全国181套中考数学试题分类解析汇编 专题43平行四边形

全国181套中考数学试题分类解析汇编
专题43：平行四边形
一、选择题
1.（某某某某3分）如图，在ABCD中，点E为AB的中点，点F
为AD上一点，EF交AC于点G，AF＝2cm，DF＝4cm，AG＝3cm，
则AC的长为
A．9cm B．14cm C．15cm D．8cm
【答案】C。

【考点】平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质。

【分析】作辅助线：延长CD、EF，交于点H。

由平行四
边形可证△AEF∽△DHF，由AF＝2，DF＝4，得，HD＝2AE。

又∵点E为AB的中点，∴CH＝4AE。

同样由平行四边形可证△AEG∽△CHG，由CH＝4AE，AG＝3，得CG ＝12。

因此AC＝AG＋CG＝3＋12＝15。

故选C。

2.（某某某某3分）如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AD，HN∥AB，
则图中的平行四边形的个数共有
A．12个B．9个C．7个D．5个
【答案】B。

【考点】平行四边形的性质和判定。

【分析】根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，则图中的四边DEOH、DEFC、DHGA、BGOF、BGHC、BAEF、AGOE、CHOF和ABCD都是平行四边形，共9个。

故选B。

3.（某某某某、某某3分）如图，在平行四边形ABCD中，∠B=80°，AE平
分∠BAD交BC于点E，CF∥AE交AE于点F，则∠1＝
A、40°
B、50°
C、60°
D、80°
【答案】B。

【考点】平行四边形的性质，角平分线的定义，平行线的性质。

【分析】根据平行四边形的对边平行和角平分线的定义，以及平行线的性质求∠1的度数即可：
∵AD∥BC，∠B＝80°，∴∠BAD＝180°－∠B=100°。

∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝1
2
∠BAD=50°。

∴∠AEB＝∠DAE＝50°。

∵CF∥AE，∴∠1＝∠AEB＝50°。

故选B。

4.（某某某某3分）如图，下列四组条件中．不能判定四边形ABCD是
平行四边形的是
A、AB=DC，AD=BC
B、AB∥DC，AD∥BC
C、AB∥DC，AD=BC
D、AB∥DC，AB=DC
【答案】C。

【考点】平行四边形的判定。

【分析】平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

根据平行四边形的判定，A、B、D均符合是平行四边形的条件，C则不能判定是平行四边形。

故选C。

5.（某某某某3分）顺次连接任意一个四边形四边的中点所得到的四边形一定是
A、平行四边形
B、矩形 C菱形 D正方形
【答案】A。

【考点】平行四边形的判定，三角形中位线定理。

【分析】顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形，一组对边平行并且等于原四边形某一对角线的一半，说明新四边形的对边平行且相等．所以是平行四边形。

故选A。

6.（某某某某3分）如图所示，在ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AB≠AD，则下列式子不正
．．确．的是
A．AC⊥BD B．AB＝CD
C．BO＝OD D．∠BAD＝∠BCD
【答案】A。

【考点】平行四边形的性质。

【分析】根据平行四边形对边相等，对角相等和对角线互相平分的性质，知选项B、C、D正确。

故选A。

7.（某某某某3分）四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四组条件：①AB∥CD，AD∥BC；
②AB=CD，AD=BC；③AO=CO，BO=DO；④AB∥CD，AD=BC。

其中一定能判断这个四边形是平行四边形的条件共有
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
【答案】C。

【考点】平行四边形的判定。

【分析】根据平行四边形的定义和判定定理，①②③是平行四边形的条件,④不一定，它还可能是等腰梯形。

故选C。

8.（某某威海3分）在ABCD中，点E为AD的中点，连接BE，交AC于点F，
则AF：CF=
A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．2：5
【答案】A。

【考点】平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质。

【分析】在ABCD中，可以证出△AEF∽△CBF，则AF：CF＝AE：CB＝1：2。

故选A。

9.（某某某某3分）如图，点F是▱ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线与点E，则下列结论错误的是
A、ED DF
EA AB
=B、
DE EF
BC FB
=
C、BC BF
DE BE
=D、
BF BC
BE AE
=
【答案】C。

【考点】平行四边形的性质，平行线分线段成比例，等量代换。

【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得CD∥AB，AD∥BC，CD＝AB，AD＝BC，然后根据平行线分线段成比例定理，对各项进行分析即可：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，AD∥BC，CD＝AB，AD＝BC，∴ED DF
EA AB
=，故A正确；∴
DE EF
AD FB
=，
∴DE EF
BC FB
=，故B正确；∴
BC BF
DE EF
=，故C错误；∴
BF AD
BE AE
=，∴
BF BC
BE AE
=，
故D正确。

故选C。

10.（某某某某3分）已知ABCD的周长为32，AB＝4，则BC＝
G F
O
E D
C B A A 、4 B 、12 C 、24
D 、28
【答案】B 。

【考点】平行四边形的性质。

【分析】根据平行四边形的性质得到AB ＝CD ，AD ＝BC ，由已知
ABCD 的周长为32，AB ＝4可得 2（AB ＋BC ）＝32，即2（4＋BC ）＝32，BC ＝12。

故选B 。

11.（某某某某3分）如图，在△ABC 中，BD 、CE 是△ABC 的中线，BD 与CE 相交
于点O ，点F 、G 分别是BO 、CO 的中点，连结AO.若AO=6cm ，BC=8cm ，则四边
形DEFG 的周长是 A. 14cm B. 18 cm C. 24cm D. 28cm
【答案】A 。

【考点】平行四边形的判定和性质，三角形的重心，三角形中位线定理。

【分析】∵BD，CF 是△ABC 的中线，∴ED 12
BC 。

∵F 是BO 的中点，G 是CO 的中点，∴FG
12BC 。

∴ED
FG 。

∴四边形EFDG 是平行四边形。

由ED=12BC=4和GD= 12
AO=3，得四边形EFDG 的周长为（3+4）×2=14。

故选A 。

12.（某某某某3分）如图，在平面直角坐标系中，▱OABC 的顶点A 在x 轴上，顶点
B 的坐标为（6，4）．若直线l 经过点（1，0），且将▱OAB
C 分割成面积相等的两部
分，则直线l 的函数解析式是
A ．1+=x y
B ．131+=x y
C ．33-=x y
D ．1-=x y 【答案】D 。

【考点】平行四边形的性质，中心对称的性质，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。

【分析】连接对角线OB ，根据平行四边形中心对称的性质，OB 的中点E 与已知点D （1，0）的连线即为所求直线l 。

由B 的坐标为（6，4）可知E 的坐标为（3，2）。

设直线l （DE ）的函数解析式是y kx b =+，
∵图象过D （1，0），E （3，2），
∴032k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得11k b =⎧⎨=-⎩。

∴直线l 的函数解析式是1y x =-。

故选D 。

13. （某某达州3分）如图，在
ABCD 中，E 是BC 的中点，且∠AEC=∠DCE，则下列结论不正确的是
A 、S △AFD =2S △EF
B B 、BF=21DF
C 、四边形AEC
D 是等腰梯形 D 、∠AEB=∠ADC
【答案】A 。

【考点】平行四边形的性质，平行的性质，相似三角形的判定和性质。

【分析】A 、∵AD∥BC，∴△AFD∽△EFB。

∴
BF BE FE 1DF AD AF 2===。

∴S △AFD =4S △EFB 。

选项错误；B 、由A 、的证明BF BE FE 1DF AD AF 2===，知BF=2
1DF 。

选项正确；C 、由已知∠AEC=∠DCE 可知选项正确；D 、利用等腰梯形和平行的性质即可证明：∠AEB=∠EAD=∠ADC，选项正确。

故选A 。

14.（某某省4分）如图，D 是△ABC 内一点，BD⊥CD，AD ＝6，BD ＝4，CD ＝3，
E 、
F 、
G 、
H 分别是AB 、AC 、CD 、BD 的中点，则四边形EFGH 的周长是
A ．7
B ．9
C ．10
D ．11
【答案】D 。

【考点】勾股定理，三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质。

【分析】根据勾股定理，有BC=5。

又根据三角形中位线平行于第三边且等于它的一半的性质定理，得
EF∥BC，HG∥BC，EF=152
2BC =
，HG=1522
BC =，∴EF∥HG，EF=HG 。

∴四边形EFGH 是平行四边形。

同理，EH=FG=3，∴四边形EFGH 的周长为5232112⨯+⨯=。

故选D 。

15.（某某黔南4分）将一X 平行四边形的纸片折一次，使得折痕平分这个平行四边形的面积．则这样的折纸方法共有
A 、1种
B 、2种
C 、4种
D 、无数种 【答案】D 。

【考点】平行四边形的性质。

【分析】因为平行四边形是中心对称图形，任意一条过平行四边形对角线交点的直线都平分四边形的面积，则这样的折纸方法共有无数种。

故选D。

二、填空题
1. （某某3分）如图，点D、E、F分别是△ABC的边AB，BC、CA的中点，连接DE、
EF、FD．则图中平行四边形的个数为▲ _。

【答案】3。

【考点】三角形的中位线性质，平行四边形的判定。

【分析】根据三角形的中位线平行且相等第三边一半的性质和对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定，直接得出结果：四边形ADEF，DBEF，DECF是平行四边形。

2.（某某某某、某某4分）如图，在▱ABCD中，AB=3，AD=4，∠ABC=60°，
过BC的中点E作EF⊥AB，垂足为点F，与DC的延长线相交于点H，则
△DEF的面积是▲ ．
【答案】23。

【考点】平行四边形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形，勾股定理，三角形的面积。

【分析】根据平行四边形的性质得到AB=CD=3，AD=BC=4，根据平行线的性质得到∠HCB=∠B=60°，根据三角形的内角和定理求出∠FEB=∠CEH=30°，根据勾股定理求出BF、CH、EF、EH的长，根据三角形的面积公式即可求出答案：
∵平行四边形ABCD，∴AB=CD=3，AD=BC=4。

∵EF⊥AB，∴EH⊥DC，∠BFE=90°。

∵∠ABC=60°，∴∠HCB=∠B=60°。

∴∠FEB=∠CEH=180°﹣∠B﹣∠BFE=30°。

∵E为BC的中点，∴BE=CE=2，∴CH=BF=1。

由勾股定理得，EF=EH=3。

∴S△DEF =S△DHF－S△DHE=1
2
DH·FH－
1
2
DH·EH
=12×（1＋3）×23－12
×（1＋3）×3=23。

3. （某某某某4分）如图，在ABCD 中，点E 、F 分别在边AD 、BC 上，且BE∥DF，
若∠EBF=45°，则∠EDF 的度数是 ▲ 度．
【答案】45。

【考点】平行四边形的判定和性质。

【分析】由四边形ABCD 是平行四边形，可得AD∥BC，又由BE∥DF，即可证得四边形BFDE 是平行四 边形，根据平行四边形的对角相等，即可求得∠EDF＝∠EBF＝45°。

4.（某某省2分）在
ABCD 中，A ＝1200 ，则∠1＝____ ▲_____度. 【答案】60。

【考点】平行四边形的性质，邻补角的性质。

【分析】根据平行四边形对角相等的性质，得∠BCD＝∠A＝1200 ，再根据邻补角的性质，得到 ∠1＝1800－∠BCD＝1800－1200＝600。

5.（某某来宾3分）在
ABCD 中，已知∠A=110°，则∠D= ▲ °．
【答案】70。

【考点】平行四边形的性质，平行线的性质。

【分析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB∥CD。

∴∠A+∠D=180°。

∵∠A=110°，∴∠D=70°。

6.（某某崇左10分）矩形、菱形、正方形都是平行四边形，但它们都是有特殊条件的平行四边形，正方形不仅是特殊的矩形，也是特殊的菱形.因此，我们可利用矩形、菱形的性质来研究正方形的有关问题.回答下列问题：
（1）将平行四边形、矩形、菱形、正方形填入它们的包含关
系的下图中.
（2）要证明一个四边形是正方形，可先证明四边形是矩形，
再证明这个矩形的_______相等；或者先证明四边形是菱形，在证明这个菱形有一个角是________ .
（3）某同学根据菱形面积计算公式推导出对角线长为a a 2，
对此结论，你认为是否正确？若正确，请说明理由；若不正12001A B D C
确，请举出一个反例说明.
【答案】解：（1）平行四边形、矩形、菱形、正方形的包含关系台图所示：（2）邻边，直角；
（3）正确。

证明如下；
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC＝BD＝a，S正方形ABCD＝1
2 AC•BD。

a2。

【考点】正方形的性质，平行四边形的性质，菱形的性质，矩形的性质。

【分析】（1）根据平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的联系，即可求得答案。

（2）由正方形的的判定定理，即可求得答案。

（3）根据正方形对角线相等的性质，由菱形面积计算公式，即可推导出对角线长为a a2。

7. （某某某某3分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，
AC、BD相交于点O．若AC＝6，则线段AO的长度等于▲ ．
【答案】3。

【考点】平行四边形的性质。

【分析】利用平行四边形对角线互相平分的性质，由AC＝6，直接得出结果：AO＝3。

8. （某某某某4分）如图，D，E，F分别为△ABC三边的中点，则图中平
行四边形的个数为▲ ．
【答案】3。

【考点】平行四边形的判定，三角形中位线定理。

【分析】根据三角形中位线的性质定理，可以推出DE∥AF，DF∥EC，DF∥BE且DE=AF，DF=EC，DF=BE，根据平行四边形的判定定理，即可推出有3个平行四边形。

9.（某某聊城3分）如图，在ABCD中，AC、BD相交于点O，点E是
AB的中点．若OE＝3cm，则AD的长是▲ cm．
【答案】6。

【考点】平行四边形的性质，三角形中位线的性质。

【分析】由平行四边形对角线互相平分的性质，得BO＝DO，由已知E是AB的中点，知OE是△BAD 的中位线，从而根据三角形中位线等于第三边一半的性质，得AD＝2OE＝6cm。

10.（某某某某3分）如图，ABCD，E是BA延长线上一点，AB=AE，连接CE
交AD于点F，若CF平分∠BCD，AB=3，则BC的长为▲ ．
【答案】6。

【考点】平行四边形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，
三角形中位线的性质。

【分析】平行四边形的对边平行，AD∥BC，AB=AE，所以BC=2AF，若C F平分∠BCD，可证明AE=AF，从而可求出结果：∵CF平分∠BCD，∴∠BCE=∠D CF，∵AD∥BC，∴∠BCE=∠DFC，∴∠BCE=∠EFA，
∵BE∥CD，∴∠E=∠DCF，∴∠E=∠EFA，∴AE=AF=AB=3，∵AB=AE，AF∥BC，∴BC=2AF=6。

11.（某某某某3分）如图，在ABCD中，点E是CD的中点，AE、
BC的延长线交于点F．若△ECF的面积为1，则四边形ABCE的面积
为_ ▲ ．
【答案】4。

【考点】平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质。

【分析】根据平行四边形对边平行和相等的性质易证△ECF∽△ABF，且对应边的比是1：2，从而面积比是对应边的比的平方，故△ABF的面积是4。

另一方面△ECF≌△EDA，因此四边形ABCE的面积等于△ABF 的面积，为4。

12.（某某某某4分）在ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，则ABCD的周长为_ ▲ cm．
【答案】28。

【考点】平行四边形的性质。

【分析】根据平行四边形对边相等的性质，直接得出结果：
ABCD的周长为=2（AB＋BC）=2（6＋8）=28。

13. （某某省B卷3分）在直角坐标系中，已知A（1，0）、B（－1，
－2）、C（2，－2）三点坐标，若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，那么点D的坐标可以是▲ .（填序号，多填或填错得0分，少填酌情给分）
①（－2，0）②（0，－4）③（4，0）④（1，－4）
【答案】①②③。

【考点】平行四边形的性质。

【分析】分别以AB、AC、BC为对角线进行寻找即可得出答案：
若以AB为对角线则D的坐标为（4，0）；
若以AC为对角线则D的坐标为（﹣2，0）；
若以BC为对角线则D的坐标为（0，﹣4）。

综上可得①②③正确。

14.（某某潜江仙桃天门江汉油田3分）已知ABCD的周长为28，自顶点A作AE⊥DC于点E，AF⊥BC 于点F. 若AE=3，AF=4，则 CE－CF= ▲ .
【答案】2＋3或2－3。

【考点】平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理。

【分析】由平行四边形对角相等的性质，得∠D=∠B，由AE⊥DC，AF⊥BC，得Rt△ADE∽Rt△ABF，得AD AE3
==。

AB AF4
所以设AD=3k，AB=4k，由ABCD的周长为28和对边相等的性质，得2（3k+4k）=28，解得k=2。

因此，AD=BC=6，AB=DC=8。

由勾股定理，可求得DE=33，BF=43。

下面分两种情况讨论：
情况1.如图，点E在DC上，点F在BC上，
CE－CF=（DC－DE）－（BC－BF）=（8－33）－（6－43）
=2＋3。

情况2.如图，点E在CD延长线上，点F在CB延长线上，
CE－CF=（DC＋DE）－（BC＋BF）=（8＋33）－（6＋43）
=2－3。

综上所述，CE －CF=2＋3或2－3。

15.（某某某某3分）如图，ABCD 中，E 、F 分别为AD 、BC 上
的点，且DE ＝2AE ，BF ＝2FC ，连接BE 、AF 交于点H ，连接DF 、
CE 交于点G ，则S 四边形EHFG S 平行四边形ABCD
＝ ▲ _. 【答案】29。

【考点】平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质。

【分析】由ABCD 中，DE ＝2AE ，BF ＝2FC ，根据全等三角形的判定，得△AHE≌△CGF，△BHF≌△DGE，从而，AE=CF ，DE=BF 。

设AE=CF=1，ABCD 中AB 与CD 的距离为x ，则DE=BF=2，AD=3。

易得△AHE∽△EGD，且相似比为1：2，故△AHE 的AE 边上的高为1x 3，△△EGD 的ED 边上的高为2x 3。

因此，S 四边形EHFG =S △ADF －S △AHE －S △EGD =1111223x 1x 2x x 223233⋅⋅-⋅⋅-⋅⋅=
，S 平行四边形ABC D=3x 。

从而S 四边形EHFG S 平行四边形ABCD ＝29。

16.（某某某某3分） 如图，在
ABCD 中，BE⊥AD 于点E ，若∠ABE ＝50°，则∠C＝ ▲ .
【答案】40°。

【考点】直角三角形两锐角的关系，平行四边形的性质。

【分析】由BE⊥AD，∠ABE＝50°，根据直角三角形两锐角互余的关系，得∠A＝40°；由
ABCD ，根据平行四边形对角相等的性质，得∠C＝∠A＝40°。

17.（某某某某4分）如图，
ABCD 中，对角形AC ，BD 相交于点O ， 添加一个条件，能使ABCD 成为菱形．你添加的条件是 ▲ （不
再添加辅助线和字母）
【答案】AB=BC （答案不唯一）。

（第14题）O D
【考点】平行四边形的性质，菱形的判定。

【分析】菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形。

所以AB=BC或AC⊥BD等。

三、解答题
1.（7分）在ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．
（1）在图1中证明CE=CF；
（2）若∠ABC=90°，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数；
（3）若∠ABC=120°，FG∥CE，FG=CE，分别连接DB、DG（如图3），求∠BDG的度数．
【答案】解：（1）如图1，∵AF平分∠BAD，∴∠BAF=∠DAF。

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD。

∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠F。

∴∠CEF=∠F。

∴CE=CF。

（2）∠BDG=45°
（3）连接GB、GE、GC，∵AD∥BC，∠ABC=120°
∴∠ECF=∠ABC=120°。

∵FG∥CE且FG=CE，∴四边形CEGF是平行四边形。

由（1）得CE=CF．∴四边形CEGF是菱形。

∴GE=EC。

①
∵ ∠GCF=∠GCE=1
2
∠ECF=60°，∴△ECG是等边三角形。

∴EG=CG，∠GEC=∠EGC。

∴∠GEC=∠FGC。

∴∠BEG=∠DCG。

②由AD∥BC及AF平分∠BAD可得∠BAE=∠AEB，∴AB=BE。

在ABCD中，AB=DC，∴BE=DC，③
由①②③得△BEG≌△DCG（SAS）。

∴BG=DG，∠1=∠2。

∴∠BGD=∠1+∠3=∠2+∠3=∠EGC=60°，
∴∠BDG=
180BGD
2
-∠
=60°。

【考点】平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质。

【分析】（1）根据AF平分∠BAD，可得∠BAF=∠DAF，利用四边形ABCD是平行四边形，求证∠CEF=∠F 即可。

（2）根据∠ABC=90°，G是EF的中点可直接求得。

（3）分别连接GB、GE、GC，求证四边形CEGF是平行四边形，再求证△ECG是等边三角形。

由AD∥BC及AF平分∠BAD可得∠BAE=∠AEB，求证△BEG≌△DCG，然后即可求得答案。

2.（某某某某10分）)如图，已知E、F分别是ABCD的边BC、AD上
的点，且BE＝DF．
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)当BC＝10，∠BAC＝90º，且四边形AECF是菱形时，求BE的
长．
【答案】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC。

且AD＝BC。

∴AF∥EC。

∵BE＝DF，∴AF＝EC。

∴四边形AECF是平行四边形。

（2）∵四边形AECF是菱形，∴AE＝EC。

∴∠1＝∠2。

∵∠3＝90°－∠2，∠4＝90°－∠1，∴∠3＝∠4。

∴AE＝BE。

∴BE＝AE＝CE＝1
2
BC＝5。

【考点】平行四边形的判定和性质，菱形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理。

【分析】（1）首先由已知证明AF∥EC，BE=DF，推出四边形AECF是平行四边形。

（2）由已知先证明AE=BE，即BE=AE=CE，从而求出BE的长。

3.（某某省5分）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E 在BA 的延长线
上，且BE＝AD ，点F 在AD上，AF=AB,，求证：∆AEF≌∆DFC。

【答案】证明：∵BE＝AD，AF＝AB，∴AE＝DF。

∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD。

∴AF=CD, ∠EAF=∠D。

∴△AEF≌△DFC（ASA）。

【考点】等量代换，平行四边形的性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质。

【分析】由等量代换和平行四边形对边相等，对角相等的性质可由ASA证得△AEF≌△DFC。

4.（某某某某3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，AC是对角线，
BE⊥AC，垂足为E，DF⊥AC ，垂足为F
求证DF=BE．
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD，BC∥AD。

∴∠BCA=∠DAC
∵BE⊥AC，DE⊥AC，∴∠CEB=∠AFD=90°。

∴△CEB≌△AFD（AAS）。

∴BE=DF。

【考点】平行四边形的性质，平行的性质，全等三角形的判定与性质。

【分析】根据平行四边形的对边相等得出BC=AD，再由两直线平行内错角相等可得出∠BCA=∠DAC，从而可由AAS证出△CEB≌△AFD，利用全等三角形的性质即可得出结论。

5.（某某贺州5分）如图，E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，
BE∥DF．求证：BE＝DF．
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD，BC∥AD 。

∴∠ACB＝DAC。

又∵BE∥DF，∴∠BEC＝∠AFD 。

∴△CBE≌△ADF（AAS）。

∴BE＝DF。

【考点】平行四边形的性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质。

【分析】要证BE＝DF，只要证△CBE≌△ADF即可。

它可由平行四边形对边平行且相等的性质和平行线内错角相等的性质证得。

6.（某某某某8分）如图，在ABCD中，E为BC的中点，连接DE．延
长DE交AB的延长线于点F．求证：AB＝BF．
【答案】解：由ABCD得AB∥CD，∴∠CDF＝∠F，∠C＝∠CBF。

又∵E为BC的中点，∴CE＝BE∴△DEC≌△FEB（ASA）。

∴DC＝FB。

由ABCD得AB＝CD，∴AB＝BF。

【考点】平行四边形的性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质。

【分析】根据平行四边形对边平行和平行线内错角相等的性质，结合已知的E为BC的中点，即可由ASA 证得△DEC≌△FEB，从而根据全等三角形对应边相等和平行四边形对边相等的性质即可得到证明。

7.（某某永州8分）如图，BD是□ABCD的对角线，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF 交BC于点F．
求证：△ABE≌△CDF．
【答案】证明：□ABCD中，AB=CD，∠A=∠C，AB∥CD ，
∴∠ABD=∠CDB。

∵∠ABE=1
2
∠ABD，∠CDF=
1
2
∠CDB，∴∠ABE=∠CDF。

在△ABE与△CDF中
A C
AB=CD
ABE=CDF
∠=∠
⎧
⎪
⎨
⎪∠∠
⎩
，∴△ABE≌△CDF（ASA）。

【考点】平行四边形的性质，角平分线性质，平行线的性质，全等三角形的判定。

【分析】根据角平分线性质与平行线性质证明∠ABD=∠CDB，再根据平行四边形性质证出CD=AB，∠A=∠C，可利用ASA定理判定△ABE≌△CDF。

8. (某某某某8分) 如图，在ABCD中，E、F为对角线BD上的两点，且∠BAE=∠DCF．求证：BE=DF．【答案】证明:∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF。

∴在△ABE和△CDF中
BAE DCF AB CD
ABE CDF ∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
，
∴△ABE≌△CDF （ASA）。

∴BE＝DF。

F
D B
E
【考点】平行四边形的性质, 平行线的性质, 全等三角形的判定和性质。

【分析】要证明BE=DF, 只要求证△ABE和△CDF全等,利用平行四边形对边平行且相等和平行线内错角相等的性质可得AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，又由巳知BAE DCF
∠=∠，根据全等三角形ASA的判定定理得证。

9.（某某某某8分）如图, 在四边形ABCD中, AB=CD, BF=DE, AE⊥BD,
CF⊥BD, 垂足分别为E, F。

（1）求证：△ABE≌△CDF;
（2）若AC与BD交于点O. 求证:AO=CO。

【答案】证：（1）∵AE⊥BD, CF⊥BD,∴△ABE和△CDF都是直角三角形。

又∵BF=DE，∴BE=DF。

∵在R t△ABE和R t△CDF中，AB=CD，BE=DF，∴△ABE≌△CDF（HL）。

（2）∵△ABE≌△CDF，∴∠ABE=∠CDF。

∴AB∥CD。

又∵AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形。

又∵四边形ABCD对角线AC与BD交于点O，∴AO=CO。

【考点】全等三角形的判定和性质，平行的判定，平行四边形的判定和性质。

【分析】（1）要证△ABE≌△CDF，考虑到它们都是直角三角形，并且斜边AB和CD已知相等，而由BF=DE 可得BE=DF。

所以由斜边直角边定理可得证。

（2）要证AO=CO，考虑到点O是四边形ABCD对角线上的一点，只要证四边形ABCD是平行四边形。

由于已知对边AB=CD，从而要证四边形ABCD是平行四边形，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定定理，只要证AB∥CD即可。

而（1）已证△ABE≌△CDF，根据全等三角形对应角相等的性质，可知∠ABE=∠CDF，从而根据内错角相等两直线平行的判定定理，有AB∥CD，从而得证。

10.（某某东营8分）如图．在四边形ABCD中，BD平分∠ADC，∠ABC=120°，∠C=60°，∠BDC=30°；
延长CD到点E，连接AE，使得∠E=1
2
∠C。

(1) 求证：四边形ABDE是平行四边形；
(2) 若DC=12．求AD的长
【答案】解：（1）证明：∵∠ABC＝1200，∠C＝600，∴∠ABC＋∠C＝1800。

∴AB∥EC，即AB∥ED。

又∵∠C＝600，∠E＝1
2
∠C＝300，∠BDC＝300，∴∠E＝∠BDC。

∴AE∥BD。

∴四边形ABDE是平行四边形。

（2）由（1），AB∥DC，∴四边形ABCD是梯形。

又∵DB平分∠ADC，∠BDC＝300，∴∠ADC＝∠BCD＝600。

∴四边形ABCD是等腰梯形。

∴BC＝AD。

在△BCD中，∠C＝300，∠BCD＝600，∴∠DBC＝900。

又已知DC=12，∴AD＝BC＝1
2
DC＝6。

【考点】平行线的判定，平行四边形的判定，等腰梯形的判定和性质，直角三角形的判定，300角直角三角形的性质。

【分析】（1）由已知可证AB∥ED，AE∥BD，从而得证。

（2）由已知和（1）可证四边形ABCD是等腰梯形，从而证得△BCD是直角三角形，根据直角三角形中300角所对直角边是斜边一半的性质，得求。

11.（某某某某7分）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC中
点，AE的延长线与DC的延长线相交于点F．
（1）证明：∠DFA=∠FAB；
（2）证明：△ABE≌△FCE．
【答案】证明：（1）∵AB与CD是平行四边形ABCD的对边，
∴AB∥CD，∴∠DFA =∠FAB。

（2）在△ABE和△FCE中，
∵∠FAB=∠F，∠AEB=∠FEC，BE=CE，
∴△ABE≌△FCE（AAS）。

【考点】平行四边形的性质，平行的性质，全等三角形的判定与性质。

【分析】（1）利用平行四边形的两组对边分别平行即可得到两角相等。

（2）利用上题证得的结论及平行四边形对边相等即可证明两三角形全等。

12. （某某资阳7分）如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．
(1) 求证：BE = DF；(5分)
(2) 若 M、N分别为边AD、BC上的点，且DM=BN，试判断四边形MENF的形
状(不必说明理由)．(2分)
【答案】解：(1) ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD。

∴∠ABD=∠CDB。

∵AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，
∴∠AEB=∠CFD =90°．∴△ABE≌△CDF(AAS)。

∴BE=DF。

(2) 四边形MENF是平行四边形。

【考点】平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质。

【分析】(1) 由四边形ABCD是平行四边形可证出△ABE≌△CDF(AAS)而得证。

（2）由DM=BN等级可证出△DNF≌△BNE，从而证出EN MF，从而证出四边形MENF是平行四边形。

13.（某某某某5分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，E、F在AC上，G、H在BD上，且AF=CE，BH=DG，
求证：AG∥HE
【答案】证明：∵平行四边形ABCD中，OA=OC，
由已知：AF=CE，AF–OA= CE – OC ，
∴OF=OE 。

同理得：OG=OH。

∴四边形EGFH是平行四边形。

∴GF∥HE 。

【考点】平行四边形的判定和性质
【分析】先运用平行四边形的对角线互相平分，结合已知证明平行四边形EGHF是平行四边形，再运用平行四边形的对边互相平行得GF∥HE。

14.（某某某某8分）已知：平行四边形ABCD中，过对角线AC中点
O的直线EF交AD于F，BC于E。

求证：BE=DF
【答案】证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD∥BC，AD=BC。

∴ ∠AOF=∠OCE。

∵ 点O是AC的中点，∴ OC=OA 。

∴ ∆AOF≌∆COE（ASA）。

∴ AF=CE。

∴ BE=FD 。

【考点】平行四边形的性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质。

【分析】根据题意，可由ASA证出∆AOF≌∆COE，从而AF=CE，即可证得BE=FD。

15.（某某自治区6分）已知，E、F是四边形ABCD的对角线AC
上的两点，AE=CF，BE=DF，BE∥DF．求证：四边形A BCD是平行
四边形．
【答案】证明：∵DF∥BE，∴∠DFA=∠BEC。

∵DF=BE，EF=EF，∴AF=CE。

∵AE=CF，∴△ADF≌△CBE（SAS）。

∴AD=BC，∠DAC=∠BCA。

∴AD BC。

∴四边形ABCD是平行四边形。

【考点】平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质。

【分析】因为AE=CF，DF=BE，DF∥BE，所以可根据SAS判定△ADF≌△CBE，即有AD=BC，AD∥B C，故可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判定。

16.（某某某某6分）已知，如图E、F是四边形ABCD的对角线AC上
的两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE，四边形ABCD是平行四边形吗？请说
明理由．
【答案】解：结论：四边形ABCD是平行四边形，证明如下：
∵DF∥BE，∴∠AFD=∠CEB。

又∵AF=CE DF=BE，∴△AFD≌△CEB（SAS），
∴AD=CB，∠DAF=∠BCE，∴AD∥CB，∴四边形ABCD是平行四边形。

【考点】平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质。

【分析】首先根据条件证明△AFD≌△CEB，可得到AD=CB，∠DAF=∠BCE，可证出AD∥CB，根据一条对边平行且相等的四边形是平行四边形可证出结论。

17.（某某某某5分）在ABCD中，E，F分别是BC、AD上的点，且BE=DF．求
证：AE=CF．
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∠B=∠D，
∵BE=DF，∴△ABE≌△CDF（SAS）。

∴AE=CF。

【考点】平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质。

【分析】根据平行四边形的性质得出AB=CD，∠B=∠D，根据SAS证出△ABE≌△CDF即可推出答案。

18.（某某某某9分）如图所示，AECF的对角线相交于点O，
DB经过点O，分别与AE，CF交于B，D。

求证：四边形ABCD是平行四边形。

【答案】证明：∵四边形AECF是平行四边形，
∴OE＝OF，OA＝OC，AE∥CF。

∴∠DFO＝∠BEO，∠FDO＝∠EBO，∴△FDO≌△EBO（ASA）。

∴OD＝OB。

∵OA＝OC，∴四边形ABCD是平行四边形。

【考点】平行四边形的判定和性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质。

【分析】由AECF，根据平行四边形和平行性质，可由ASA证得△FDO≌△EBO，得其对应边相等，从而根据对角线互相平分的四边形是平行四边形的判定而得证。

19.（某某某某10分）如图，四边形ABCD是平行四边形，BE、
DF分别是∠ABC、∠ADC的平分线，且与对角线AC分别相交
于点E、F。

求证：AE=CF
【答案】证明：平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，
∴∠ACB=∠CAD．
∵BE、DF分别是∠ABC、∠ADC的平分线，
∴∠BEC=∠ABE+∠BAE=∠FDC+∠FCD=∠DFA。

∴△BEC≌△DFA（ASA）。

∴CE=AF。

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【考点】平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质。

【分析】根据角平分线的性质先得出∠BEC=∠DFA，然后再证∠ACB=∠CAD，再证出△BEC≌△DFA，从而得出CE=AF。

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