湘教版数学九年级上册同步课件：一元二次方程根与系数的关系
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第2章 一元二次方程
2.4 一元二次方程根与系数的关系
新课引入 例题讲授 课堂小结
获取新知 随堂演练
新课引入
一元二次方程
的根的值由方程的系数a，b，c
来决定，除此之外，根与系数之间还有什么关系呢？
（1）先解方程，再填表：
方程
x1
x2−2x=0
0
x2+3x−4=0 −4
x2−5x−6=0 6
x2
x1+x2
x1与 x2，则 x1＋x2＝___－__ba_____，x1·x2＝_____ac_____，这个
关系定理通常被称为韦达定理．
例题讲授 例1 根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程的两根x1，x2 的和与积：
（1）
（2）
（3）
解：（1）
（2）整理得：
（3）整理得：
例2 已知关于x的方程 一个根及q的值.
ax2+bx+c
时， 的
又 ax2+bx+c=
于是
.
根据七年级上册教科书2.5节关于两个多项式相等的规定， 得
即： 这表明，当
时，一元二次方程根与系数之间具有如下关系：
两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数； 两根的积等于常数项与二次项系数的比.
归纳总结 一元二次方程的根与系数的关系：
对于方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当Δ≥0时，设方程的两根为
（2）整理得：
2.已知方程
的一根为1，求它的另一个根及m的值。
解：设方程的另一个根为x2 ，则
解得 由根与系数之间的关系得 因此，方程的另一个根是
，解得m=16. ，m的值是16.
3.设 x1、x2是方程x2－4x+1=0的两个根，则 (1) x1+x2 = __4___ , x1x2 = ___1____， (2) x12+x22 = (x1+x2)2 - __2_x_1x_2___ = __1_4___, (3) (x1-x2)2 = (_x_1_+_x_2_)2 - 4x1x2 = ___1_2___.
x12 x22 x1x2
(x1 x2 )2 2x1x2 ; x1x2
4.(x1 1)(x2 1) x1x2 x1 x2 1
5. x1 x2 (x1 x2 )2 (x1 x2 )2 4x1x2 .
随堂演练 1.根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程的两根的和与积： （1） （2） 解： （1）
课堂小结
根与系数 的关系
内容 注意 应用
如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的两个x1根 x分2 别 ba是xx11、x2x2，ac那么
式子成立的前提条件是Δ≥0.
x12 x22 (x1 x2 )2 2x1x2
(x1 x2 )2 (x1 x2 )2 4x1x2
1 1 x1 x2
x12 x22
x1 x2
2 2x1 4
;
2 1
x1
1 x2
x1 x2 x1 x2
3 2
1 2
3.
归纳总结
常见的变形公式:
1. 1 1 x1 x2 ;
x1 x2
x1 x2
2. x12 x22 (x1 x2 )2 2x1x2;
3. x1 x2 x2 x1
x1∙ x2
2
2
0
1
−3
−4
−1
5
−6
由上表猜测：方程 x2+bx+c=0 的两个根为x1，x2，
则x1+x2= -b
， x1∙x2=
c
；
（2）方程
的两个根为x1= 2 x2= 3 ，
根据2.2节例8下面的一段话，得
2
3
对于方程
，当
该方程的根与他的系数之间有什么关系呢？
当
时，设
两个根为 x1，x2， 则：
x1 x2
x1 x2
的一个根为-3，求它的另
解：设方程的另一个根为x2 ，则
解得 由根与系数之间的关系得 因此，方程的另一个根是0， q的值为0.
例3 不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、倒数和.
解：根据根与系数的关系可知：
x1
x2
3, 2
x1
x2
1. 2
1∵ x1 x2 2 x12 2x1x2 x22,
2.4 一元二次方程根与系数的关系
新课引入 例题讲授 课堂小结
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新课引入
一元二次方程
的根的值由方程的系数a，b，c
来决定，除此之外，根与系数之间还有什么关系呢？
（1）先解方程，再填表：
方程
x1
x2−2x=0
0
x2+3x−4=0 −4
x2−5x−6=0 6
x2
x1+x2
x1与 x2，则 x1＋x2＝___－__ba_____，x1·x2＝_____ac_____，这个
关系定理通常被称为韦达定理．
例题讲授 例1 根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程的两根x1，x2 的和与积：
（1）
（2）
（3）
解：（1）
（2）整理得：
（3）整理得：
例2 已知关于x的方程 一个根及q的值.
ax2+bx+c
时， 的
又 ax2+bx+c=
于是
.
根据七年级上册教科书2.5节关于两个多项式相等的规定， 得
即： 这表明，当
时，一元二次方程根与系数之间具有如下关系：
两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数； 两根的积等于常数项与二次项系数的比.
归纳总结 一元二次方程的根与系数的关系：
对于方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当Δ≥0时，设方程的两根为
（2）整理得：
2.已知方程
的一根为1，求它的另一个根及m的值。
解：设方程的另一个根为x2 ，则
解得 由根与系数之间的关系得 因此，方程的另一个根是
，解得m=16. ，m的值是16.
3.设 x1、x2是方程x2－4x+1=0的两个根，则 (1) x1+x2 = __4___ , x1x2 = ___1____， (2) x12+x22 = (x1+x2)2 - __2_x_1x_2___ = __1_4___, (3) (x1-x2)2 = (_x_1_+_x_2_)2 - 4x1x2 = ___1_2___.
x12 x22 x1x2
(x1 x2 )2 2x1x2 ; x1x2
4.(x1 1)(x2 1) x1x2 x1 x2 1
5. x1 x2 (x1 x2 )2 (x1 x2 )2 4x1x2 .
随堂演练 1.根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程的两根的和与积： （1） （2） 解： （1）
课堂小结
根与系数 的关系
内容 注意 应用
如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的两个x1根 x分2 别 ba是xx11、x2x2，ac那么
式子成立的前提条件是Δ≥0.
x12 x22 (x1 x2 )2 2x1x2
(x1 x2 )2 (x1 x2 )2 4x1x2
1 1 x1 x2
x12 x22
x1 x2
2 2x1 4
;
2 1
x1
1 x2
x1 x2 x1 x2
3 2
1 2
3.
归纳总结
常见的变形公式:
1. 1 1 x1 x2 ;
x1 x2
x1 x2
2. x12 x22 (x1 x2 )2 2x1x2;
3. x1 x2 x2 x1
x1∙ x2
2
2
0
1
−3
−4
−1
5
−6
由上表猜测：方程 x2+bx+c=0 的两个根为x1，x2，
则x1+x2= -b
， x1∙x2=
c
；
（2）方程
的两个根为x1= 2 x2= 3 ，
根据2.2节例8下面的一段话，得
2
3
对于方程
，当
该方程的根与他的系数之间有什么关系呢？
当
时，设
两个根为 x1，x2， 则：
x1 x2
x1 x2
的一个根为-3，求它的另
解：设方程的另一个根为x2 ，则
解得 由根与系数之间的关系得 因此，方程的另一个根是0， q的值为0.
例3 不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、倒数和.
解：根据根与系数的关系可知：
x1
x2
3, 2
x1
x2
1. 2
1∵ x1 x2 2 x12 2x1x2 x22,