重庆市第十八中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

重庆市第十八中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试
题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
，c=5，a=3，则b=（）1．△ABC的三个内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c，若cos B=3
5
A．213B．34C．4 D．10
2．复数z=3−2i i的共轭复数为（）
A．2−3i B．−2−3i C．−2+3i D．2+3i
3．若m，n是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面，那么下列命题成立的是（）
A．若m//α，n//α，则m//n B．若α//β，m⊂α，则m//β
C．若m//α，α//β，则m//βD．若m//α，n⊂α，则m//n
4．如图所示是水平放置的△ABC的直观图，其中A′O′=B′O′=C′O′=1，则原△ABC是一个（）
A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形5．已知a,b,c分别是△ABC三内角A,B,C的对边，且满足a sin C+a cos C=b+c，则△ABC的形状是（）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形6．在边长为2的正方形ABCD中，M是BC的中点，点E在线段AB上运动，则EM⋅EC的取值范围是（）
A．2,6B．2,8C．0,2D．0,4
7．已知M是平面ABC内的一点，若AB⊥AC，2AM=AB+AC，且向量BA在向量BC上的投BC，则∠MAC=（）
影向量为3
4
A．15∘B．30∘C．60∘D．75∘
8．在△ABC中，∠ABC的角平分线BD交AC于点D，若BD=2，∠ABC=π
3
，则△ABC的面积的最小值为（）
A．3B．23C．23
3D．43
3
二、多选题
9．已知平面向量a=2,m，b=1,−1，且 a+2b= a−2b，则（）A．m=2B． a,b=π
3
C．a⊥b D．a=22 10．如图所示，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，则下列四个结论正确的是（）
A．直线AM与CC1是相交直线B．直线AM与BN是平行直线
C．直线BN与MB1是异面直线D．直线AM与DD1是异面直线
11．南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方
得积可用公式S=1
4 b2c2−b2+c2−a2
2
2
（其中a、b、c、S为三角形的三边和面积）表
示．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，若a=2，且3sin A=1−
3cos A tan C，则下列命题正确的是（）
A．c=3b B．a=3c
C．△ABC面积的最大值是23D．△ABC面积的最大值是3
三、填空题
12．已知复数z1=2+i，z2=−1+2i（i为虚数单位）在复平面上对应的点分别为Z1,Z2，则△OZ1Z2的面积为．
13．已知在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，点G是△ABC的重心，且
a 3GA+b
5
GB+c
7
GC=0，则角C的大小为．
14．已知圆锥SO底面圆的直径为12，高为8，若球O1在圆锥SO内，则球O1的表面积的最大值为，若在圆锥SO内放置一个棱长为a的正四面体，且正四面体能任意转动，则a的最大值为．
四、解答题
15．已知a=2， b=3，向量a与b的夹角θ=2π
3
．
(1)若 a+kb⊥a，求k的值；
(2)求3a+2b．
16．已知在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，分别以a,b,c为直角边的等腰直角三角形的面积依次是S1,S2,S3，且S1+S2=S3+S1S2．
(1)求C；
(2)若cos A=3
5
,a=2，求△ABC的面积．
17．如图，AB是圆柱的底面直径，AP是圆柱的母线且AB=AP=4，点C是圆柱底面圆周上的点．
(1)求圆柱的侧面积和体积；
(2)若AC=2，D是PB的中点，点E在线段AP上，求CE+DE的最小值．
18．如图，直四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面为菱形，∠ADC=120°，BB1=6，AB=3，M,N分别为BC,AA1上一点且AN=4，BM=2．
(1)证明：BN//平面AMD1；
(2)平面AMD1将该直四棱柱分成两部分，记这两部分中较大的体积为V1；较小的体积为V2，
的值．
求V1
V2
19．如图1所示，在△ABC中，点D在线段BC上，满足2CD=DB，G是线段AB上的点，且满足3AG=2GB，线段CG与线段AD交于点O．
(1)若AD=xAB+yAC，求实数x,y的值；
(2)若AO=tAD，求实数t的值；
(3)如图2，过点O的直线与边AB,AC分别交于点E,F，设EB=λAE，FC=μAFλ>0,μ>0；（ⅰ）求λμ的最大值；
的取值范围．
（ⅱ）设△AEF的面积为S1，四边形BEFC的面积为S2，求S2
S1。