三角形非常规性元素的不等式

三角形非常规性元素的不等式
刘保乾
【摘要】在已有研究的基础上,提出了三角形非常规性元素的概念,从而扩展了几何不等式的研究范围;以三角形非常规性元素为研究对象,构造了大量新颖优美的不等式,并证得部分结果.
【期刊名称】《广东第二师范学院学报》
【年(卷),期】2018(038)005
【总页数】9页(P13-21)
【关键词】三角形非常规性元素;几何不等式;问题
【作者】刘保乾
【作者单位】西藏自治区组织编制信息管理中心,西藏拉萨850000
【正文语种】中文
【中图分类】O122.3
0 引言
三角形中的元素众所周知，常见的三角形元素有三个内角、三边及边上的中线、角平分线、高和旁切圆半径，以及内切圆半径和外接圆半径等.但还有一些几何量人们比较陌生，它就是三角形非常规性元素.与熟知的三角形中常见的元素相比，非常规性元素很少出现在人们的视野中，除了类似中线常出现外，其他的即使偶尔出现，多数人也未必清楚其含义.但这些非常规性元素又是十分重要的，一方面它们
几何含义明确，计算公式简洁优美；另一方面，三角形中一些常见不等式的刻画和隔离用它们来表述恰到好处，自然而顺畅.如果忽视它们，就等于忽视了三角形数
量关系和属性的一种自然的、独特的揭示，几何不等式研究也会因此而缺失一大块.更重要的是，这些非常规性元素本质上都是根式型的几何量，而我们已经知道，在三角形几何不等式研究中，任何能够化为多项式不等式的结果已经没有多少价值和意义了.
其实三角形非常规性元素的不等式早已有人研究，如文献[1]和文献[2]就已经进行
了研究，只不过那里还没有明确提出这个概念，所以研究也是零星的、不系统的.
如果把三角形非常规性元素当作常见的普通元素对待，虽然这只是一种观念的变化，但效果却完全不同.因为对普通元素成立的不等式，对非常规性元素完全可以类似
考虑.尤其重要的是，由于增加了非常规性元素，不等式自动发现与判定程序
agl2012[3]的输入数据类型和容量就会大大增加，这为自动发现不等式提供了无
限可能.由于三角形非常规性元素的引入，这样就会拓展出一个巨大的研究空间，
一些新颖优美的不等式可能被发掘出来，从而使我们对三角形的数量性质和几何特性又有新的认识.
三角形非常规性元素有哪些呢？我们认为三角形非常规性元素是开放的，它的认定原则只有一个，那就是：几何含义明确，有确定的表达式.凡符合这个标准的几何量，均可纳入三角形非常规性元素的队伍.本文介绍几个重要的三角形非常规性元
素进行讨论，通过精选的若干实例展示这类不等式的研究方法和研究思路，并给出大量的不等式研究结果和问题.
1 常见的三角形非常规性元素及其表达式
以下设ΔABC的三边为a,b,c，半周为s，内切圆半径为r，外接圆半径为R，面积为Δ，中线、角平分线和高依次为ma,mb,mc、wa,wb,wc和ha,hb,hc，旁切圆
半径为ra,rb,rc，用∑表示循环和.下面介绍若干常见的三角形非常规性元素及其表
过Nagel点的Ceva线为na,nb,nc，容易推得
(1)
过Gergonne点的Ceva线为ga,gb,gc，容易推得
(2)
过外心的Ceva线(外心线)用ea,eb,ec表示，文献[4]已得到锐角ΔABC中的计算公式为
注意到ΔABC中熟知的公式ha=2Rsin Bsin C，故得简化表达式
(3)
设ΔABC的内心为I，则有
(4)
设ΔABC的内角平分线为AD,BE,CF，内切圆与BC边相切于P，与CA边相切于Q，与AB边相切于R，则得到一个内接ΔDEF和切点ΔPQR.记
DE=vc,EF=va,FD=vb，PQ=uc，QR=ua,RP=ub，并记ΔDEF的面积为Δv，ΔP QR的面积为Δu.对ΔDEF由余弦定理等容易计算得到
(5)
同理，对ΔPQR易推得
另外，容易推证
(7)
(8)
限于篇幅，其他的三角形非常规性元素就不介绍了.
2 用三角形非常规性元素构造不等式
只要把三角形非常规性元素当作普通的三角形元素来对待，即可构造各种类型的不等式.下面通过具体例子进行说明,并给出大量丰富的不等式问题和结果.
例1 在ΔABC中，证明不等式
Δv≥Δu
(9)
证明由(7)和(8)式易得
(10)
故不等式(9)等价于关于正数x,y,z的不等式
但有更强的不等式链
不等式(a)等价于
10x3+3x2y+3x2z+3xy2-48xyz+3z2x+10y3+3y2z+3yz2+10z3≥0.
不等式(b)等价于
y2z+xy2+x2y-6xyz+x2z+yz2+z2x≥0.
这两个不等式由均值不等式易证成立.对不等式(c)作倒数代换，等价于
x2+y2+z2-xy-xz-yz≥0，
显然成立，故不等式(9)获证.
例2 在ΔABC中，证明不等式
(11)
证明这个不等式较难，用agl2012程序可发现不等式链(11)左边局部对称不等式是
(12)
不等式(12)两边平方后再进行代数化易证.但不等式链(11)右边不容易证明.
评注1 假如没有引入几何含义直观明确的三角形非常规性元素va,vb,vc，不等式(11)将会以下面的形式出现：
够繁琐的吧？此例直观地说明了扩充三角形元素的重要性和必要性.
评注2 借助于agl2012程序发现不等式局部对称不等式的方法，可以证明一大类根式型不等式.本文中的许多不等式可以通过这种方法获证.
例3 对于三角形非常规性元素ua,ub,uc和va,vb,vc，有如下不等式成立：
(13)
(14)
abc≥8vavbv c.
(15)
(16)
(17)
va+vb+vc≥ua+ub+uc. (18)
(19)
(20)
(21)
(22)
(23)
(24)
9Rr≥ava+bvb+cvc≥2r(4R+r).
(25)
(26)
(27)
(28)
(29)
(30)
(31)
(32)
(33)
(34)
⟺(b-c)2(b+c-a)2≥0,b=c.
(35)
b=c表示不等式的取等号条件是b=c(下同). aua≥2ubuc,b=c.
(36)
a(s-a)≥va(ua+s-a),b=c.
(37)
(38)
(39)
vbvc≥uava.
(40)
例4 对于三角形非常规性元素ga,gb,gc和na,nb,nc，有如下不等式成立：
(41)
(42)
(43)
(44)
(45)
(46)
(47)
⟺
(48)
(49)
(ga+gb+gc)(na+nb+nc)≥(ma+mb+mc)(wa+wb+wc).
(50)
(51)
(52)
(53)
kawa≥ga2,b=c.
(54)
ga+na-2ma≥0.
(55)
gana≥mawa.
(56)
不等式(56)是尹华焱在与笔者讨论非常规性元素不等式问题过程中提出的，十分优美漂亮，它可加强为
(57)
(58)
(59)
(60)
2mana≥na2+s(s-a)⟺
(61)
(62)
(63)
如果把三角形非常规性元素作为agl2012程序的输入数据，则构造不等式更容易. 例5 讨论一个介于na和ha之间的一次数据集Q，通过建立Q的秩序图[5]，最后得到一系列不等式.由于na≥ha取等号的条件是b=c，故得到的不等式皆是等腰取等的不等式.例如通过运行agl2012程序的一系列命令可得优美不等式链
(64)
另一个更简洁的不等式链是
na≥ma≥wa≥ga≥ha.
(65)
另外可得不等式
(66)
ga2ma≥has(s-a).
(67)
不等式(66)与熟知的不等式mawa≥s(s-a)不分强弱.不等式(67)除了b=c取等号条件外，另一个取等号条件是2a2+a(b+c)+2bc=3(c2+b2).
例6 在ΔABC中，以na,nb,nc为边可以构成一个三角形，设这个三角形面积为Δn，则有不等式
(68)
证明首先证以na,nb,nc为边可以构成一个三角形.只需证
nb+nc>na⟺2nbnc>na2-nb2-nc2
(如果na2-nb2-nc2<0，则不等式必然成立)
⟺(2nbnc)2>(na2-nb2-nc2)2⟺
4(x2+xy-2xz+yz+z2)(y2+yz-2xy+xz+x2)(z+x)(x+y)(y+z)2>
(6y2z2+x3y+xz3+x3z+yz3+xy3-2x2z2+y3z-2x2y2)2,x,y,z>0⟺
4(x2+xy-2xz+yz+z2)(y2+yz-2xy+xz+x2)(z+x)(x+y)(y+z)2≥
(6y2z2+x3y+xz3+x3z+yz3+xy3-2x2z2+y3z-2x2y2)2+64x2y2z2(xy+xz+yz)⟺(x-y)2f3+(y-z)2f1+(z-x)2f2≥0.
其中fi(i=1,2,3)均是系数全为正数的关于x,y,z的多项式，显然成立，故以
na,nb,nc为边长可以构成一个三角形.变形海仑公式得
(69)
对以na,nb,nc为边长构成的三角形应用公式(69),并代入(1)式整理得
(70)
将(70)式代入(68)式整理后知，欲证不等式等价于
(3R+r)(R-r)s4-r(-71rR2+32R3+2r3-14Rr2)s2-r2(4R+r)4≥0⟺
u2u3(r2+2Rr)+u1(8r5+13Rr4+32R2r3+Rr2s2)+u2(11R2r2+8R3r+3s2R2)≥0.其中u1=R-2r≥0,u2=s2-16Rr+5r2≥0,u3=4R2+4Rr+3r2-s2≥0，故不等式(68)
成立.
例7 构造直角三角形时取等号的不等式.由文献[5]知，这只需要构造取等号条件为b2+c2=a2的参考数据集即可.对构造的商式数据进行磨光，可发现如下直角三角形时取等号的不等式：
(71)
(72)
(73)
(74)
(75)
(76)
(77)
(78)
(79)
(80)
评注3 笔者在证明不等式
(81)
时，发现不等式(81)是角代换可扩展的[6](要将不等式化为角元)，其扩展不等式为∑sin22Acos2(B-C)+2sin 2Asin 2Bsin 2C∑cot 2Acos(A-C)cos(A-B)≥0. (82)
即不等式(82)对任意ΔABC成立，且取等号条件为a=b=c或即等腰直角三角形时取等号.容易证明不等式(82)等价于
(R-4r)s4+(-8R3+38Rr2+20rR2+16r3)s2+16R5-16rR4-116R3r2-12r5-
156R2r3-75Rr4≥0.
(83)
考虑到(83)式是一个关于s的双二次不等式，故借助于基本不等式可以完成对(83)式的证明.
例8 尹华焱的三角形几何不等式Hcx-21[2]是
(84)
不等式(84)当等腰三角形时取等号.模仿(84)的形式，现考虑不等式通式
(*)
猜有不等式
(85)
(86)
且不等式(85)和不等式(86)当等腰三角形时取等号.
可以验证，当xa,xb,xc取为ka,kb,kc时不等式(*)不成立，但此时可以加上一个等腰取等的非负对称量.经验证有不等式
(87)
尹华焱、杨学枝有不等式
(88)
注意(88)式等价于
(89)
由(89)的形式，写出不等式通式
(**)
可以验证当(xa,xb,xc)=(ma),(wa),(ga),(ka),(ha)时不等式(**)成立.特别地，不等式
(90)
当时取等号.
评注4 有不等式
(91)
不等式(91)的局部对称不等式是
(92)
对不等式(92)两边平方后容易证明，从而证得不等式(91).但不等式(91)与不等式(88)不分强弱.这说明等腰取等的不等式不一定总是顶端不等式——用它可推出所有不等式.
限于篇幅，关于ea,eb,ec和AI,BI,CI的不等式本文没有讨论.更多的例子请参阅笔者的公众号《珠峰不等式》(zhufengbudengshi).
参考文献：
【相关文献】
[1] 陈计.三角形中的线性不等式[M]//单墫.几何不等式在中国.南京：江苏教育出版社,1996:87-111.
[2] 尹华焱.100个涉及三角形Ceva线、旁切圆半径的不等式猜想[M]//杨学枝.不等式研究.拉萨：西藏人民出版社，2003:313-322.
[3] 刘保乾.不等式的自动发现原理及其实现[J].汕头大学学报，2011，26(2)：3-11.
[4] 陈贝贝,王卫东.关于三角形外心线的几个不等式[J].数学通报，2012(10)：58.
[5] 刘保乾，磨光集新探[J]. 汕头大学学报，2018,33(3)：30-38.
[6] 刘保乾，再谈三角形几何不等式的s,R,r分拆证明 [J]. 广东第二师范学院学报，2016，36(5):29 -37.。