二次函数压轴题之菱形存在性问题

菱形存在性问题
作为一种特殊的平行四边形，我们已经知道可以从以下几种方式得到菱形： （1）有一组邻边相等的平行四边形菱形； （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （3）四边都相等的四边形是菱形．
坐标系中的菱形存在性问题也是依据以上去得到方法．和平行四边形相比，菱形多一个“对角线互相垂直”或“邻边相等”，但这两者其实是等价的，故若四边形ABCD 是菱形，则其4个点坐标需满足：
A C
B D A
C B
D x x x x y y y y ⎧
+=+⎪⎪
+=+⎨=
考虑到互相垂直的两条直线斜率之积为1在初中并不适合直接用，故取两邻边相等． 即根据菱形的图形性质，我们可以列出关于点坐标的3个等式， 故菱形存在性问题点坐标最多可以有3个未知量，与矩形相同．
因此就常规题型而言，菱形存在性至少有2个动点，多则有3个动点，可细分如下两大类题型：
（1）2个定点+1个半动点+1个全动点 （2）1个定点+3个半动点
解决问题的方法也可有如下两种： 思路1：先平四，再菱形
设点坐标，根据平四存在性要求列出“A +C =B +D ”（AC 、BD 为对角线），再结合一组邻边相等，得到方程组．
思路2：先等腰，再菱形
在构成菱形的4个点中任取3个点，必构成等腰三角形，根据等腰存在性方法可先确定第3个点，再确定第4个点．
1．看个例子：
如图，在坐标系中，A 点坐标（1,1），B 点坐标为（5,4），点C 在x 轴上，点D 在平面中，求D 点坐标，使得以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是菱形．
思路1：先平四，再菱形
设C 点坐标为（m ，0），D 点坐标为（p ，q ）．
（1）当AB 为对角线时，由题意得：（AB 和CD 互相平分及AC =BC ） ()()()()
222215*********m p q m m ⎧+=+⎪⎪
+=+⎨⎪-+-=-+-⎪⎩，解得：398985m p q ⎧
=⎪⎪
⎪
=⎨⎪
⎪=⎪⎩
（2）当AC 为对角线时，由题意得：（AC 和BD 互相平分及BA =BC ） ()()()()2222
151041514504m p q
m ⎧+=+⎪⎪
+=+⎨⎪-+-=-+-⎪⎩
，解得：223m p q =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩或843m p q =⎧⎪=⎨⎪=-⎩ （3）当AD 为对角线时，由题意得：
()()()()2222
151401514110p m
q m ⎧+=+⎪⎪+=+⎨
⎪-+-=-+
-⎪⎩
，解得：153m p q ⎧=+⎪⎪=+⎨⎪
=⎪⎩
153m p q ⎧=-⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩
思路2：先等腰，再菱形
先求点C，点C满足由A、B、C构成的三角形一定是等腰三角形，用等腰存在性问题的方法先确定C，再确定D点．
（1）当AB=AC时，
C
点坐标为()
1+，对应D
点坐标为()
5+；
C
点坐标为()
1-，对应D点坐标为()
5-．
（2）当BA=BC时，
C点坐标为（8，0），对应D点坐标为（4，-3）；
C点坐标为（2，0），对应D点坐标为（-2，-3）．
（3）AC=BC时，
C点坐标为
39
,0
8
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，D点坐标为
9
,5
8
⎛⎫
⎪
⎝⎭
．
以上只是两种简单的处理方法，对于一些较复杂的题目，还需具体问题具体分析，或许有更为简便的方法．
【两定两动：坐标轴+平面】
（2019·齐齐哈尔中考删减）综合与探究
如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，OA =2，OC =6，连接AC 和BC ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M 是y 轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N ，使以点A 、C 、M 、N 为顶点的
四边形是菱形？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．
备用图
【分析】
（1）抛物线：26
y x x
=--；
（2）先考虑M点位置，即由A、C、M三点构成的三角形是等腰三角形：
①当CA=CM时，
即CM=CA
=M
点坐标为(0,6--
、(0,6-+，
对应N
点坐标为(2,--
、(-．
②当AC=AM时，
即AM=AC
=M点坐标为（0，6），对应N点坐标为（2，0）．
③当MA=MC时，
勾股定理可求得M点坐标为
8 0,
3
⎛⎫
-
⎪⎝⎭
，
对应N点坐标为
10 2,
3
⎛⎫
--
⎪
⎝⎭
．
综上，N
点坐标为(2,--
、(-、（2，0）、10
2,
3
⎛⎫
--
⎪
⎝⎭
．
如下图依次从左到右．
【两定两动：对称轴+平面】
（2019·辽阳中考）如图，在平面直角坐标系中，Rt △ABC 的边BC 在x 轴上，∠ABC =90°，以A 为顶点的抛物线2y x bx c =-++经过点C （3，0），交y 轴于点E （0，3），动点P 在对称轴上．
（1）求抛物线解析式；
（2）若点M 是平面内的任意一点，在x 轴上方是否存在点P ，使得以点P ，M ，E ，C 为顶
点的四边形是菱形，若存在，请直接写出符合条件的M 点坐标；若不存在，说明理由．
【分析】
（1）抛物线：223y x x =-++；
（2）先考虑P 点位置，由P 、E 、C 三点构成的三角形是等腰三角形．
①当EC =EP 时，
由EC =
，得EP =P 在对称轴x =1上， 勾股定理解得P
点坐标为(
、(1,3（舍）， 根据点的平移推得M
点坐标为(． ②当CE =CP 时，
即CP =CE
=P
点坐标为(
、(1,（舍）， 根据点的平移推得M
点坐标为(2,3-． ③当PE =PC 时， 设P 点坐标为（1，m ），
解得：m =1，故P 点坐标为（1，1）， 对应的点M 坐标为（2，2）
．
综上所述，M 点坐标为
(、(2,3-、（2，2）．
【两定两动：斜线+平面】 （2018·齐齐哈尔）综合与探究
如图1所示，直线y =x +c 与x 轴交于点A （-4,0），与y 轴交于点C ，抛物线2y x bx c =-++经过点A ，C ．
（1）求抛物线的解析式
（2）如图2所示，M 是线段OA 的上一个动点，过点M 垂直于x 轴的直线与直线AC 和抛
物线分别交于点P 、N ．若点P 恰好是线段MN 的中点，点F 是直线AC 上一个动点，在坐标平面内是否存在点D ，使以点D ，F ，P ，M 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．
图2
【分析】
（1）抛物线解析式：234y x x =--+； （2）设M 点坐标为（m ，0）（-4<m <0），
则N 点坐标为()
2,34m m m --+，P 点坐标为（m ，m +4）， 若P 是MN 中点，则()23424m m m --+=+， 解得：11m =-，24m =-（舍） 故P （-1，3）、M （-1，0）
考虑到F 点在直线AC 上，故可先确定F 点位置，再求得D 点坐标．
当PM =PF 时，
PF =3
，可得1
1F ⎛-+ ⎝⎭、2
1
F ⎛-- ⎝⎭， 对应D
点坐标分别为1
1D ⎛-+ ⎝⎭、21D ⎛- ⎝⎭
． 当MP =MF 时，
MP =MF ，可得()34,0F -，对应D 点坐标为()34,3D -． 当FP =FM 时，
FP =FM ，F 点在PM 垂直平分线上，可得453,22F ⎛⎫- ⎪⎝
⎭，对应D 点坐标为
413,22D ⎛⎫
⎪⎝⎭．
综上所述，D
点坐标有1
1D ⎛-+ ⎝⎭、21D ⎛-- ⎝⎭
、()34,3D -、413,22D ⎛⎫
⎪⎝⎭．
【两定两动：斜线+抛物线】
（2018•衡阳）如图，已知直线24y x =-+分别交x 轴、y 轴于点A 、B ，抛物线过A 、B 两点，点P 是线段AB 上一动点，过点P 作PC ⊥x 轴于点C ，交抛物线于点D ． （1）若抛物线的解析式为2224y x x =-++，设其顶点为M ，其对称轴交AB 于点N ．
①求点M 、N 的坐标；
②是否存在点P ，使四边形MNPD 为菱形？并说明理由．
【分析】
（1）①M 点坐标为19,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，N 点坐标为1,32⎛⎫
⎪⎝⎭
．
②由题意可知MN ∥PD ，故四边形MNPD 若是菱形，首先MN =PD 考虑到M 、N 是定点，可先求得3
2
MN =
， 设(),24P m m -+，则()
2,224D m m m -++， ()222242424PD m m m m m =-++--+=-+，
令32PD =
，即23242
m m -+=， 解得：112m =
，23
2m =． 故P 点坐标为3,12⎛⎫ ⎪⎝⎭，D 点坐标为35,22⎛⎫
⎪⎝⎭．
但此时仅仅满足四边形MNPD 是平行四边形，本题要求的是菱形，故还需加邻边相等． 但此时P 、D 已定，因此接下来要做的只是验证邻边是否相等．
由两点间距离公式得：
32PN ==≠，
PN ≠MN ，故不存在点P 使四边形MNPD 是菱形．
【小结】为什么此题会不存在，表面上看是不满足邻边相等，究其原因，是因为M 、N 是定点，P 、D 虽为动点但仅仅是半动点，且P 、D 横坐标相同，故本题只需一个字母便可表示出4个点的坐标，对于菱形四个点满足：
A C
B D A
C B
D x x x x y y y y ⎧
+=+⎪⎪
+=+⎨=
若只有1个未知数或2个未知数，便出现方程个数＞未知量个数的情况，就有可能会无解． 方程个数<未知数个量，可能无法确定有限组解； 方程个数>未知数个量，可能会无解．
特殊图形的存在性，其动点是在线上还是在平面上，是有1个动点还是有2个动点，都是由其图形本身决定，矩形和菱形相比起平行四边形，均多一个等式，故对动点位置的要求可以有3个半动点或者1个全动点+1个半动点，若减少未知量的个数，反而可能会产生无解的情况．
不难想象，对于正方形来说，可以有4个未知量，比如在坐标系中已知两定点，若要作正方形，只能在平面中再取另外两动点，即2个全动点，当然，也有可能是1全动+2半动，甚至是4个半动点．
练习：如图，抛物线2
y x bx c
=++与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，已知抛物
线的对称轴所在的直线是
9
4
x=，点B的坐标为（4，0）．
（1）求抛物线解析式；
（2）若M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在点N，使得点B、C、M、N构成的四边形是菱形，若存在，求出点N坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】
（1）抛物线：29
22
y x x =-+；
（2）本题是“两定两动”，但两个动点一个在x 轴上，一个在抛物线上，均为半动点，故只
需两个字母即可表示，未知量个数少于方程个数，结果可能会无解．
设M 点坐标为（m ，0），N 点坐标为29,22n n n ⎛⎫
-+ ⎪⎝⎭
，又B （4，0）、C （0，2）．
当CB 为对角线时，取对角线互相平分及MB =MC ，可得： ()()()()2
22224090202
2400002m n
n n m m ⎧+=+⎪
⎪+=+-+⎨⎪
⎪-+-=-+-⎩
方程组无解，故这种情况不存在；
当CM 为对角线时，取对角线互相平分及BC =BM ，可得： ()()()()2
22220490220
24002400m n n n m ⎧+=+⎪
⎪+=-++⎨⎪
⎪-+-=-+-⎩
方程组依然无解；这种情况也不存在；
当CN 为对角线时，取对角线互相平分及CB =CM ，可得： ()()()()2
22220492200
20420020n m n n m ⎧+=+⎪
⎪+-+=+⎨⎪
⎪-+-=-+-⎩
方程组还是无解．
综上，不存在这样的M 、N ．
【小结】问题本身源于对动点位置的选取导致点坐标中未知量的个数与方程个数不一致，以致出现不存在的情况．
【一定三动】
讲真在翻了一些中考题，并没有看到类似的题型，举些数据编一个吧：
如图，抛物线过A （-1，0）、B （3，0）、C （0，3），点C 关于抛物线对称轴的对称点为D 点，连接AD ．点P 在抛物线上，点M 在直线AD 上，点N 在抛物线对称轴上，四边形OPMN 能否为菱形，若能，求出P 点坐标，若不能，说明理由．
【分析】
抛物线解析式为：223y x x =-++，直线AD 解析式为y =x -1．
设P 点坐标为()
2,23p p p -++，M 点坐标为(),1m m -，N 点坐标为()1,n ， 考虑到在四边形OPMN 中，OM 为对角线，可得： ()()()()2
22220+1012310011m p m p p n
n m n m ⎧=+⎪⎪+-=-+++⎨⎪-+-=-+-+⎪⎩
显然这个计算很麻烦，经化简可得点P 满足32610p p --=，剩下的就不解了呵呵呵． 可能是数据不太凑巧，但显然，这样的问题并不像“两定两动”问题那样普遍易解，方法其实是同样的方法，因为就题目构造而言，其实“3个半动点”与“1全动+1半动”并无本质区别．
了解题目的构造，当再去看一些题目的时候，是否一目了然？。