上海市控江中学2022-2023学年高一上学期期中考试数学试卷带讲解
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（3）先根据 得到 ，结合 ，对端点值的大小进行分类讨论，结合绝对值的几何意义求解，得到实数 的取值范围.
【小问1详解】
当 时， ，
要想代数式 有意义，则 ，则 ，
两边平方得： ，解得： 或 ；
故实数 的集合为 或 ；
【小问2详解】
，即 ，
要想代数式 对任意的 均有意义，则 在R上恒成立，
即 在R上恒成立，
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解绝对值的几何意义， 表示数轴上两点间距离，以及绝对值三角不等式 .
14.若函数 的图像可由函数 的图像向右平移一个单位长度得到，则函数 的解析式为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】直接根据函数平移的规则得答案.
【详解】将函数 的图像向右平移一个单位长度得到
与 取交集得 ；
当 ，即 时，此时当 时， 取得最大值，且 ，
故 ，解得： 或 ，
与 取交集后，结果为 ；
当 ，即 时，此时 上任一点到 的距离之和相等，为 ，故 ，解得： 或 ，
与 取交集后，结果为 ；
当 ，即 时，此时当 时， 取得最大值，
故 ，即 ，由于 ，无解；
综上：实数 的取值范围是 .
21.对于一个数集 ，若满足下列条件：① 中至少有两个非零元素；② ；③任取 中的两个非零元素，它们加､减､乘､除后的结果都仍属于 ，则称数集 为数域，如有理数集 为有理数域，实数集 为实数域.
故答案为： 且 ．
【点睛】本题考查指数函数的定义，属于基础题．
4.若 ，则 的最小值为________________．
【答案】
【分析】利用基本不等式求得最小值.
【详解】 ，
当且仅当 时等号成立.
故答案为：
5.若集合 ，则 __________.
【答案】
【分析】联立解方程组即可得答案.
【详解】联立 ，解得
【小问1详解】
由已知，池底一边长为 ，则另一边长为 ，设池深为 ， ，
则 ，
解得
池底的边长x应控制在 内；
【小问2详解】
若深为0.5 ，设设计喷泉池底的总价为 ，池底一边长为 ，则另一边长为 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以当喷泉池底为边长为4 的正方形时，总价最低，最低为 元
20.记代数式 ， ，
即
故答案为： .
6.计算： __________.
【答案】
【分析】利用 以及 计算即可.
【详解】
故答案为：
7.关于 的不等式 的解集为__________.
【答案】
【分析】将分式不等式转化为整式不等式，再接二次不等式即可.
详解】由 得 ，即 ，
即 ，解得 或
即不等式 的解集为
故答案为：
8.已知 ， ，则 __．
【分析】将此集合分成两类，并在两类集合之间建立一一映射关系后根据“交替和”的定义即可求出答案.
【详解】解：由题意得：
集合 的非空子集中，除去集合 ，还有 个非空集合，将这 个子集分成两类：
第一类:包含 的子集；第二类：不包含 的子集；
在第二类和第一类子集之间建立如下的对应关系： ，其中 是第二类子集，显然这种对应是一一映射
故选：D
16.对集合 的每一个非空子集，定义一个唯一确定的“交替和”，概念如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大的开始，交替减加后面的数所得的结果.例如：集合 的“交替和”为 ，集合 的“交替和”为 ，集合 的“交替和”为6，则集合 所有非空子集的“交替和”的和为（）
A. B. C. D.
【答案】B
，
，
解得 或 .
18.已知 是方程 两个实根，
（1）设 ，用 表示 的值；
（2）求关于 的不等式 的解集.
【答案】（1）
（2）
【分析】（1）利用韦达定理求 ，代入 计算即可；
（2）利用指数函数的单调性将不等式转化为对数不等式，再利用对数的运算性质求解即可.
【小问1详解】
是方程 的两个实根，
由韦达定理可得 ，
（1）若 ，求使得代数式 有意义的实数 的集合；
（2）若 时，代数式 对任意的 均有意义，求实数 的取值范围；
（3）若 时，存在实数 使得代数式 有意义，求实数 的取值范围.
【答案】（1） 或 ；
（2） ；
（3） .
【分析】（1）由对数函数定义域得到 ，平方后求出实数 集合；
（2）转化为 在R上恒成立问题，利用绝对值三角不等式得到 ，从而得到 ，求出实数 的取值范围；
最大的4位7进制数为 ，即 ，
所以，集合
因为 且 ，
所以，
所以，满足条件的正整数 的个数为 .
故答案为：
二､选择题（本大题满分20分，本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分）
13.已知 ，则 是 且 的（）
A.充分非必要条件B.必要非充分条件
设 的“交替和”为 ，则 的“交替和”为 ，这一对集合的“交替和”的和等于 ，所以集合A的所有非空集合的“交替和”总和为
故选：B
三､解答题（本大题满分76分，本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤）
17.已知 是幂函数，
（1）若函数 过定点 ，求函数 的表达式和定义域；
【详解】由 整理得
由题知 ，解得 ，
解不等式得 ，
又 ，
所以解集中有且仅有两个整数解为
于是 ，解得
故答案为：
12.已知集合 ，若 且 ，则满足条件的正整数 的个数为__________.
【答案】
【分析】根据题意 ，进而结合若 且 求解即可.
【详解】解：注意到，集合 表示的是4位7进制数的集合，
在4位7进制数中，最小的4位7进制数为 ，即 ，
【答案】72
【分析】把对数式化成指数式，再利用指数幂运算求得式子的值.
【详解】由 ，
所以 .
故答案为：72
9.若_.
【答案】
【分析】分 ， ， 讨论二次不等式的解.
【详解】当 时，不等式为 ，解集为 ；
当 时，不等式为 ，解集不为 ；
当 时，不等式 的解集为 ，
，又 ，所以 ；
，又 ，所以 ，
综上，集合 是数域.
【小问3详解】
解： 均为数域，理由如下：
为任意两个数域且 中至少存在两个非零元素，任取 ，则 ，
由于 为个数域，则 ， ； ，
所以 ，则 ，同样 ，则 ， ，则 ，所以 为数域；
又 ，则 ，同样 ， ， ，故 ，则 也为数域.
其中 ，
因为 ，所以 的解集为 ，
故当且仅当 时，等号成立，
所以 ，解得： 或 ，经检验，符合题意，
故实数 的取值范围是 ；
【小问3详解】
，
存在实数 使得代数式 有意义，即存在 使得
，
解②得： ，
由第二问知： 恒成立，当且仅当 时，等号成立，
当 ，即 时，此时当 时， 取得最大值，且 ，且 ，
故 ，解得： 或 ，
则 ，解得 或
综上所述：实数 的取值范围是
故答案为：
10.设 为实常数， .若 是 的必要非充分条件，则实数 的取值范围为__________.
【答案】
【分析】先分类讨论解不等式 ，再通过 是 的必要非充分条件列不等式求实数 的取值范围.
【详解】对于 ，
当 时 ，解得 ；
当 时， ，解得 ；
当 时， ，解得 ；
若 ，
则
即 ；
【小问2详解】
，即 ，
因为函数 是 上单调递增函数，
即关于 的不等式 的解集为
19.学校计划将花坛改造为一个容积为8 长方体无盖喷泉池，池底每1 的造价为120元，池壁每1 的造价为100元，
（1）若池底周长为12 ，设矩形池底的一条边长为x，现要求池深不超过1 ，问池底的边长x应控制在什么范围内？
因为全集 ，集合
故
故答案为：
2.若集合 为偶数 ，用列举法表示集合 __________.
【答案】
【分析】直接用列举法写出集合即可.
【详解】因为集合 为偶数
故列举法表示集合
故答案 ：
3.若函数 是自变量）是指数函数，则a的取值范围是_________
【答案】 且
【分析】
根据指数函数的定义求解．
【详解】 函数 是自变量）是指数函数 解得： 且 ．
控江中学2022学年度第一学期高一年级期中质量调研
数学试卷
2022.11.
一､填空题（本大题满分54分，共有12题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，考生应在答题纸相应位置填写结果）
1.若全集 ，集合 ，则 __________.
【答案】
【分析】根据补集的概念求解即可.
【详解】解：由题意得：
（2）若 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ，定义域为
（2） 或
【分析】（1）设 ，代点计算可得表达式，进而可得定义域；
（2）先根据幂函数的性质得函数的单调性和定义域，再利用函数单调性解不等式即可.
【小问1详解】
设 ，代入点 得 ，解得
即 ，其定义域为
【小问2详解】
由幂函数的性质可得，函数 的定义域为 ，且在定义域上单调递减，
即
故选：B.
15.陈述句“任意的 都满足性质 ”的否定形式是（）
A.任意的 满足性质 B.任意的 不满足性质
C.存在一个 满足性质 D.存在一个 不满足性质
【答案】D
【分析】根据全称量词命题的否定是存在性量词命题即可选出答案.
【详解】解：根据全称量词命题的否定是存在性量词命题
故“任意的 都满足性质 ”的否定形式是“存在一个 不满足性质 ”
（2）若深为0.5 ，问怎么设计喷泉池底能使总价最低，最低总价是多少？
【答案】（1） 内
（2）当喷泉池底为边长为4 的正方形时，总价最低，最低为 元
【分析】（1）根据条件用 表示出 ，然后利用 列不等式求解即可.
（2）设设计喷泉池底的总价为 ，池底一边长为 ，则另一边长为 ，根据条件表示出总价，然后用基本不等式求最值.
综合得
即 ，
对于 ，变形得 ，
解得 或
即 ： 或
因为 是 的必要非充分条件
可得 ，解得
即实数 的取值范围为
故答案为：
11.设 为常数，关于 的不等式 的解集中有且仅有两个整数解，则实数 的取值范围为__________.
【答案】
【分析】先求出不等式的解集，通过解集可确定仅有的两个整数解为 ，进而可通过 在解集中，3不在解集中列不等式求出 的取值范围
（3） 均为数域，按照数域的定义分别证明满足三个条件即可.
【小问1详解】
证明：任取 ，且 互质，那么 一定是分数，即 ，故根据数域的概念得整数集 不是数域.
小问2详解】
解：集合 是数域，理由如下：
①当 或 时，则 ，则 至少有两个非零元素；
②当 时， ，则 ；
③取 ，
则 ，又 ，所以 ；
，又 ，所以 ；
（1）证明整数集 不是数域；
（2）判断集合 是否为数域，并说明理由；
（3）若 为任意两个数域且 中至少存在两个非零元素，判断 是否为数域，并说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）集合 是数域，证明见解析
（3） 均为数域，证明见解析
【分析】（1）按照数域的定义，找到不符合除法运算的元素，即可证明；
（2）集合 是数域，按照数域的定义分别证明满足三个条件即可；
C.充要条件D.既非充分又非必要条件
【答案】B
【分析】
利用判断充分，必要条件的方向判断，结合绝对值的几何意义，以及绝对值三角不等式证明.
【详解】当 ，说明 与 的距离小于 ，但 与 与 的距离可以大于或等于 ，所以 ，不能推出 且 ，反过来，当 且 时，
，即 ，所以 且 ，能推出 ，所以 是 且 的必要非充分条件.
【小问1详解】
当 时， ，
要想代数式 有意义，则 ，则 ，
两边平方得： ，解得： 或 ；
故实数 的集合为 或 ；
【小问2详解】
，即 ，
要想代数式 对任意的 均有意义，则 在R上恒成立，
即 在R上恒成立，
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解绝对值的几何意义， 表示数轴上两点间距离，以及绝对值三角不等式 .
14.若函数 的图像可由函数 的图像向右平移一个单位长度得到，则函数 的解析式为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】直接根据函数平移的规则得答案.
【详解】将函数 的图像向右平移一个单位长度得到
与 取交集得 ；
当 ，即 时，此时当 时， 取得最大值，且 ，
故 ，解得： 或 ，
与 取交集后，结果为 ；
当 ，即 时，此时 上任一点到 的距离之和相等，为 ，故 ，解得： 或 ，
与 取交集后，结果为 ；
当 ，即 时，此时当 时， 取得最大值，
故 ，即 ，由于 ，无解；
综上：实数 的取值范围是 .
21.对于一个数集 ，若满足下列条件：① 中至少有两个非零元素；② ；③任取 中的两个非零元素，它们加､减､乘､除后的结果都仍属于 ，则称数集 为数域，如有理数集 为有理数域，实数集 为实数域.
故答案为： 且 ．
【点睛】本题考查指数函数的定义，属于基础题．
4.若 ，则 的最小值为________________．
【答案】
【分析】利用基本不等式求得最小值.
【详解】 ，
当且仅当 时等号成立.
故答案为：
5.若集合 ，则 __________.
【答案】
【分析】联立解方程组即可得答案.
【详解】联立 ，解得
【小问1详解】
由已知，池底一边长为 ，则另一边长为 ，设池深为 ， ，
则 ，
解得
池底的边长x应控制在 内；
【小问2详解】
若深为0.5 ，设设计喷泉池底的总价为 ，池底一边长为 ，则另一边长为 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以当喷泉池底为边长为4 的正方形时，总价最低，最低为 元
20.记代数式 ， ，
即
故答案为： .
6.计算： __________.
【答案】
【分析】利用 以及 计算即可.
【详解】
故答案为：
7.关于 的不等式 的解集为__________.
【答案】
【分析】将分式不等式转化为整式不等式，再接二次不等式即可.
详解】由 得 ，即 ，
即 ，解得 或
即不等式 的解集为
故答案为：
8.已知 ， ，则 __．
【分析】将此集合分成两类，并在两类集合之间建立一一映射关系后根据“交替和”的定义即可求出答案.
【详解】解：由题意得：
集合 的非空子集中，除去集合 ，还有 个非空集合，将这 个子集分成两类：
第一类:包含 的子集；第二类：不包含 的子集；
在第二类和第一类子集之间建立如下的对应关系： ，其中 是第二类子集，显然这种对应是一一映射
故选：D
16.对集合 的每一个非空子集，定义一个唯一确定的“交替和”，概念如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大的开始，交替减加后面的数所得的结果.例如：集合 的“交替和”为 ，集合 的“交替和”为 ，集合 的“交替和”为6，则集合 所有非空子集的“交替和”的和为（）
A. B. C. D.
【答案】B
，
，
解得 或 .
18.已知 是方程 两个实根，
（1）设 ，用 表示 的值；
（2）求关于 的不等式 的解集.
【答案】（1）
（2）
【分析】（1）利用韦达定理求 ，代入 计算即可；
（2）利用指数函数的单调性将不等式转化为对数不等式，再利用对数的运算性质求解即可.
【小问1详解】
是方程 的两个实根，
由韦达定理可得 ，
（1）若 ，求使得代数式 有意义的实数 的集合；
（2）若 时，代数式 对任意的 均有意义，求实数 的取值范围；
（3）若 时，存在实数 使得代数式 有意义，求实数 的取值范围.
【答案】（1） 或 ；
（2） ；
（3） .
【分析】（1）由对数函数定义域得到 ，平方后求出实数 集合；
（2）转化为 在R上恒成立问题，利用绝对值三角不等式得到 ，从而得到 ，求出实数 的取值范围；
最大的4位7进制数为 ，即 ，
所以，集合
因为 且 ，
所以，
所以，满足条件的正整数 的个数为 .
故答案为：
二､选择题（本大题满分20分，本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分）
13.已知 ，则 是 且 的（）
A.充分非必要条件B.必要非充分条件
设 的“交替和”为 ，则 的“交替和”为 ，这一对集合的“交替和”的和等于 ，所以集合A的所有非空集合的“交替和”总和为
故选：B
三､解答题（本大题满分76分，本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤）
17.已知 是幂函数，
（1）若函数 过定点 ，求函数 的表达式和定义域；
【详解】由 整理得
由题知 ，解得 ，
解不等式得 ，
又 ，
所以解集中有且仅有两个整数解为
于是 ，解得
故答案为：
12.已知集合 ，若 且 ，则满足条件的正整数 的个数为__________.
【答案】
【分析】根据题意 ，进而结合若 且 求解即可.
【详解】解：注意到，集合 表示的是4位7进制数的集合，
在4位7进制数中，最小的4位7进制数为 ，即 ，
【答案】72
【分析】把对数式化成指数式，再利用指数幂运算求得式子的值.
【详解】由 ，
所以 .
故答案为：72
9.若_.
【答案】
【分析】分 ， ， 讨论二次不等式的解.
【详解】当 时，不等式为 ，解集为 ；
当 时，不等式为 ，解集不为 ；
当 时，不等式 的解集为 ，
，又 ，所以 ；
，又 ，所以 ，
综上，集合 是数域.
【小问3详解】
解： 均为数域，理由如下：
为任意两个数域且 中至少存在两个非零元素，任取 ，则 ，
由于 为个数域，则 ， ； ，
所以 ，则 ，同样 ，则 ， ，则 ，所以 为数域；
又 ，则 ，同样 ， ， ，故 ，则 也为数域.
其中 ，
因为 ，所以 的解集为 ，
故当且仅当 时，等号成立，
所以 ，解得： 或 ，经检验，符合题意，
故实数 的取值范围是 ；
【小问3详解】
，
存在实数 使得代数式 有意义，即存在 使得
，
解②得： ，
由第二问知： 恒成立，当且仅当 时，等号成立，
当 ，即 时，此时当 时， 取得最大值，且 ，且 ，
故 ，解得： 或 ，
则 ，解得 或
综上所述：实数 的取值范围是
故答案为：
10.设 为实常数， .若 是 的必要非充分条件，则实数 的取值范围为__________.
【答案】
【分析】先分类讨论解不等式 ，再通过 是 的必要非充分条件列不等式求实数 的取值范围.
【详解】对于 ，
当 时 ，解得 ；
当 时， ，解得 ；
当 时， ，解得 ；
若 ，
则
即 ；
【小问2详解】
，即 ，
因为函数 是 上单调递增函数，
即关于 的不等式 的解集为
19.学校计划将花坛改造为一个容积为8 长方体无盖喷泉池，池底每1 的造价为120元，池壁每1 的造价为100元，
（1）若池底周长为12 ，设矩形池底的一条边长为x，现要求池深不超过1 ，问池底的边长x应控制在什么范围内？
因为全集 ，集合
故
故答案为：
2.若集合 为偶数 ，用列举法表示集合 __________.
【答案】
【分析】直接用列举法写出集合即可.
【详解】因为集合 为偶数
故列举法表示集合
故答案 ：
3.若函数 是自变量）是指数函数，则a的取值范围是_________
【答案】 且
【分析】
根据指数函数的定义求解．
【详解】 函数 是自变量）是指数函数 解得： 且 ．
控江中学2022学年度第一学期高一年级期中质量调研
数学试卷
2022.11.
一､填空题（本大题满分54分，共有12题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，考生应在答题纸相应位置填写结果）
1.若全集 ，集合 ，则 __________.
【答案】
【分析】根据补集的概念求解即可.
【详解】解：由题意得：
（2）若 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ，定义域为
（2） 或
【分析】（1）设 ，代点计算可得表达式，进而可得定义域；
（2）先根据幂函数的性质得函数的单调性和定义域，再利用函数单调性解不等式即可.
【小问1详解】
设 ，代入点 得 ，解得
即 ，其定义域为
【小问2详解】
由幂函数的性质可得，函数 的定义域为 ，且在定义域上单调递减，
即
故选：B.
15.陈述句“任意的 都满足性质 ”的否定形式是（）
A.任意的 满足性质 B.任意的 不满足性质
C.存在一个 满足性质 D.存在一个 不满足性质
【答案】D
【分析】根据全称量词命题的否定是存在性量词命题即可选出答案.
【详解】解：根据全称量词命题的否定是存在性量词命题
故“任意的 都满足性质 ”的否定形式是“存在一个 不满足性质 ”
（2）若深为0.5 ，问怎么设计喷泉池底能使总价最低，最低总价是多少？
【答案】（1） 内
（2）当喷泉池底为边长为4 的正方形时，总价最低，最低为 元
【分析】（1）根据条件用 表示出 ，然后利用 列不等式求解即可.
（2）设设计喷泉池底的总价为 ，池底一边长为 ，则另一边长为 ，根据条件表示出总价，然后用基本不等式求最值.
综合得
即 ，
对于 ，变形得 ，
解得 或
即 ： 或
因为 是 的必要非充分条件
可得 ，解得
即实数 的取值范围为
故答案为：
11.设 为常数，关于 的不等式 的解集中有且仅有两个整数解，则实数 的取值范围为__________.
【答案】
【分析】先求出不等式的解集，通过解集可确定仅有的两个整数解为 ，进而可通过 在解集中，3不在解集中列不等式求出 的取值范围
（3） 均为数域，按照数域的定义分别证明满足三个条件即可.
【小问1详解】
证明：任取 ，且 互质，那么 一定是分数，即 ，故根据数域的概念得整数集 不是数域.
小问2详解】
解：集合 是数域，理由如下：
①当 或 时，则 ，则 至少有两个非零元素；
②当 时， ，则 ；
③取 ，
则 ，又 ，所以 ；
，又 ，所以 ；
（1）证明整数集 不是数域；
（2）判断集合 是否为数域，并说明理由；
（3）若 为任意两个数域且 中至少存在两个非零元素，判断 是否为数域，并说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）集合 是数域，证明见解析
（3） 均为数域，证明见解析
【分析】（1）按照数域的定义，找到不符合除法运算的元素，即可证明；
（2）集合 是数域，按照数域的定义分别证明满足三个条件即可；
C.充要条件D.既非充分又非必要条件
【答案】B
【分析】
利用判断充分，必要条件的方向判断，结合绝对值的几何意义，以及绝对值三角不等式证明.
【详解】当 ，说明 与 的距离小于 ，但 与 与 的距离可以大于或等于 ，所以 ，不能推出 且 ，反过来，当 且 时，
，即 ，所以 且 ，能推出 ，所以 是 且 的必要非充分条件.