2022年初中数学精品教案《运用完全平方公式因式分解》公开课专用

第2课时运用完全平方公式因式分解
1．理解完全平方公式，弄清完全平方公式的形式和特点．(重点)
2．掌握运用完全平方公式分解因式的方法，能正确运用完全平方公式把多项式分解因式．(难点)
一、情境导入
1．分解因式：
(1)x2－4y2；(2)3x2－3y2；
(3)x4－1；(4)(x＋3y)2－(x－3y)2.
2．根据学习用平方差公式分解因式的经验和方法，你能将形如“a2＋2ab＋b2、a2－2ab ＋b2”的式子分解因式吗？
二、合作探究
探究点：运用完全平方公式分解因式
【类型一】判断能否用完全平方公式分解因式
下列多项式能用完全平方公式分解因式的有( )
(1)a2＋ab＋b2；(2)a2－a＋1
4
；(3)9a2－24ab＋4b2；(4)－a2＋8a－16.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：(1)a2＋ab＋b2，乘积项不是两数积的2倍，不能运用完全平方公式；(2)a2－a＋
1 4＝(a－
1
2
)2；(3)9a2－24ab＋4b2，乘积项是这两数积的4倍，不能用完全平方公式；(4)－
a2＋8a－16＝－(a2－8a＋16)＝－(a－4)2.所以(2)(4)能用完全平方公式分解．故选B.
方法总结：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍．
【类型二】运用完全平方公式分解因式
因式分解：
(1)－3a2x2＋24a2x－48a2；
(2)(a2＋4)2－16a2.
解析：(1)有公因式，因此要先提取公因式－3a2，再把另一个因式(x2－8x＋16)用完全平方公式分解；(2)先用平方差公式，再用完全平方公式分解．
解：(1)原式＝－3a2(x2－8x＋16)＝－3a2(x－4)2；
(2)原式＝(a2＋4)2－(4a)2＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a)＝(a＋2)2(a－2)2.
方法总结：分解因式的步骤是一提、二用、三查，即有公因式的首先提公因式，没有公因式的用公式，最后检查每一个多项式的因式，看能否继续分解．
【类型三】利用完全平方公式求值
已知x 2－4x ＋y 2－10y ＋29＝0，求x 2y 2
＋2xy ＋1的值．
解析：首先配方，借助非负数的性质求出x 、y 的值，问题即可解决．
解：∵x 2－4x ＋y 2－10y ＋29＝0，∴(x －2)2＋(y －5)2＝0.∵(x －2)2≥0，(y －5)2≥0，
∴x －2＝0，y －5＝0，∴x ＝2，y ＝5，∴x 2y 2＋2xy ＋1＝(xy ＋1)2＝112＝121.
方法总结：几个非负数的和为0，则这几个非负数都为0. 【类型四】 运用因式分解进行简便运算
利用因式分解计算：
(1)342＋34×32＋162； 22.
解析：利用完全平方公式转化为(a ±b )2的形式后计算即可． 解：(1)342＋34×32＋162＝(34＋16)2＝2500；
22＝(38.9－48.9)2＝100.
方法总结：此题主要考查了运用公式法分解因式，正确掌握完全平方公式是解题关键．
【类型五】 利用因式分解判定三角形的形状
已知a ，b ，c 分别是△ABC 三边的长，且a 2＋2b 2＋c 2－2b (a ＋c )＝0，请判断△ABC
的形状，并说明理由．
解析：首先利用完全平方公式分组进行因式分解，进一步分析探讨三边关系得出结论即可． 解：由a 2＋2b 2＋c 2－2b (a ＋c )＝0，得a 2－2ab ＋b 2＋b 2－2bc ＋c 2＝0，即(a －b )2＋(b －c )2＝0，∴a －b ＝0，b －c ＝0，∴a ＝b ＝c ，∴△ABC 是等边三角形．
方法总结：通过配方将原式转化为非负数的和的形式，然后利用非负数性质解答，这是解决此类问题一般的思路．
【类型六】 整体代入求值
已知a ＋b ＝5，ab ＝10，求12a 3b ＋a 2b 2＋12
ab 3的值． 解析：将12a 3b ＋a 2b 2＋12ab 3分解为12
ab 与(a ＋b )2的乘积，因此可以运用整体代入的数学思想来解答．
解：12a 3b ＋a 2b 2＋12ab 3＝12ab (a 2＋2ab ＋b 2)＝12
ab (a ＋b )2.当a ＋b ＝5，ab ＝10时，原式＝12
×10×52＝125. 方法总结：解答此类问题的关键是对原式进行变形，将原式转化为含已知代数式的形式，然后整体代入．
三、板书设计
运用完全平方公式因式分解
1．完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2.
2．完全平方公式的特点：
(1)必须是三项式(或可以看成三项的)；
(2)有两个同号的平方项；
(3)有一个乘积项(等于平方项底数积的±2倍)．
简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央．
本节课学生的探究活动比较多，教师既要全局把握，又要顺其自然，千万不可拔苗助长，为了后面多做几道练习而主观裁断时间安排．其实公式的探究活动本身既是对学生能力的培养，又是对公式的识记过程，而且还可以提高他们应用公式的本领．
第2课时代数式的求值
知识技能目标
1．了解代数式的值的概念；
2．会求代数式的值．
过程性目标
1．经历求代数式的值的过程，初步体会到数学中抽象概括的思维方法和事物
的特殊性与一般性可以相互转化的辩证关系；
2．探索代数式求值的一般方法．
教学过程
一．创设情境
现在，我们请四位同学来做一个传数游戏．
游戏规则：第一位同学任意报一个数给第二位同学，第二位同学把这个数加
上1传给第三位同学，第三位同学再把听到的数平方后传给第四位同学，第
四位同学把听到的数减去1报出答案．
活动过程：四位同学站到台前，面向全体学生，再请一位同学担任裁判，面
向这四位同学．教师站到黑板前，当听到第一位同学报出数字时马上在黑板
上写出答案，然后判断和第四位同学报出的数是否一致（可试3～4个数）．
师：为什么老师会很快地写出答案呢（根据学生的回答，教师启发学生归纳
出计算的代数式：(x＋1)2－1）？
二．探究归纳
１．引导学生得出游戏过程实际是一个计算程序（如下图）：
当第一个同学报出一个数时，老师就是在用这个具体的数代替了代数式(x
＋1)2－1中的字母x，把答案很快地算了出来．掌握了这个规律，我们每位同学只要知道第一位同学报出的数都可以很快的得出游戏的结果．
2．代数式的值的概念
像这样，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果称为代数式的值（value of algebraic expression）．
通过上面的游戏，我们知道，同一个代数式，由于字母的取值不同，代数式的值会有变化．
三．实践应用
例1当a＝2，b＝－1，c ＝－3时，求下列各代数式的值：
（1）b2－4ac;
（2）a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac;
（3）(a＋b＋c)2．
解（1）当a＝2，b ＝－1，c＝－3时，
b2－4ac＝(－1)2－4×2×(－3)
＝1＋24
＝25．
（2）当a＝2，b＝－1，c＝－3时，
a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac
＝22＋(－1)2＋(－3)2＋2×2×(－1)＋2×(－1)×(－3)＋2×2×(－3)
＝4＋1＋9－4＋6－12
＝4．
（3）当a ＝2，b＝－1，c＝－3时，
(a＋b＋c)2
＝(2－1－3)2
＝4．
注：1．比较（2）、( 3 ) 两题的运算结果，你有什么想法？
2．换a ＝3 , b＝－2 , c＝4 再试一试，检验你的猜想是否正确．3．对于这一猜想，我们通过学习，将来有能力证实它的正确性．
例2某企业去年的年产值为a亿元，今年比去年增长了10% ．如果明年还能按这个速度增长，请你预测一下该企业明年的年产值将达到多少亿元？如
果去年的年产值是2亿元，那么预计明年的年产值是多少亿元？
解由题意可得，今年的年产值为a·(1＋10%) 亿元，于是明年的年产值为
a·(1＋10%)·(1＋10%)
＝1．21a（亿元）．
若去年的年产值为2亿元，则明年的年产值为
1．21a＝1．21×2 ＝2．42（亿元）．
答：该企业明年的年产值将能达到1．21a亿元．由去年的年产值是2亿元，可以预计明年的年产值是2．42亿元．
例3当x＝－3时，多项式mx3＋nx－81的值是10，当x＝3时，求该代数式的值．
解当x＝－3时，多项式mx3＋nx－81＝－27m－3n－81,
此时－27m－3n－81＝10, 所以27m＋3n＝－91．
则当x＝3，mx3＋nx－81
＝( 27m＋3n )－81
＝－91－81
＝－172．
注：本题采用了一种重要的数学思想——“整体思想”．即是考虑问题时不是着眼于他的局部特征，而是把注意力和着眼点放在问题的整体结构上，把一些彼此独立，但实质上又相互紧密联系着的量作为整体来处理的思想方法．练习
1．按下图所示的程序计算，若开始输入的n值为2，则最后输入的结果是____________．
2．根据下列各组x、y的值，分别求出代数式x2＋2xy+2y2 与x2－2xy+y2 的。