工程电磁场—矢量分析

斯托克斯 定理
场是否有旋
黄色：标量
红色：矢量
场的边界
唯一地确定场
(亥姆霍兹定理)
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工程电磁场 1.3 标量场的方向导数和梯度
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工程电磁场
在高等数学中 什么是导数？导数定义在哪个方向？
当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量 的增量之商的极限。
方向导数的通俗解释是：我们不仅要知道函数在坐标轴方 向上的变化率（即偏导数），而且还要设法求得函数在其 他特定方向上的变化率（即方向导数） 。
场点 三个坐标 x, y, z 确定
一个标量场
uM ux, y, z
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工程电磁场
一个矢量场表示为
AM Ax, y, z
Axex Ayey Azez Ax ,Ay , Az ：
A 在坐标轴上投影
ex , ey , ez ： x 、 y 、 z 方向单位矢量
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工程电磁场
， ， ：
A 与 x 、 y 、 z 方向之间的夹角 方向角
25
工程电磁场
矢量线方程又可以用矢量式表示为
dl A 0 ，即
dyAz Aydz ex dzAx Azdxey dxAy Axdy ez 0
得
ddyzAAxz
Aydz Az dx
0 0
dxAy Axdy 0
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工程电磁场
4．场的其他可视化方法
计算机图形技术 彩色云图
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工程电磁场
当 u l
Mo
0 ，沿 l 方向是增加的
u 越大，增加得越快 l
当 u l
Mo
0 ，沿 l 方向是减小的
u 越大，减小得越快 l
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工程电磁场
当 l 指向 x 轴正方向时， u u
l x 当 l 指向 y 轴正方向时， u u
l y 当 l 指向 z 轴正方向时， u u
dt du dt
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工程电磁场
3．矢量函数的积分公式
1） Atdt [ Ax t dt]ex [ Ay t dt]ey [ Az t dt]ez
2） At dt B t C
（ B t ： At 的原函数 C ：任意常矢量）
3） At B t dt At dt B t dt 4） kAt dt k At dt （ k ：常数）
A•BC B•C A C • A B ABC BA•CC A•B
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工程电磁场 2．矢量函数的导数和微分公式
1）
dA dt
dAx dt
ex
dAy dt
ey
dAz dt
ez
2） dA dAxex +dAyey +dAzez
3） dC 0 （ C 是常矢量） dt
4） d A B dA dB
dt
dt dt
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工程电磁场
5） d kA k dA （ k 是常数）
dt
dt
6） d uA u dA du A
dt
dt dt
7） d A • B A • dB dA • B
dt
dt dt
8） d A B A dB dA B
dt
dt dt
9）设 A Au, u ut dA dA du
u l
G • el
G cos
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工程电磁场
随着 l 方向的改变， 发生变化，
方向导数值随之变化
当 l 方向与 G 方向一致时，
方向导数值达到最大，
最大的方向导数为 G 。 标量
则称矢量 G 为标量场
u(x, y, z) 在点 M 处的梯度。
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工程电磁场
等值线的例子
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工程电磁场
3．矢量场的矢量线
矢量场用矢量线来表示 矢量线上一点切线方向 与该点场矢量方向相同 矢量线稀密反映矢量大小
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工程电磁场
根据矢量线的定义，在矢量线上任一点的切向 矢量元dl与矢量场平行，即：
Adl 0
• 在直角坐标系中有
AA xexA yeyA zez dldxexdyeydzez
若当沿着 l , M M0 时，
式 u u(M) u(M0 ) 的极限存在，
l
l
则称此极限值为函数 u M
在点
M0
处沿
l
方向的方向导数，记作
u l
M0
。
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工程电磁场
u l
M0
lim u(M) u(M0 )
MMo
l
u = lim
MMo l
du dl
M0
方向导数：标量场函数在一点 M0 处 沿某一方向 l 对距离的变化率
梯度的方向垂直于 通过
该点的等值面且指向 u
增大的方向
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工程电磁场
4．梯度的运算规则
1） gradC 0 （ C 为常数）
2） gradCu Cgradu
3） gradu v gradu gradv
4） graduv ugradv vgradu
5）
grad( u v
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工程电磁场
箭头的长度 表示矢量的大小， 箭头所指的方向 为矢量的方向：
矢量图
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工程电磁场
5．平行平面场
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工程电磁场 6．轴对称场
1．2 结束
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工程电磁场
几个重要物理量及公式
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工程电磁场
分析标量场的工具
标量场
方向导数 梯度 两个重要公式
矢量场
通量密度 散度
高斯定理
场是否有源
环量密度 旋度
2）矢量的加减法
设 A Axex Ayey Azez ， B Bxex Byey Bzez
四边形法则 三角形法则
AB
Ax Bx ex Ay By ey Az Bz ez
5
工程电磁场
3）矢量的数乘
A Axex Ayey Azez
4）矢量的点积
A• B ABcos AxBx AyBy AzBz
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工程电磁场
1 G gradu M0 2ex 2ey 2( 2 1)ez
2ex 2ey ez G 22 22 1 3
1．3 结束
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工程电磁场
例 标量场 uM 3x2 z2 2yz 2zx ，
求过 M0 (0,
1 , 1) 点的梯度和梯度的模。 矢量
2
解 因为
u 6x 2z, u 2z, u 2x 2 y 2z
x
y
z
所以
gradu (6x 2z)ex 2zey 2(x y z)ez
记为
gradu G
在直角坐标系中， 梯度的计算公式
gradu
G
u x
ex
u y
ey
u z
ez
梯度运算是分析标 量场的工具 标量场的梯度是矢 量
沿着梯度方向，函数 u(x.y, z) 增加得最快
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工程电磁场
方向导数等于梯度 在该方向上的投影
u l
gradu • el
gradu
cos
)
1 v2
(vgradu
ugradv)
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工程电磁场
6） gradf (u) f (u)gradu
公式 6）的证明：
gradf
(u)
f x
ex
f y
ey
f z
ez
=
f
(u)
u x
ex
f
(u)
u y
ey
f
(u)
u z
ez
f
(u)
u x
ex
u y
ey
u z
e
f
(u)gradu
思考：为何要求可微？
定义与计算方法的差别
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工程电磁场
得
u u x u y u z l M0 x l y l z l
将 l 方向的三个方向余弦表示式代入式
u l
M0
cos u x
M0
cos u y
M0
cos u z
M0
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工程电磁场
例 u x2 y2 z2 在M0 1, 1, 0 处
等值面族（一般差 值相同）
坐标原点点电荷 q
电位表示式
r q
4 0 r
等位面方程
r q U 解得
40r
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工程电磁场
r q
4 0U
按相同递增量
给定U 的不同数值 U1,U2, ,
得到同心球面 等值面与给定平面相交，得等值线
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工程电磁场
如 u x, y, z 在 x y 平面上的等值线方程为 ux, y U
7
工程电磁场
ex ey ez A B= Ax Ay Az
Bx By Bz
en 与矢量 A 、 B 都垂直 单位矢量 A 、 B 、 en 成右手关系 ： A 、 B 间的夹角
A B 的模：灰色四边形面积
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工程电磁场
A B 与 B A 模相等 方向相反
A B B A
A A 0 （ 0）
6）矢量的混合积
cos , cos , cos ： 方向余弦
cos Ax ； cos Ay ； cos Az
A
A
A
AM Acosex Acos ey Acos ez
场的分类： 时变场 恒定场 静态场
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工程电磁场 2．源点与场点
场源产生场 场源所在：源点 场量所在：场点
源点 P ：
x, y, z r
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工程电磁场
5） C • At dt C • At dt
（ C ：常矢量）
6） C At dt C At dt
（ C ：常矢量）
（1．1 结束）
13
工程电磁场
1.2 场的基本概念和可视化
14
工程电磁场
1．场的基本概念
“场“：物理量 空间 空间每一点 对应物理量一个值 标量场 如温度、能量、电位等 矢量场 如速度、力、电场、磁场等
场点 P ：
x, y, z
r
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工程电磁场
源点到场点 距离矢量 R R r r
R r r ，
R 的单位矢量
eR
r r r r
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工程电磁场 3．标量场的等值面
标量场 u 的等值面：
曲面上 uM 的值相等
等值面方程为
ux, y, z Uk
给定Uk 的一系列数值，得到一系列的等值面：
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工程电磁场
沿 l 2ex 2ey ez 方向的方向导数。
解
u
x
1
x Mo x2 y2 z2 Mo 2
u
1
，
y Mo
2
u 0
z Mo
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工程电磁场
而 l 的方向余弦
cos
2
2
12 22 22 3
cos 2 ， 3
则方向导数
cos 1 3
u l
M0
12 •
23
12
是 A 、 B 之间夹角 B cos ： B 在 A 方向上的投影 A cos ： A 在 B 方向上的投影
A•B B• A
6
工程电磁场 C •A B C • AC • B
, 为实数，则
A•B A• B
A• A A2 AA A2
5）矢量的叉积
A B AB sinen
Ay Bz Az By ex + Az Bx AxBz ey AxBy Ay Bx ez
工程电磁场
工程电磁场
1
工程电磁场
1 矢量分析与场论基础
2
工程电磁场
1.1 矢量分析公式
3
工程电磁场
1．矢量代数公式
1）标量、矢量和单位矢量
标量：只有大小，没有空间方向 矢量：有大小，有空间方向
矢量的模
模为 1 的矢量 单位矢量 e
ex , ey , ez
x, y, z 方向的单位矢量
4
工程电磁场
能否写成 两个矢量 的乘积？
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e工l 程cos电e磁x 场cosey cos ez
而 l 方向的单位矢量又可表示为
el
dl dl
dxex
dyey dl
dzez
dx dy dz dl ex dl ey dl eezl cos ex cosey cos ez
l 的方向余弦：
方向导数就是函数在其他特定方向上的变化率。
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工程电磁场
1．方向导数的定义
要了解 u M 沿任意方向的变化情况
需要计算 u M 沿任意方向的导数
从 M0 出发，引一条射线 l
取一点 M，用 l 表示从 M0 到 M
的距离
思考：对M0，M点有何要求？
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工程电磁场
4 22
• 0
2 3 32 3
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工程电磁场 3．梯度的定义与计算公式
哪个方向 u 的变化率（方向导数）最大？
最大变化率（方向 导数）是多少？ 在直角坐标系中， 标量函数的方向导数为
梯度：回答 这两个问题
u u cos u cos u cos
l x
y
z
cos , cos, cos 为 l 的方向余弦
而 l 方向的单位矢量又可表示为
l
的单位矢量 el 在坐标轴的el 投 影ddll
dxex
dyey dl
dzez
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dx dy dz
dl
ex
e dl45
y
dl
ez
工程电磁场
ห้องสมุดไป่ตู้如令矢量
G
u x
ex
u y
ey
u z
ez
则
u u
u
u
l
cos x
cos y
z
cos G • el
令 表示 G 与 el 之间的夹角
l z 偏导数 u , u , u 是 u 的特例。
x y z l
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工程电磁场
2．方向导数的计算
在直角坐标系中
设标量函数 u(x, y, z) 在 M0 (x0, y0, z0 ) 处可微，
则函数 u 在点 M0 处沿 l 方向的方向导数存在。
根据全微分概念
du u dx u dy u dz x y z