2019版高考数学地区9.2 直线、圆的位置

圆C的面积为
.
答案 4π
解析 把圆C的方程化为x2+(y-a)2=2+a2,则圆心为(0,a),半径r= a2 2 .圆心到直线x-y+2a=0的
距离d= | a | 2
.由r2=d2+


|
AB 2
|
Байду номын сангаас
2
,得a2+2= a2 +3,解得a2=2,则r2=4,所以圆的面积S=πr2=4π.
方法归纳 求解圆的弦长的常用方法:
(1)几何法:l=2 r2 d 2 (其中l为圆的弦长,r为圆的半径,d为弦心距);
(2)代数法:联立直线与圆的方程,结合根与系数的关系及弦长公式|AB|= 1 k2 |x1-x2|= 1 k2 ·
(x1 x2 )2 4x1x2 或|AB|=
x2 2

.
由(1)可得x1+x2=-m,所以AB的中垂线方程为x=- m .
2
2019年8月10日
遇上你是缘分，愿您生活愉快，身体健 康，学业有成，金榜题名！
8
联立
x
y



1 2
m 2

, x2

x

x2 2

,
又 x22
+mx2-2=0,可得

解析 (1)圆C的方程可化为x2+(y-4)2=16,所以圆心为C(0,4),半径为4.
设M(x,y),则 CM

=(x,y-4), MP
=(2-x,2-y).

由题设知 CM · MP =0,
故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,
即(x-1)2+(y-3)2=2.
由于点P在圆C的内部,
所以M的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2.
7
7.(2017课标全国Ⅲ,20,12分)在直角坐标系xOy中,曲线y=x2+mx-2与x轴交于A,B两点,点C的坐 标为(0,1).当m变化时,解答下列问题: (1)能否出现AC⊥BC的情况?说明理由; (2)证明过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.
解析 (1)不能出现AC⊥BC的情况,理由如下:
解法二:过O作OP⊥MN于P,
则|OP|=|OM|sin 45°≤1, ∴|OM|≤ 2,即 x02 1≤ 2,∴ x02≤1,
即-1≤x0≤1,故选A.
思路分析 解法一:过M作出圆的两条切线,利用∠OMB≥∠OMN得出答案;解法二:判断出O
2019年到8月直10线日 MN的距离小于等于半径,得遇到上你|O康是M，缘|学≤分业 ，有2愿成,进您，生而金活求榜愉题出快名x，！0的身体范健围.
所以l的方程为y=x+1.
故圆心C在l上,所以|MN|=2. (12分)
思路分析 (1)利用点斜式写出直线的方程,然后根据几何法求出k的范围;(2)根据数量积的坐 标运算结合根与系数的关系求出k,然后求出弦长. 知识拓展 解决与圆有关的弦长问题的常用方法: ①一般方法——联立方程,应用弦长公式;②几何法——应用垂径定理.先求圆心到l的距离d,则 弦长=2 R2 d 2 (R为圆的半径).
)
,x1x2= 7
1 k
2
.
(7分)
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OM ·O N =x1x2+y1y2
=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1
= 4k1(1
k k2
)
+8.
由题设可得 4k (1
1
k k2
)
+8=12,解得k=1,
一题多解 由x- 3 y+6=0与x2+y2=12联立解得A(-3, 3 ),B(0,2 3 ),∴AC的方程为y- 3 =- 3 (x+
3),BD的方程为y-2 3 =- 3 x,可得C(-2,0),D(2,0),所以|CD|=4.
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为直径的圆C与直线l交于另一点D.若 AB

· CD
=0,则点A的横坐标为
.
答案 3
解析 本题考查直线与圆的位置关系.
设A(a,2a),a>0,则C a 2
5
,
a

,
∴圆C的方程为

x

a
2
5
2

+(y-a)2= (a 5)2
4
+a2,
由

A.[-1,1]
B. 12
,
1 2

C.[- 2 , 2 ]

D.

2, 2
2
2

答案 A 解法一:过M作圆O的两条切线MA、MB,切点分别为A、B,若 在圆O上存在点N,使∠ OMN=45°,则∠OMB≥∠OMN=45°, 所以∠AMB≥90°, 所以-1≤x0≤1,故选A.
坐标为3.
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一题多解 由题意易得∠BAD=45°.
设直线DB的倾斜角为θ,则tan θ=- 1 ,
2
∴tan∠ABO=-tan(θ-45°)=3, ∴kAB=-tan∠ABO=-3. ∴AB的方程为y=-3(x-5),
1
1 k2
|y1-y2|=
1
1 k2
· ( y1
y2 )2
4y1 y2
(k≠0)求解.
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5.(2016课标全国Ⅰ,15,5分)设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若|AB|=2 3 ,则
x y


m, 2 1. 2
所以过A,B,C三点的圆的圆心坐标为 m2
,

1 2

,
半径r= m2 9 . 2
故圆在y轴上截得的弦长为2
r
2


m 2
2

=3,即过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.
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解得 4 7 <k< 4 7 .
3
3
所以k的取值范围为

4
3
7 ,4 3
7

.

(5分)
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2).
将y=kx+1代入方程(x-2)2+(y-3)2=1,整理得
(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0.
所以x1+x2= 41(1kk2
线与x轴交于C,D两点.则|CD|=
.
答案 4
解析 圆心(0,0)到直线x- 3 y+6=0的距离d= 6 =3,|AB|=2 12 32 =2 3 ,过C作CE⊥BD于E, 1 3
因为直线l的倾斜角为30°,所以|CD|= | CE | = | AB | = 2 3 =4. cos 30 cos 30 3 2
2
2.(2016课标全国Ⅱ,6,5分)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a= ( )
A.- 4 B.- 3 C. 3 D.2
3
4
答案 A 由圆的方程可知圆心为(1,4).由点到直线的距离公式可得 | a 1 4 1|=1,解得a=- 4 ,
a2 1
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9.(2014课标Ⅰ,20,12分,0.068)已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两 点,线段AB的中点为M,O为坐标原点. (1)求M的轨迹方程; (2)当|OP|=|OM|时,求l的方程及△POM的面积.
1 2
·|AB|·dmin=12
×2 2
× 2
=2,
(S△ABP)max= 1 ·|AB|·dmax=1 ×2 2 ×3 2 =6.∴△ABP面积的取值范围是[2,6].故选A.
2
2
解题关键 把求△ABP面积的取值范围转化为求圆上的点到直线的距离的最值.
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(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心, 2 为半径的圆.
由于|OP|=|OM|,故O在线段PM的垂直平分线上,又P在圆N上,从而ON⊥PM.
因为ON的斜率为3,所以l的斜率为- 1 ,故l的方程为y=- 1 x+ 8 .
3
33
又|OM|=|OP|=2 2
2019年8月10日
,O到l的距离为
高考文数 ( 课标专用)
§9.2 直线、圆的位置
五年高考
A组 统一命题·课标卷题组
1.(2018课标全国Ⅲ,8,5分)直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则△
ABP面积的取值范围是 ( )
A.[2,6]
B.[4,8]
C.[ 2 ,3 2 ] D.[2 2 ,3 2 ]
9
8.(2015课标Ⅰ,20,12分,0.193)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N
两点.
(1)求k的取值范围;
(2)若 OM

·O N
=12,其中O为坐标原点,求|MN|.
解析 (1)由题设,可知直线l的方程为y=kx+1.
因为l与C交于两点,所以 | 2k 3 1| <1. 1 k2
设A(x1,0),B(x2,0),则x1,x2满足x2+mx-2=0,所以x1x2=-2.
又C的坐标为(0,1),故AC的斜率与BC的斜率之积为 1 · 1 =- 1 ,所以不能出现AC⊥BC的情况. x1 x2 2
(2)BC的中点坐标为 x22
,
1 2

,可得BC的中垂线方程为y- 12 =x2 x
4遇5上10你,是|P缘M分|=，4 愿51您0 生,所活以愉△快，PO身M体的健 面积为1 56 . 康，学业有成，金榜题名！
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B组 自主命题·省(区、市)卷题组
1.(2015安徽,8,5分)直线3x+4y=b与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切,则b的值是 ( ) A.-2或12 B.2或-12 C.-2或-12 D.2或12
答案 A 圆心(2,0)到直线x+y+2=0的距离为 | 2 2 | =2 2 ,圆的半径为 2 , 2
设点P到直线的距离为d,
则dmin=2 2 - 2 = 2 ,dmax=2 2 + 2 =3 2 , 又易知A(-2,0),B(0,-2),∴|AB|=2 2 ,
∴(S△ABP)min=
x

a
2
y 2x,
5
2


(y

a)2

(a
5)2 4

a
2
,
得

xD yD
1, 2,
∴ AB

·C D
=(5-a,-2a)· a2
3
,
2

a

=a 2 2a
2
15
+2a2-4a=0,∴a=3或a=-1,又a>0,∴a=3,∴点A的横
4
4.(2018课标全国Ⅰ,15,5分)直线y=x+1与圆x2+y2+2y-3=0交于A,B两点,则|AB|=
.
答案 2 2
解析 将圆x2+y2+2y-3=0化为标准方程为x2+(y+1)2=4,则圆心坐标为(0,-1),半径r=2,
∴圆心到直线x-y+1=0的距离d= 2 = 2 , 2
∴|AB|=2 r2 d 2 =2 22 ( 2)2 =2 2 .
答案 D 易知圆心坐标为(1,1),半径r=1, ∵直线与圆相切,
∴ | 3 4 b | =1,解得b=2或b=12. 32 42
评析 本题考查直线与圆的位置关系及点到直线的距离公式.
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2.(2018江苏,12,5分)在平面直角坐标系xOy中,A为直线l:y=2x上在第一象限内的点,B(5,0),以AB
3
故选A.
易错警示 圆心的坐标容易误写成(-1,-4)或(2,8).
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3.(2014课标Ⅱ,12,5分,0.264)设点M(x0,1),若在圆O:x2+y2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则x0的 取值范围是 ( )
2
解题关键 破解此类题的关键是过好三关:一是借形关,即会画图与用图;二是方程关,利用直 角三角形(弦长的一半、弦心距、半径所构成的直角三角形)寻找关于参数的方程;三是公式 应用关,即利用圆的面积公式求解.
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6.(2016课标全国Ⅲ,15,5分)已知直线l:x- 3 y+6=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂
由

y y

3( 2x,
x

5),
得xA=3.
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