高中数学 3.4.2 简单线性规划课后巩固练习 北师大版必

【世纪金榜】2014年高中数学 3.4.2 简单线性规划课后巩固练习北师大版必
修5
(30分钟50分)
一、选择题（每小题4分，共16分）
1.（2011·山东高考）设变量x,y满足约束条件
x2y50
x y20
x0
+-≤
⎧
⎪
--≤
⎨
⎪≥
⎩
，则目标函数z=2x+3y+1的最大值为( )
（A）11 （B）10 （C）9 （D）8.5
2.（2011·浙江高考）若实数x,y满足不等式组
x2y50
2x y70,
x0,y0
+-≥
⎧
⎪
+-≥
⎨
⎪≥≥
⎩
则3x+4y的最小值是( )
（A）13 （B）15 （C）20 （D）28
3.(2011·贵阳高二检测)若实数x、y满足不等式组
x1,
x4y30,
x2y90,
≥
⎧
⎪
-+≤
⎨
⎪+-≤
⎩
则目标函数z=x+y的最大值是( )
(A)3 (B)5 (C)1
2
(D)7
4.已知x、y满足不等式组
y x
x y2,
x a
≥
⎧
⎪
+≤
⎨
⎪≥
⎩
且z=2x+y的最大值是最小值的3倍，则a=( )
(A)0 (B)1
3
(C)
2
3
(D)1
二、填空题（每小题4分，共8分）
5.已知点P（x,y）在不等式组
x20,
y10,
x2y20,
-≤
⎧
⎪
-≤
⎨
⎪+-≥
⎩
表示的平面区域上运动，则z＝x-y的取值范围是________.
6.(2011·湖南高考）设m>1,在约束条件
y x
y mx
x y1
≥
⎧
⎪
≤
⎨
⎪+≤
⎩
下，目标函数z=x+5y的最大值为4，则m的值为________.
三、解答题（每小题8分，共16分）
7.已知-1<x+y<4且2<x-y<3，求z=2x-3y的取值范围.
8.设变量x，y满足约束条件
x y0
x y1
x2y1
-≥
⎧
⎪
+≤
⎨
⎪+≥
⎩
，
，
，
求z=(x- 1 2
)2+y2的取值范围.
【挑战能力】
（10分）设O为坐标原点，A（1,1），若点B（x,y）满足
22
x y2x2y10
1x2
1y2
⎧+--+≥
⎪
≤≤
⎨
⎪≤≤
⎩
，试求OA OB
uuu r uu u r
g的最大值.
答案解析
1.【解析】选B.画出平面区域表示的可行域如图所示，由目标函数z=2x+3y+1得直线y=-
2z1
x
33
-
+，当直线过点A（3，1）时，目标函数z=2x+3y+1取得最大值为10，故选B.
2.独具【解题提示】先画出可行域，求出区域定点的坐标，通过平移直线3x+4y=0,观察可得.
【解析】选A.x+2y-5=0与2x+y-7=0的交点为（3，1），通过直线平移可知（3，1）即为最优解，此时3x+4y 取得最小值13.
3.【解析】选D.作可行域如图：y=-x+z,过点A时z取最大值.
由
x4y30
x2y90
-+=
⎧
⎨
+-=
⎩
得，点A坐标为（5，2）.
故z max=5+2=7.
4. 【解析】选B.依题意可知a<1.作出可行域如图所示，z=2x+y在A点和B点处分别取得最小值和最大值.
由
x a
y x
=
⎧
⎨
=
⎩
得A(a，a)，
由
x y2
x y
+=
⎧
⎨
=
⎩
得B(1,1)，
∴z max=3，z min=3a.∴a=1
3
.
5.【解析】可行域为如图阴影部分，其中A（2，0），C（0，1），
z=x-y在A处取最大值z=2-0=2,
在C处取最小值z=0-1=-1,
∴z的取值范围为[-1,2].
答案：[-1,2]
6.独具【解题提示】画出可行域，观察图形，可知直线y=-1z
x
55
+过直线
x y1
y mx
+=
⎧
⎨
=
⎩
的交点时，取最大值.
【解析】画出可行域，可知z=x+5y
在点（
1m
,
1m1m
++
）处取最大值为4，解得m=3.
答案：3
7.【解析】画出可行域(如图)，
将目标函数z=2x-3y变形为y=2z
x
33
-，它表示与y=
2
3
x平行、截距是-
z
3
的一族平行直线，当它经过点A
时，截距-z
3
最大，此时z最小（取不到）；当它经过点B时，截距-
z
3
最小，此时z最大（取不到）.
由
x y2
x y4
-=
⎧
⎨
+=
⎩
⇒A(3,1)
由
x y1
x y3
+=-
⎧
⎨
-=
⎩
⇒B(1,-2)
∴过点A时，z=2×3-3×1=3
过点B时，z=2×1-3×(-2)=8
∴z=2x-3y的取值范围是(3，8).
所以目标函数z=2x-3y的取值范围是(3，8).
独具【方法技巧】目标函数z=ax+by的最值与b取值的关系
线性目标函数z=ax+by取最大值时的最优解与b的正负有关，当b>0时，最优解是将直线ax+by=0在可行域内向上平移到端点(一般是两直线交点)的位置得到的；当b<0时，则是向下方平移，过可行域的端点时取得的.
8.独具【解题提示】目标函数z的几何意义是可行域内的点到点（1
2
,0)距离的平方.
【解析】由
x y0
x y1
x2y1
-≥
⎧
⎪
+≤
⎨
⎪+≥
⎩
作出可行域，如图阴影部分所示.
z=（x-1
2
)2+y2表示可行域
内的任意一点与点(
1
2
，0)距离的平方.
因此(x-
1
2
)2+y2的最小值为点(
1
2
,0)到直线x+2y-1=0距离的平方，则z min=
2
1
11
2
1420
-
=
+
（）
.
z的最大值为点(
1
2
,0)到点A、点B、点D距离平方中的最大值，则由计算知z max=
1
4
，∴z的取值范围是［
1
20
, 1
4
］.
【挑战能力】
【解析】不等式x2+y2-2x-2y+1≥0⇔(x-1)2+(y-1)2≥1
先作出不等式组表示的平面区域,如图阴影部分所示.
OA OB
uuu r uu u r
g=（1,1）·（x,y）＝x＋y，令z=x+y，化为y=-x+z
则将直线y=－x向右上方平移时，z随之增大，
当平移至通过可行域内的点B（2,2）时，z最大,
∴z max=2+2=4,即OA OB
uuu r uu u r
g的最大值为4.。