第一学期期末试卷高一数学
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故选：D
4.已知 则（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先利用指数函数的性质比较 的大小 再利用幂函数的性质比较 的大小 即得解.
【详解】因为 是单调递增函数 所以
因为 是单调递增函数 所以
所以 .
故选：A.
5.已知函数 是定义在 上的奇函数 且满足 则 （）
A. B. 0C. 1D. 2022
四 解答题：本题共6小题．共70分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤．
17.设 集合 ．
（1）若 求 ；
（2）若 求a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接求出集合AB再求 ；
（2）先求出B由 对a进行分类讨论 求出a的取值范围．
【小问1详解】
当 时
所以 .
【小问2详解】
集合 所以 .
【答案】（1）函数 为奇函数 证明见解析
（2）3或
【解析】
【分析】（1）以奇函数定义证明函数 为奇函数即可解决；
（2）按底数a分类讨论 依据对数函数的单调性分别去求实数a的值即可解决.
【小问1详解】
函数 为奇函数 证明如下：
由 解得 则函数 定义域为
故函数 为奇函数
【小问2详解】
令
由 得 即
当 时 在 上单调递减 值城是[－11]
(1)直接求零点：令f(x)＝0如果能求出解 则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[ab]上是连续不断的曲线 且f(a)·f(b)＜0还必须结合函数的图象与性质(如单调性 奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差 画两个函数的图象 看其交点的横坐标有几个不同的值 就有几个不同的零点．
对于B选项 函数 的定义域为 不满足条件；
对于C选项 函数 的定义域为
函数 为偶函数
当 时 则 不满足条件；
对于D选项 函数 的定义域为
函数 为偶函数
当 时 则 满足条件.
故选：D.
8.已知函数 则存在 对任意的 有（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】考虑到二次函数 的对称轴的不同情况 结合二次函数的单调性 即可判断每个选项的正确与否.
所以 的根为 因为 恰有3个零点 所以 .
综上： .
【点睛】三角函数的单调区间在研究的时候 先观察式子中的项是否齐次 如果其次 一般情况是通过化简合并成 这种形式 然后通过整体法来求解；如果不齐次 那么需要将式子进行变形 先换成同元函数 然后再通过换元 一般情况下都是变成二次函数 需要注意的是 在使用换元的时候一定要标注清楚新元的取值范围.
则函数 有两个不同的零点.选项C判断正确；
选项D：当 时 即
方程 有二相异根
方程 需分类：当 时有唯一根 （此时方程 有二相异根 ）；当 时有二相异根；当 时无根.
则函数 当 时有二个不同零点；当 时有四个不同零点；当 时有两个不同的零点.选项D判断错误.
故选：ABC
【点睛】函数零点的求解与判断方法：
故选：CD
10.已知实数abc满足： 且 则（）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】对于A：利用不等式的乘方直接判断；
对于B：由 即可判断；
对于C：取特殊值 否定结论；
对于D：由 即可判断.
【详解】因为实数abc满足： 且 所以abc同号.
对于A：若 则 所以 ；若 则 所以 ；故A正确；
【详解】
故答案为：
15.若正数ab满足 则 的最小值是________．
【答案】3
【解析】
【分析】利用基本不等式可得： 将 转化成 ；进而
解得 检验等号成立即可．
【详解】因为 为正数 所以 成立 所以
因为 所以
由 为正数 得
所以
当且仅当 即 等号成立
即 解得 所以 的最小值为3.
故答案为：3
16.写出同时满足以下三个条件 一个函数 ＝________．
【详解】对于A,当 时 有 故A错误；
对于B 为四次函数 为指数函数 且是单调递增
当x取很大的实数时 不存在 使得 故B错误；
对于C要使 必须满足
也即恒有 当 时 就有 说明C错误；
对于D 即
此时 若 则 那么对任意的 恒成立 故D正确；
故选：D.
二 选择题：本题共四小题 每小题5分 共20分 在每小题给出的四个选项中 有多项符合题目要求的 全部选对的得5分 有选错的得0分 部分选对的得2分．
A.充要条件B.充分不必要条件
C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】在 中 由 求出角A再利用充分条件 必要条件的定义直接判断作答.
【详解】因角 是 内角 则
当 时 或 即 不一定能推出
若 则
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：C
3.下列函数中 既是奇函数又是增函数 是（）
【详解】
所以函数 的最小正周期为 最大值为 故AD错误；
令 即对称轴为 故B正确；
令 解得
当 时 函数 的单调减区间为
又 所以 在 上单调递减 故C正确.
故选：BC.
12.已知函数 则（）
A.当 时 函数 有且仅有一个零点
B.当 时 函数 没有零点
C.当 时 函数 有两个不同的零点
D.当 函数 有四个不同的零点
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据奇函数可排除C选项 由函数为增函数可排除AB选项 得出答案.
【详解】选项A.函数 为奇函数 但在定义域内不是增函数 故不正确.
选项B.函数 为奇函数 但在定义域内不是增函数 故不正确.
选项C.函数 不 奇函数 不正确.
选项D.函数 奇函数且在 上为增函数.故正确.
① ；
② ；
③ 且 ．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】由题可知函数为奇函数 再结合幂函数的性质即得.
详解】∵
∴函数 为奇函数 又
∴由幂函数的性质可知 函数可为 函数为奇函数
又当 时 且
即
∴ .
故答案为： .
【点睛】本题为开放性试题 结合奇函数的概念及幂函数的性质 可得函数可为 然后证明即得.
对于B：因为 所以 所以 成立.故B正确；
对于C：可取 则 所以 不成立.故C错误；
对于D：因为 所以 .因为 所以 .
故D错误.
故选：AB
11.已知函数 则（）
A.最小正周期为 B.关于直线 对称
C.在 上单调递减D.最 二倍角公式和辅助角公式求出 利用正弦函数的性质依次求出最小正周期 最大值 对称轴和单调减区间即可.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）将原函数降角升次 通过换元变成二次函数 研究二次函数的对称轴和区间的关系即可完成求解；
（2）根据 的奇偶性确定 的奇偶性 然后通过题意条件 进行分类讨论 列式即可求解出a的值.
【小问1详解】
因为 所以 令
则 在区间 上存在最小值
即对称轴 即 解得
故a的取植范围为 ；
【答案】B
【解析】
【分析】求出函数的周期 利用周期和 可得答案.
【详解】因为 所以
所以 的周期为4
函数 是定义在 上的奇函数 所以
所以
.
故选：B.
6.在流行病学中 基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数．当基本传染数高于 时 每个感染者平均会感染一个以上的人 从而导致感染这种疾病的人数量指数级增长．当基本传染数持续低于 时 疫情才可能逐渐消散．广泛接种疫苗可以减少疾病的基本传染数．假设某种传染病的基本传染数为 个感染者在每个传染期会接触到 个新人 这 人中有 个人接种过疫苗( 称为接种率)那么 个感染者新的传染人数为 ．已知新冠病毒在某地的基本传染数 为了使 个感染者传染人数不超过 该地疫苗的接种率至少为（）
9.下列各式的值为1的是（）
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】对于A：直接判断出 即可判断；
对于B：计算出 即可判断；
对于C：直接计算出 即可判断；
对于D：利用换底公式直接计算出 即可判断.
【详解】 .
对于A：因 所以 .故A错误；
对于B：因为 所以B错误；
对于C： .故C正确；
对于D： .故D正确.
则 解之得
当 时 在 上单调递增 值城是[－11]
则 解之得
综上 实数a的值为3或
20.已知函数 ．
（1）求不等式 的解集；
（2）若存在实数 使得不等式 成立 求实数m的取值范围．
【答案】（1） ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）由题可得 然后利用函数单调性即得；
（2）由题可知 利用条件可得 通过换元构造函数求最值即求.
【答案】ABC
【解析】
【分析】函数 的零点 即方程 的根 这是本题的关键入手点.
【详解】由
得
选项A：当 时 即 .
方程 有唯一根 方程 无根.
则函数 有且仅有一个零点.选项A判断正确；
选项B：当 时 即
方程 无根 方程 无根.
则函数 没有零点.选项B判断正确；
选项C：当 时 即
方程 有二相异根 方程 无根.
非选择题部分
三 填空题：本题共四小题 每小题5分 共20分．
13.函数 且 过定点________．
【答案】
【解析】
【分析】令 求得 的值 再代入函数 的解析式可求得定点的坐标.
【详解】令 可得
.
因此 函数 的图象过定点 .
故答案为： .
14.已知 则 ________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】先利用诱导公式对 变形 再以二倍角公式进行代换求值即可解决.
【小问2详解】
因为 都是偶函数
所以 在 上是偶函数 因为 恰有3个零点 所以 则有：
或 .
①当 时 即 或 时
因为当 令
因为 解得 或
所以 恰有3个零点 即 满足条件；
②当 时 即 或 时 此时
当 时 只有1个零点 且
所以 恰有3个零点等价于 恰有2个零点
所以 或 解得 或
当 时 解得 或
令 解得 或 （舍去）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意列不等式 即可求出结果.
【详解】由题意可得：
故选：C.
7.已知函数 的图象如图所示 则函数 的解析式可能是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分析各选项中函数的定义域 奇偶性及其在 上的函数值符号 由此可得出合适的选项.
【详解】对于A选项 函数 的定义域为 不满足条件；
因为当自行车在水平地面上往前作匀速直线运动时 前后轮上的点是顺时针转动 且前后轮旋转的角速度相等
所以
所以
所以
【小问2详解】
由（1）可知
因为当 时
所以
所以
22.已知 与 均为定义在（－ ）上的函数 其中ab均为实数．
（1）若g（x）存在最小值 求a的取植范围；
（2）设 若h（x）恰有三个不同的零点 求a的值．
宁波市第一学期期末试卷
高一数学
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一 选择题：本题共8小题 每小题5分 共40分．在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的．
1.设集合 则 （）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出 的补集 再和 求交集即可.
【详解】因为
所以 =
故选：B
2.已知角 是 的内角 则“ ”是“ ”的（）
（1）求f（t）的解析式：
（2）求f（t）的最大值和最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）如图建立平面直角坐标系 设经过了时间 后 然后由题意表示出 两点的坐标 再利用两点间的距离公式表示PQ两点间距离为f（t）即可
（2）利用三角函数的性质求解 的最值
【小问1详解】
因为自行车在前进的过程中 两个轮子之间的距离保持不变 所以只考虑两个轮子的旋转情况 如图 以 为坐标原点 以直线 为 轴 过 点垂直于 的直线为 轴 建立平面直角坐标系 则 设经过了时间 后
（2）由（1）代入得 由角的范围求得 .再运用余弦两角差可求得答案.
【小问1详解】
根据题意 由 可得
又
所以
∴ 解得 .
又 且 ∴ .
所以 ；
【小问2详解】
由（1）知 函数
所以 得
又 所以 所以
所以
.
19.已知函数 且 ．
（1）判断函数的奇偶性 并证明；
（2）当 时 函数 的值城是[－11]．求实数a的值．
可化为 .
因为
所以 且 .
①若 则 显然 应舍去；
②若 则 显然 应舍去；
③若 则 .
又 所以
因为 所以 解得： .
综上所述：a的取值范围是 .
18.如图 函数 的图象最高点M（22 ）与最低点N的距离 ．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若 求 的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由最高点得 根据长度关系求解周期得 代入特殊点的坐标求解 从而求得函数的解析式；
【小问1详解】
∵ 又 为增函数
∴ 增函数 又
∴
∴
∴不等式 的解集为 ；
【小问2详解】
∵函数 为增函数
当 时 故
由存在实数 使得不等式 成立
∴存在实数 使 成立
∴
令 当 时 故
设 则函数 在 上单调递增
∴ .
故实数m的取值范围为 .
21.如图 自行车前后轮半径均为rcm（忽略轮胎厚度） 固定心轴间距 为3rcm后轮气门芯P的起始位置在后轮的最上方 前轮气门芯Q的起始位置在前轮的最右方．当自行车在水平地面上往前作匀速直线运动的过程中 前后轮转动的角速度均为 经过t（单位：s）后PQ两点间距离为f（t）．
4.已知 则（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先利用指数函数的性质比较 的大小 再利用幂函数的性质比较 的大小 即得解.
【详解】因为 是单调递增函数 所以
因为 是单调递增函数 所以
所以 .
故选：A.
5.已知函数 是定义在 上的奇函数 且满足 则 （）
A. B. 0C. 1D. 2022
四 解答题：本题共6小题．共70分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤．
17.设 集合 ．
（1）若 求 ；
（2）若 求a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接求出集合AB再求 ；
（2）先求出B由 对a进行分类讨论 求出a的取值范围．
【小问1详解】
当 时
所以 .
【小问2详解】
集合 所以 .
【答案】（1）函数 为奇函数 证明见解析
（2）3或
【解析】
【分析】（1）以奇函数定义证明函数 为奇函数即可解决；
（2）按底数a分类讨论 依据对数函数的单调性分别去求实数a的值即可解决.
【小问1详解】
函数 为奇函数 证明如下：
由 解得 则函数 定义域为
故函数 为奇函数
【小问2详解】
令
由 得 即
当 时 在 上单调递减 值城是[－11]
(1)直接求零点：令f(x)＝0如果能求出解 则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[ab]上是连续不断的曲线 且f(a)·f(b)＜0还必须结合函数的图象与性质(如单调性 奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差 画两个函数的图象 看其交点的横坐标有几个不同的值 就有几个不同的零点．
对于B选项 函数 的定义域为 不满足条件；
对于C选项 函数 的定义域为
函数 为偶函数
当 时 则 不满足条件；
对于D选项 函数 的定义域为
函数 为偶函数
当 时 则 满足条件.
故选：D.
8.已知函数 则存在 对任意的 有（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】考虑到二次函数 的对称轴的不同情况 结合二次函数的单调性 即可判断每个选项的正确与否.
所以 的根为 因为 恰有3个零点 所以 .
综上： .
【点睛】三角函数的单调区间在研究的时候 先观察式子中的项是否齐次 如果其次 一般情况是通过化简合并成 这种形式 然后通过整体法来求解；如果不齐次 那么需要将式子进行变形 先换成同元函数 然后再通过换元 一般情况下都是变成二次函数 需要注意的是 在使用换元的时候一定要标注清楚新元的取值范围.
则函数 有两个不同的零点.选项C判断正确；
选项D：当 时 即
方程 有二相异根
方程 需分类：当 时有唯一根 （此时方程 有二相异根 ）；当 时有二相异根；当 时无根.
则函数 当 时有二个不同零点；当 时有四个不同零点；当 时有两个不同的零点.选项D判断错误.
故选：ABC
【点睛】函数零点的求解与判断方法：
故选：CD
10.已知实数abc满足： 且 则（）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】对于A：利用不等式的乘方直接判断；
对于B：由 即可判断；
对于C：取特殊值 否定结论；
对于D：由 即可判断.
【详解】因为实数abc满足： 且 所以abc同号.
对于A：若 则 所以 ；若 则 所以 ；故A正确；
【详解】
故答案为：
15.若正数ab满足 则 的最小值是________．
【答案】3
【解析】
【分析】利用基本不等式可得： 将 转化成 ；进而
解得 检验等号成立即可．
【详解】因为 为正数 所以 成立 所以
因为 所以
由 为正数 得
所以
当且仅当 即 等号成立
即 解得 所以 的最小值为3.
故答案为：3
16.写出同时满足以下三个条件 一个函数 ＝________．
【详解】对于A,当 时 有 故A错误；
对于B 为四次函数 为指数函数 且是单调递增
当x取很大的实数时 不存在 使得 故B错误；
对于C要使 必须满足
也即恒有 当 时 就有 说明C错误；
对于D 即
此时 若 则 那么对任意的 恒成立 故D正确；
故选：D.
二 选择题：本题共四小题 每小题5分 共20分 在每小题给出的四个选项中 有多项符合题目要求的 全部选对的得5分 有选错的得0分 部分选对的得2分．
A.充要条件B.充分不必要条件
C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】在 中 由 求出角A再利用充分条件 必要条件的定义直接判断作答.
【详解】因角 是 内角 则
当 时 或 即 不一定能推出
若 则
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：C
3.下列函数中 既是奇函数又是增函数 是（）
【详解】
所以函数 的最小正周期为 最大值为 故AD错误；
令 即对称轴为 故B正确；
令 解得
当 时 函数 的单调减区间为
又 所以 在 上单调递减 故C正确.
故选：BC.
12.已知函数 则（）
A.当 时 函数 有且仅有一个零点
B.当 时 函数 没有零点
C.当 时 函数 有两个不同的零点
D.当 函数 有四个不同的零点
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据奇函数可排除C选项 由函数为增函数可排除AB选项 得出答案.
【详解】选项A.函数 为奇函数 但在定义域内不是增函数 故不正确.
选项B.函数 为奇函数 但在定义域内不是增函数 故不正确.
选项C.函数 不 奇函数 不正确.
选项D.函数 奇函数且在 上为增函数.故正确.
① ；
② ；
③ 且 ．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】由题可知函数为奇函数 再结合幂函数的性质即得.
详解】∵
∴函数 为奇函数 又
∴由幂函数的性质可知 函数可为 函数为奇函数
又当 时 且
即
∴ .
故答案为： .
【点睛】本题为开放性试题 结合奇函数的概念及幂函数的性质 可得函数可为 然后证明即得.
对于B：因为 所以 所以 成立.故B正确；
对于C：可取 则 所以 不成立.故C错误；
对于D：因为 所以 .因为 所以 .
故D错误.
故选：AB
11.已知函数 则（）
A.最小正周期为 B.关于直线 对称
C.在 上单调递减D.最 二倍角公式和辅助角公式求出 利用正弦函数的性质依次求出最小正周期 最大值 对称轴和单调减区间即可.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）将原函数降角升次 通过换元变成二次函数 研究二次函数的对称轴和区间的关系即可完成求解；
（2）根据 的奇偶性确定 的奇偶性 然后通过题意条件 进行分类讨论 列式即可求解出a的值.
【小问1详解】
因为 所以 令
则 在区间 上存在最小值
即对称轴 即 解得
故a的取植范围为 ；
【答案】B
【解析】
【分析】求出函数的周期 利用周期和 可得答案.
【详解】因为 所以
所以 的周期为4
函数 是定义在 上的奇函数 所以
所以
.
故选：B.
6.在流行病学中 基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数．当基本传染数高于 时 每个感染者平均会感染一个以上的人 从而导致感染这种疾病的人数量指数级增长．当基本传染数持续低于 时 疫情才可能逐渐消散．广泛接种疫苗可以减少疾病的基本传染数．假设某种传染病的基本传染数为 个感染者在每个传染期会接触到 个新人 这 人中有 个人接种过疫苗( 称为接种率)那么 个感染者新的传染人数为 ．已知新冠病毒在某地的基本传染数 为了使 个感染者传染人数不超过 该地疫苗的接种率至少为（）
9.下列各式的值为1的是（）
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】对于A：直接判断出 即可判断；
对于B：计算出 即可判断；
对于C：直接计算出 即可判断；
对于D：利用换底公式直接计算出 即可判断.
【详解】 .
对于A：因 所以 .故A错误；
对于B：因为 所以B错误；
对于C： .故C正确；
对于D： .故D正确.
则 解之得
当 时 在 上单调递增 值城是[－11]
则 解之得
综上 实数a的值为3或
20.已知函数 ．
（1）求不等式 的解集；
（2）若存在实数 使得不等式 成立 求实数m的取值范围．
【答案】（1） ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）由题可得 然后利用函数单调性即得；
（2）由题可知 利用条件可得 通过换元构造函数求最值即求.
【答案】ABC
【解析】
【分析】函数 的零点 即方程 的根 这是本题的关键入手点.
【详解】由
得
选项A：当 时 即 .
方程 有唯一根 方程 无根.
则函数 有且仅有一个零点.选项A判断正确；
选项B：当 时 即
方程 无根 方程 无根.
则函数 没有零点.选项B判断正确；
选项C：当 时 即
方程 有二相异根 方程 无根.
非选择题部分
三 填空题：本题共四小题 每小题5分 共20分．
13.函数 且 过定点________．
【答案】
【解析】
【分析】令 求得 的值 再代入函数 的解析式可求得定点的坐标.
【详解】令 可得
.
因此 函数 的图象过定点 .
故答案为： .
14.已知 则 ________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】先利用诱导公式对 变形 再以二倍角公式进行代换求值即可解决.
【小问2详解】
因为 都是偶函数
所以 在 上是偶函数 因为 恰有3个零点 所以 则有：
或 .
①当 时 即 或 时
因为当 令
因为 解得 或
所以 恰有3个零点 即 满足条件；
②当 时 即 或 时 此时
当 时 只有1个零点 且
所以 恰有3个零点等价于 恰有2个零点
所以 或 解得 或
当 时 解得 或
令 解得 或 （舍去）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意列不等式 即可求出结果.
【详解】由题意可得：
故选：C.
7.已知函数 的图象如图所示 则函数 的解析式可能是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分析各选项中函数的定义域 奇偶性及其在 上的函数值符号 由此可得出合适的选项.
【详解】对于A选项 函数 的定义域为 不满足条件；
因为当自行车在水平地面上往前作匀速直线运动时 前后轮上的点是顺时针转动 且前后轮旋转的角速度相等
所以
所以
所以
【小问2详解】
由（1）可知
因为当 时
所以
所以
22.已知 与 均为定义在（－ ）上的函数 其中ab均为实数．
（1）若g（x）存在最小值 求a的取植范围；
（2）设 若h（x）恰有三个不同的零点 求a的值．
宁波市第一学期期末试卷
高一数学
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一 选择题：本题共8小题 每小题5分 共40分．在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的．
1.设集合 则 （）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出 的补集 再和 求交集即可.
【详解】因为
所以 =
故选：B
2.已知角 是 的内角 则“ ”是“ ”的（）
（1）求f（t）的解析式：
（2）求f（t）的最大值和最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）如图建立平面直角坐标系 设经过了时间 后 然后由题意表示出 两点的坐标 再利用两点间的距离公式表示PQ两点间距离为f（t）即可
（2）利用三角函数的性质求解 的最值
【小问1详解】
因为自行车在前进的过程中 两个轮子之间的距离保持不变 所以只考虑两个轮子的旋转情况 如图 以 为坐标原点 以直线 为 轴 过 点垂直于 的直线为 轴 建立平面直角坐标系 则 设经过了时间 后
（2）由（1）代入得 由角的范围求得 .再运用余弦两角差可求得答案.
【小问1详解】
根据题意 由 可得
又
所以
∴ 解得 .
又 且 ∴ .
所以 ；
【小问2详解】
由（1）知 函数
所以 得
又 所以 所以
所以
.
19.已知函数 且 ．
（1）判断函数的奇偶性 并证明；
（2）当 时 函数 的值城是[－11]．求实数a的值．
可化为 .
因为
所以 且 .
①若 则 显然 应舍去；
②若 则 显然 应舍去；
③若 则 .
又 所以
因为 所以 解得： .
综上所述：a的取值范围是 .
18.如图 函数 的图象最高点M（22 ）与最低点N的距离 ．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若 求 的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由最高点得 根据长度关系求解周期得 代入特殊点的坐标求解 从而求得函数的解析式；
【小问1详解】
∵ 又 为增函数
∴ 增函数 又
∴
∴
∴不等式 的解集为 ；
【小问2详解】
∵函数 为增函数
当 时 故
由存在实数 使得不等式 成立
∴存在实数 使 成立
∴
令 当 时 故
设 则函数 在 上单调递增
∴ .
故实数m的取值范围为 .
21.如图 自行车前后轮半径均为rcm（忽略轮胎厚度） 固定心轴间距 为3rcm后轮气门芯P的起始位置在后轮的最上方 前轮气门芯Q的起始位置在前轮的最右方．当自行车在水平地面上往前作匀速直线运动的过程中 前后轮转动的角速度均为 经过t（单位：s）后PQ两点间距离为f（t）．