第四五讲二维-傅里叶变换

令: G(,f) F ( cosf, sinf)
g(r, ) f (r cos , r sin )
则极坐标下的的二维傅里叶变换定义为：
2

G(,f) 0 d 0 rg(r, ) exp[ j2r cos( f)]dr
2

g(r, ) 0 d 0 G(,f) exp[ j2r cos( f)]d
2 ( x )
x cosf sin f
§1-5 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform
极坐标下的二维傅里叶变换
则在极坐标中:
F( cosf, sinf)
2

0 d 0 f (r cos, r sin ) exp[ j2r cos( f)]rdr
t
则 {g(x,y)}=lim {rect(x/t)rect(y/t)}
t
{re§ct(1x-)2}
t
二维傅Tre里rcat(nt叶xs) ef变xopr换(m j
22-Dxx)Fdox urier
二t /2e、xp广( j义2 Fxx.)Td.x t / 2
§1-5 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform
傅里叶-贝塞尔变换
当 f 具有圆对称性，即仅是半径r的函数:f(x,y)= g(r,) = g (r).
依F.T.定义:

2
G(,f) 0 rg(r) 0 exp[ j2r cos( f)]d dr
an 2/ 频谱图
1/2
fn 01 3
2
3
-2/3
三角傅里叶展开的例子
求函数 g(t)=rect(2t)*comb(t)
的傅里叶级数展开系数
宽度 =1/2
周期 t =1
a0

2
t
t
1
2 g(t)dt 2 4 dt 1
t 2

1 4
频率 f0 =1
an

2
t
t 2
g(t) cos(2nt)dt 2
从傅里叶级数到傅里叶变换
非周期函数可以看作周期为无限大的周期函数:
g
(t)

lim
t
n
1
t
t 2g(t) exp(
t 2
j2
பைடு நூலகம்n1
t
t)dt exp(
j2
n1
t
t)
g(t)

df



g(t) exp(

j2
ft)dt exp( j2
Cn

1
t
t 2g(t) exp( j2 n 1 t)dt
t 2
t
g(t)

n
1
t
t 2g(t) exp( j2
t 2
n
1
t

t)dt
exp(
j2 n 1 t) t
展开系数Cn
频率为n/t的分量
§1-5二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform
由(3)式直接推论得:
rfg(x)= rgf*(-x)
(4)
§1-4 相关 correlation 一、互相关
性质2 2 Rfg (x) Rff (0)Rgg (0) 证明：引用施瓦兹不等式
( ) ( )d 2

2
( ) d

2
( ) d


零频分量, 基频, 谐频, 频谱等概念， 奇、偶函数的三角级数展开
三角傅里叶展开的例子
周期为t =1的方波函数
1.2
0
0
1
2
3
4
5
-1.2
… 1
2
2 cos(2 t)
2 cos(6 t) 3
前3项的和
f (t) 1 2 cos(2t) 2 cos(6t) ......

f (x) f *(x)
* 若f(x)是实偶函数, 则:rff (x)= f(x) f(x) , 其自相关就是自卷积
对于非零复函数f(x),
rff (0)>0 为实值
|rff (x)| < rff (0)
证明: 利用施瓦兹不等式
§1-5二维傅里叶变换
三角傅里叶级数
满足狄氏条件的函数 g(t) 具有有限周期t,可以在(-,+ )展为
1 4
cos(2nt)dt sin(2nt)
t 2

1 4
n
1/ 4 sinc n
1/ 4
2
2
bn t
t
2 t 2
g (t
)
sin(2nf0t
)dt

0
采用指数傅里叶级数展开，可以使展开系数的表达式统一而简洁。
§1-5 二维傅里叶变换
指数傅里叶级数
满足狄氏条件的函数 g(t) 具有有限周期t,可以在(-,+ )展为

F (x ,) f (x, y) exp[ j2 (xx y)dxdy
为函数f(x,y)的傅里叶变换, 记作:
F(x,)= {f(x,y)}=F.T.[f(x,y)],
或
f(x,y) F.T. F(x,)
f(x,y): 原函数, F(x,): 像函数或频谱函数
积分变换:

f *(x) g(x)
(3)
1. 当且仅当f*(-x)=f(x) [f(x)是厄米的], 相关才和卷积相同. 一
般情况下,相关运算与卷积运算的区别:
f(x)要取复共轭
运算时f(x) 不需折叠
性质1：互相关不满足交换律
rfg(x)=f(x) ★g(x) ≠ g(x) ★ f(x) = rgf (x) 相关计算要严格注意两个函数的顺序,以及哪个函数取复共轭.
记作: f(x,y)= -1{F(x,)}. 显然 -1 {f(x,y)}= f(x,y)
综合可写: f(x,y) F.T. F(x,)
F.T.-1
f(x,y)和F(x,)称为傅里叶变换对
x (y) 和 x ()称为一对共轭变量, 它们在不同的范
畴(时空域或频域) 描述同一个物理对象.
§1-5 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform
f t)
展开系数,或频率f分量的权重, G(f), 相当于分立情形的Cn
由于t ∞ 分立的n级谐波频率 n/t f, f: 连续的频率变量 相邻频率间隔: 1/t 0, 写作df, 求和积分
§1-5 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform
从傅里叶级数到傅里叶变换
写成两部分对称的形式:
§1-5二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform
广义 F.T.
对于某些不符合狄氏条件的函数, 求F.T.的方法.
对某个可变换函数组成的系列取极限不符合狄氏条件的函数, 函数系列变换式的极限原来函数的广义F. T.
例: g(x,y)=1, 在(-, + )不可积
可定义: g(x,y)=lim rect(x/t)rect(y/t)
特别适合于圆对称函数的F.T.
依F.T.定义:

F (x ,) f (x, y) exp[ j2 (xx y)dxdy
极 坐 标
空域r

x2 tan 1
y2 (y x
)
x r cos

y

r
sin
变 换
频域ftanx21
三角傅里叶级数:
g (t )

a0 2

n1
(an
cos 2nf0t

bn
sin
2nf 0t ),
(n 0, 1, 2...),
f0

1
t
展开系数
a0
2
t
t
g (t )dt
0
an
2
t
t
0 g(x) cos(2nf0t)dt
bn
2
t
t
0 g(t) sin(2nf0t)dt
根据广义傅立叶变换的定义和d 函数的定义:
{g(x,y)}=limt2sinc(tx)sinc(t) = d(x,)
t
按照广义变换的概念可以
{1} = d(x, ) 得出一系列特殊函数的F.T.
§1-5 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform
二、 极坐标下的二维傅里叶变换和傅里叶-贝塞尔变换
§1-4 相关 correlation
信息处理中的重要运算
一、互相关 cross correlation
定义：考虑两个复函数f(x)与g(x),定义
rfg (x) f (x)★g(x)

f *(x )g(x x )dx

(1)
为函数f(x)与g(x)的互相关函数.
作变量替换x+x =x ’, 则
二、自相关 auto-correlation
当f(x)=g(x)时,互相关变为复函数f(x)的自相关, 定义为
rff (x)
f (x)★f (x)

f (x ) f *(x x)dx

或:
rff (x)
f (x)★f (x)

f (x 'x) f *(x ')dx '

G( f ) g(t) exp( j2ft)dt
g(t) G( f ) exp( j2ft)df
这就是傅里叶变换和傅里叶逆变换
1-5二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform
一、定义及存在条件
函数f(x,y)在整个x-y平面上绝对可积且满足狄氏条件(有 有限个间断点和极值点,没有无穷大间断点), 定义函数

1
t /2
exp( j2 xx)
j2 x
t / 2
1 (e jtx e jtx ) sin(tx ) t sinc(t x )
j2 x
x
重要推论: {rect(x)} =sinc(x)
则 {rect(x/t)rect(y/t)} =t2sinc(tx)sinc(t)
指数傅里叶级数:

g(t) cn exp( j2nf0t), (n 0,1,2... ),
n
f0

1
t
展开系数
cn

1
t
t
0 g(t) exp( j2nf0t)dt
零频分量, 基频, 谐频, 频谱等概念
指数傅里叶级数和三角傅里叶级数是同一种级数的两种表
示方式，一种系数可由另一种系数导出。
一、定义(续)

f (x, y) F (x ,) exp[ j2 (xx y)dxd
F(x,)是f(x,y)的频谱函数
x, y, x,均为实变量，
F(x,)一般是复函数, F(x,) =A(x,)e jf (x,)
位相谱 振幅谱
描述了各频率分量的相对幅值和相移.

其中与一般为复函数，且仅当=k 时，等号成立。
令()=f(-x)， ()=g()，则施瓦兹不等式为：

2
f ( x)g( )d

2
f ( x) d

2
g( ) d



即
2
Rfg (x) Rff (0)Rgg (0)
§1-4 相关 correlation

F (x) f ( )K (, x)d

变换核
傅里叶变换的核:
exp(-j2xx)
§1-5 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform
一、定义(续)
由频谱函数求原函数的过程称为傅里叶逆变换:

f (x, y) F(x ,) exp[ j2 (xx y)dxdf

由(4)式立即可得:
rff(x)= rff*(-x)
复函数的自相关函数是厄米函数(实 部为偶函数,虚部为奇函数)
实函数的自相关为实偶函数
§1-4 相关 correlation
二、自相关 auto-correlation 重要性质
由(3)式:

rff (x)
f (x ) f *[(x x )]dx
c0

a0 2
,
cn

an
2
jbn
,
cn

an
jbn 2
§1-5 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform
从傅里叶级数到傅里叶变换
函数 (满足狄氏条件) 具有有限周期t,可以展为傅里叶级数:
g (t )


Cn
n
exp(
j2
n1
t
t)
n级谐波频率:n/t 相邻频率间隔: 1/t
rfg (x)
f (x)★g(x)

f *(x 'x)g(x ')dx ' (2)

(1) 和 (2)两个定义式是完全等价的.
互相关是两个函数间存在相似性的量度.
§1-4 相关 correlation
一、互相关
互相关与卷积的关系
由(2)式易见：

rfg (x)
f *(x x)g(x )]dx
利用贝塞尔函数关系
2
0 exp[ ja cos( f)]d 2J0 (a)

G() 2 0 rg(r)J0 (2r)dr
圆对称函数的F.T. 仍是圆对称函数,