处
2.2.1(一)
3．圆的内接正方形相对的两个顶点为 A(5,6)，C(3，－4)， 求该圆的方程． 解 由题意可得 AC 为直径，
所以 AC 的中点 M 为该圆的圆心即 M(4,1)． 又因为 AC＝ 5－32＋6＋42＝ 4＋100＝2 26， ∴r＝A2C＝ 26， ∴圆的标准方程为：(x－4)2＋(y－1)2＝26.
练一练·当堂检测、目标达成落实处
2.2.1(一)
1．圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝m. 当 m>0 时，表示圆心为 C(a，b)，半径为 m的圆； 当 m＝0 时，表示一个点 C(a，b)； 当 m<0 时，不表示任何图形．
2．确定圆的方程的方法及步骤： (1)直接代入法：根据已知条件求得圆心坐标和半径，直 接写出圆的标准方程．
将点 P 的坐标代入，得 x－02＋y－02＝r.化简，得 x2＋ y2＝r2.这就是所求圆的方程．
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.1(一)
问题 3 设圆的圆心坐标为 A(a，b)，半径为 r(其中 a、b、r 都是常数，r>0)．设 M(x，y)为这个圆上任意一点，那么圆 的方程又是什么？ 答 因 MA＝r，由两点间的距离公式，
2.2.1(一)
跟踪训练 3 如图所示，一座圆拱桥，当水面
在 l 位置时，拱顶离水面 2 米，水面宽 12 米，
当水面下降 1 米后，水面宽为多少米？
解 以圆拱桥拱顶为坐标原点，以过拱顶的竖直直线为 y 轴，
建立直角坐标系，如图所示．
设圆心为 C，水面所在弦的端点为 A、B， 则由已知得 A(6，－2)．