线性弹性问题的多尺度间断有限元方法
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ＹＵ Ｔａｏ，‘ＯＵＹＡＮＧ Ｆｅｎ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｐｈｙｓｉ￣， Ｊｉｎｇｇａｎｇｓｈａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｊｉ’ａｎ，Ｊｉａｎｇｘｉ ３４３００９，Ｃｈｉｎａ）
Ａ ｂｓｔｒａｃｔ：Ｗ ｅ ｄｅｖｅｌｏｐ ａ ｍ ｕｌｔｉ－ｓｃａｌｅ ｄｉｓｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ＦＥＭ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｌｏｃａｌｉｚｅｄ ｏｒｔｈｏｇｏｎａｌ ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｍｅｔ ｈ ｏｄ ｆｏｒ ｓｏｌｖｉｎｇ ｔ ｈｅ ｍｕｌｔｉ—ｓｃａｌｅ ｌｉｎｅａｒ ｅｌａｓｔｉｃｉｔｙ ｐｒｏｂｌｅｍｓ．Ｔｈｅ ｏｐｔｉｍａｌ ｅｒｒｏｒ ｅｓｔｉｍａｔｅ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｗｉｔｈｏｕｔ ａｎｙ ａｓｓｕｍｐｔｉｏｎ ｏｎ ｐｅｒｉｏｄｉｃｉｔｙ ｏｒ ｓｃａｌｅ ｓｅｐａｒａｔｉｏｎ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｌｉｎｅａｒ ｅｌａｓｔｉｃｉｔｙ；ｄｉｓｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ＦＥＭ ；ｌｏｃａｌｉｚｅｄ ｏｒｔｈｏｇｏｎａｌ ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ
和 正 交分 解 方法 【６。８】构 造相 应 的 多尺 度 算法 。
４ （ｘ）＝ ｆ谢（ ）＝ 枷（ｘ）， Ｖｉ， ，ｋ，，＝ｌ，２，
收稿 日期 ：２０１７－０５－２７：修 改 日期 ：２０１７－０９－１２ 基金项 目：江西省教育厅科技计划项 目【ＧＪＪ１６０７５８）：吉安市软科学计划项 目（吉市科计字［２０１２１３２－７）：井冈山大学博 ｔ：科研启动项 Ｉ￣（ＪＺＢ１１００２）：
井 冈Ｉｈ大学 自然 科 学研 究项 ￣（ＪＺＩＩＯ０１） 作者简介：余 涛（１９８３一），男，江西万安人，讲师，博士，主要从事多尺度建模及计算机图像研究（Ｅ－ｍａｉｌ：ｙｕｔａｏ￣ｊｇｓｕ．ｅｄｕ．ｃｎ）；
·欧 阳芬 （１９７３－），女 ，江 西吉 安 人 ，讲 师 ， 主要 从事 高等 数 学教 学研 究（Ｅ－ｍａｉｌ：７６４００４０５＠ ｑｑ．ｃｏｒｎ）．
ｊ—Ｖ’ （ ）； ，加Ｑ，
【ｕ ０，
Ｏｎ ２，
（１ｌ ） 异 质性 和 震 荡性 有 时可 能 出现 在 非周 期 的结 构上 。 近年来 出现 了许 多多尺度 方法去克服 经典有 限元
其 中 Ｕ＝（ ，Ｕ ）是 位 移 向量 ，体 力 ｆ＝（ ， ）∈ 求 解 的局 限 性 ，例 如 广 义有 限 元方 法 【ｌ】、异 质 多 尺
第 ３９卷 第 ｌ期 Ｖｏ１．３９ Ｎｏ．１ ２０１８年 １月 Ｊａｎ．２０２４－０３
井 冈 山大学 学报 （自然 科学 版） Ｊｏｕｒ ｎａｌ ｏｆ Ｊｉｎｇｇａｎｇｓｈａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ）
井 冈 山大 学 学 报 （自然 科 学 版 ）
２５
１ 多尺度 间断有 限元方法
如果惩罚因子 取的足够大，在能量范数 ｌＩＩ＾下双 线性 形式 （·，·）具 有强 制性 和有 界性 ：
记Ｔ是区域Ｑ的正则剖分，即ｆ ｉ＝Ｕ Ｋ。
６（ｎ）和 ￡（ｒ。）分 别 是 区 域 内 剖 分 单 元 边 界 和 Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ边 界 上剖 分单 元边 界 ， ￡＝ｓ（Ｑ）ｕ ８（ｒＤ）。 定义剖 分 上 的分 片线性 多 项式 空 间
Ｃｔ…Ｕ…： ａｈ（Ｕ，“），口＾（ ，Ｖ） …ｕ…＾…Ｖ…＾
下面 考虑 间断 有 限元空 间 的两 尺度 分解 。 记 ｎⅣ： （Ｑ）× （Ｑ） （ ）× （ ）是 空 间
空 间 。 对 于任 意 的区域 内部 单元 边 界 ｅ∈ｓ（Ｑ），存在
（ ） ｛Ｕ∈ （Ｑ）Ｉ Ｉ ∈Ｐ。（ ），ＵＩ ＝０，ＶＫ∈ ）， 其 中 尸 （ ）是 单 元 上 次 数 不 超 过 一 次 的 多 项 式
引理 ｌ【４】 当惩 罚 因子 仃取值 足 够 大时 ，存 在 不依赖于 网格 ｈ的正常数 ｃ 和 ｃ。，使得对任 意的
ｖ∈ 有 ：
，
关键 词：线性弹性 问题 ：间断有 限元方法 ；局部 正交 分解方法
中图分类号：０２４２．１
文献标识码 ：Ａ
ＤＯＩ：１０．３９６９￣．ｉｓｓｎ．１６７４－８０８５．２０１８．０１．００６
Ｍ 【 Ｉ Ｉ．ＳＣＡＬＥ ＤＩＳＣｏＮＴＩＮＵｏＵＳ ＦＥＭ ＦｏＲ ＬＩＮＥＡＲ ＥＬＡＳＴＩＣＩＴＹ
线性弹性 问题 的多尺度 间断有 限元方法
余 涛 ， 欧 阳芬
（井 冈山大 学数 理学 院 ，江 西 ，吉 安 ３４３００９）
摘 要 ：在 问断有 限元 方法的基础上 ，采用局部 正交分解方法构造 多尺度 基函数 ，进而得到求解线 性弹性 问题 的
多尺 度间断有限元方法 ，并且对 非周期及无尺度分 离情形给 出了最佳误 差估计 。
度方法［２。】等等。这些方法都是在小区域上求解原 问
（Ｑ）× （Ｑ）， 应 力 ＠）＝（ｃｒ ））。 『（２和 应 变 题 ，从而 通 过构 造 出 多尺度 基 函数或 宏 观 系数 去 修
）＝ ））。 脚 分 别 定 义如 下 ：
正宏 观尺 度 上 的求解 器 。但 是这 些方 法 都 依赖 于 系
１
ｏｒ（ｕ）＝Ａ：Ｐ（ ），Ｐ（ ）＝去（Ｖ ＋Ｖｕ
＝ （ （ ））ｌ ２是 ４阶弹性模量，并假设分量
数 具有 周 期 性或 尺度 分 离 的性 质 。 本 文 考 虑 不 具 有 周 期 性 或 尺 度 分 离 特 点 的 多
尺度线性弹性 问题 ，通过结合 间断有 限元方法 Ｉ４
４懈（ ）∈ （Ｑ）且满足对称性和正定有界性：
０ 引言
ａ（ｍ ：ｔ／／）２≤ｍ：Ａ：ｍ≤／３（ｍ：ｍ）２． Ｖ 对 称 ２阶 方 阵 ｍ。
考 虑 二维 有 界 多边 形 区域 Ｑ ｃ Ｒ 上 的 多 尺 度
该 问题 的多尺度信息体现 在弹性系数 具有
线性 弹 性 问题
结 构上 的 异质 性和 剧 烈变 化 性 。多尺 度 系数 的这 种
Ａ ｂｓｔｒａｃｔ：Ｗ ｅ ｄｅｖｅｌｏｐ ａ ｍ ｕｌｔｉ－ｓｃａｌｅ ｄｉｓｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ＦＥＭ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｌｏｃａｌｉｚｅｄ ｏｒｔｈｏｇｏｎａｌ ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｍｅｔ ｈ ｏｄ ｆｏｒ ｓｏｌｖｉｎｇ ｔ ｈｅ ｍｕｌｔｉ—ｓｃａｌｅ ｌｉｎｅａｒ ｅｌａｓｔｉｃｉｔｙ ｐｒｏｂｌｅｍｓ．Ｔｈｅ ｏｐｔｉｍａｌ ｅｒｒｏｒ ｅｓｔｉｍａｔｅ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｗｉｔｈｏｕｔ ａｎｙ ａｓｓｕｍｐｔｉｏｎ ｏｎ ｐｅｒｉｏｄｉｃｉｔｙ ｏｒ ｓｃａｌｅ ｓｅｐａｒａｔｉｏｎ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｌｉｎｅａｒ ｅｌａｓｔｉｃｉｔｙ；ｄｉｓｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ＦＥＭ ；ｌｏｃａｌｉｚｅｄ ｏｒｔｈｏｇｏｎａｌ ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ
和 正 交分 解 方法 【６。８】构 造相 应 的 多尺 度 算法 。
４ （ｘ）＝ ｆ谢（ ）＝ 枷（ｘ）， Ｖｉ， ，ｋ，，＝ｌ，２，
收稿 日期 ：２０１７－０５－２７：修 改 日期 ：２０１７－０９－１２ 基金项 目：江西省教育厅科技计划项 目【ＧＪＪ１６０７５８）：吉安市软科学计划项 目（吉市科计字［２０１２１３２－７）：井冈山大学博 ｔ：科研启动项 Ｉ￣（ＪＺＢ１１００２）：
井 冈Ｉｈ大学 自然 科 学研 究项 ￣（ＪＺＩＩＯ０１） 作者简介：余 涛（１９８３一），男，江西万安人，讲师，博士，主要从事多尺度建模及计算机图像研究（Ｅ－ｍａｉｌ：ｙｕｔａｏ￣ｊｇｓｕ．ｅｄｕ．ｃｎ）；
·欧 阳芬 （１９７３－），女 ，江 西吉 安 人 ，讲 师 ， 主要 从事 高等 数 学教 学研 究（Ｅ－ｍａｉｌ：７６４００４０５＠ ｑｑ．ｃｏｒｎ）．
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Ｏｎ ２，
（１ｌ ） 异 质性 和 震 荡性 有 时可 能 出现 在 非周 期 的结 构上 。 近年来 出现 了许 多多尺度 方法去克服 经典有 限元
其 中 Ｕ＝（ ，Ｕ ）是 位 移 向量 ，体 力 ｆ＝（ ， ）∈ 求 解 的局 限 性 ，例 如 广 义有 限 元方 法 【ｌ】、异 质 多 尺
第 ３９卷 第 ｌ期 Ｖｏ１．３９ Ｎｏ．１ ２０１８年 １月 Ｊａｎ．２０２４－０３
井 冈 山大学 学报 （自然 科学 版） Ｊｏｕｒ ｎａｌ ｏｆ Ｊｉｎｇｇａｎｇｓｈａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ）
井 冈 山大 学 学 报 （自然 科 学 版 ）
２５
１ 多尺度 间断有 限元方法
如果惩罚因子 取的足够大，在能量范数 ｌＩＩ＾下双 线性 形式 （·，·）具 有强 制性 和有 界性 ：
记Ｔ是区域Ｑ的正则剖分，即ｆ ｉ＝Ｕ Ｋ。
６（ｎ）和 ￡（ｒ。）分 别 是 区 域 内 剖 分 单 元 边 界 和 Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ边 界 上剖 分单 元边 界 ， ￡＝ｓ（Ｑ）ｕ ８（ｒＤ）。 定义剖 分 上 的分 片线性 多 项式 空 间
Ｃｔ…Ｕ…： ａｈ（Ｕ，“），口＾（ ，Ｖ） …ｕ…＾…Ｖ…＾
下面 考虑 间断 有 限元空 间 的两 尺度 分解 。 记 ｎⅣ： （Ｑ）× （Ｑ） （ ）× （ ）是 空 间
空 间 。 对 于任 意 的区域 内部 单元 边 界 ｅ∈ｓ（Ｑ），存在
（ ） ｛Ｕ∈ （Ｑ）Ｉ Ｉ ∈Ｐ。（ ），ＵＩ ＝０，ＶＫ∈ ）， 其 中 尸 （ ）是 单 元 上 次 数 不 超 过 一 次 的 多 项 式
引理 ｌ【４】 当惩 罚 因子 仃取值 足 够 大时 ，存 在 不依赖于 网格 ｈ的正常数 ｃ 和 ｃ。，使得对任 意的
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关键 词：线性弹性 问题 ：间断有 限元方法 ；局部 正交 分解方法
中图分类号：０２４２．１
文献标识码 ：Ａ
ＤＯＩ：１０．３９６９￣．ｉｓｓｎ．１６７４－８０８５．２０１８．０１．００６
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线性弹性 问题 的多尺度 间断有 限元方法
余 涛 ， 欧 阳芬
（井 冈山大 学数 理学 院 ，江 西 ，吉 安 ３４３００９）
摘 要 ：在 问断有 限元 方法的基础上 ，采用局部 正交分解方法构造 多尺度 基函数 ，进而得到求解线 性弹性 问题 的
多尺 度间断有限元方法 ，并且对 非周期及无尺度分 离情形给 出了最佳误 差估计 。
度方法［２。】等等。这些方法都是在小区域上求解原 问
（Ｑ）× （Ｑ）， 应 力 ＠）＝（ｃｒ ））。 『（２和 应 变 题 ，从而 通 过构 造 出 多尺度 基 函数或 宏 观 系数 去 修
）＝ ））。 脚 分 别 定 义如 下 ：
正宏 观尺 度 上 的求解 器 。但 是这 些方 法 都 依赖 于 系
１
ｏｒ（ｕ）＝Ａ：Ｐ（ ），Ｐ（ ）＝去（Ｖ ＋Ｖｕ
＝ （ （ ））ｌ ２是 ４阶弹性模量，并假设分量
数 具有 周 期 性或 尺度 分 离 的性 质 。 本 文 考 虑 不 具 有 周 期 性 或 尺 度 分 离 特 点 的 多
尺度线性弹性 问题 ，通过结合 间断有 限元方法 Ｉ４
４懈（ ）∈ （Ｑ）且满足对称性和正定有界性：
０ 引言
ａ（ｍ ：ｔ／／）２≤ｍ：Ａ：ｍ≤／３（ｍ：ｍ）２． Ｖ 对 称 ２阶 方 阵 ｍ。
考 虑 二维 有 界 多边 形 区域 Ｑ ｃ Ｒ 上 的 多 尺 度
该 问题 的多尺度信息体现 在弹性系数 具有
线性 弹 性 问题
结 构上 的 异质 性和 剧 烈变 化 性 。多尺 度 系数 的这 种