江苏省连云港市2021届高三下学期高考考前一模数学试题解析

绝密★启用前
2021年数学考前模拟试题（一）
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上
一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 设集合{}0,1,3,5,6,8U =，{}3,5,8A =，{}2B =，则(
)U
A B =（ ）
A. {}0,1,2,6
B. {}0,3,6
C. {}1,2,5,8
D. ∅
答案：A
已知全集U 、集合A ，利用集合的补运算求U
A ，再应用集合的并运算求()U A
B ⋃即可.
由题设知：{0,1,6}U
A =，而{}2
B =，
∴
(
){0,1,2,6}U
A B =.
故选：A. 2. 已知ππ
(,)22
α∈-，且3cos 28sin 5αα-=，则cos α的值为（ ）
A. 13-
B.
13
答案：C
根据余弦的倍角公式，得到23sin 4sin 10αα++=，求得1
sin 3α=-，结合三角函数的基本关系式，即可求解.
由3cos 28sin 5αα-=，可得23sin 4sin 10αα++=，解得1sin 3
α=-或sin 1α=-，
因为ππ(,)22α∈-，所以1sin 3α=-，可得cos 3
α==故选：C.
3. 设,a b 均为单位向量，则“cos ,0a b 〈〉<”是“2a b a b -=+”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
答案：B
由222
2a b a b a b -=+-⋅，222
244a b a b a b +=++⋅，
当cos ,0a b 〈〉<时，a b -与2a b +不一定相等，即充分性不一定成立；
反之：由2a b a b -=+，可得22
2a b a b -=+，即2222
244a b a b a b a b +-⋅=++⋅，
可得2
211022
a b a a ⋅=-=-<，所以cos ,0a b 〈〉<成立，即必要性成立.
所以“cos ,0a b 〈〉<”是“2a b a b -=+”的必要而不充分条件. 故选：B.
4. 攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖如图属重檐四角攒尖，它的上层轮廓可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，则此正四棱锥的底面边长与内切球半径比为（ ）
A.
2 B. 22
C.
3 D. 23
答案：D
画出上层轮廓近似正四棱锥示意图，设2AB BC CD DA a ====，由正四棱锥中内切球球心与各面的关系可得
OF PO
O E PE
='，结合已知面积比求PE ，进而求得PO '，即可求内切球半径r ，最后可求正四棱锥的底面边长与内切球半径比.
上层轮廓近似正四棱锥如下图示，若O '为底面中心，O 为内切球球心，OF ⊥面PCD 且E 为CD 中点，令内切球半径为r ，2AB BC CD DA a ====，
∵正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，
∴42PCD
ABCD S
S =，即1
422
PE CD AD CD ⨯⨯⨯=⨯，故2PE a =，则PO '=，
又∵
OF PO O E PE ='，即r a =，
∴3
r =
，故正四棱锥的底面边长与内切球半径比为:CD r =故选：D
点评：关键点点睛：依据正四棱锥中内切球的性质，得到相关线段的比例关系，设底面边长及内切球半径，进而确定它们之间的数量关系. 5. 要得到函数()sin 23f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图象，则（ ） A. 可将函数cos 2y x =的图象向右平移6
π
个单位得到 B. 可将函数sin 2y x =的图象向左平移3
π
个单位得到
C. 可将函数cos 6y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
的图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来
1
2
倍得到 D. 可将函数sin 3y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象纵坐标不变，横坐标扩大到原来2倍得到
答案：C
对于A 选项由于函数名不同，需要利用诱导公式变成同名函数，然后根据四种基本图象变换可以直接得出结果；对于C 选项也是函数名不同，可以先根据四种基本图象变换，再利用诱导公式变成同名函数判断是否一样即可；对于B 、D 选项函数名相同，则可以直接利用四种基本函数图象变换得出结果.
对于A 选项：cos 2sin 22y x x π⎛
⎫
==+ ⎪⎝
⎭
变换后sin 262y x ππ⎡⎤
⎛⎫=-
+ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
sin 26x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭()f x ≠，故A 错误；
对于B 选项：sin 2y x =变换后sin 23y x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭2sin 23x π⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
()f x ≠，故B 错误； 对于C 选项：cos 6y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
变换后cos 26y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭sin 23x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
()f x =，故C 正确； 对于D 选项：sin y x π⎛
⎫
=+
⎪变换后1
sin y x π⎛⎫=+
⎪()f x ≠，故D 错误.
故选：C.
点评：对于函数名不同的函数，可以先利用诱导公式变成同名函数再根据四种基本图象变换进行变换，也可以先根据四种基本图象变换进行变换再结合诱导公式判断是否一致即可；对于同名函数则可根据四种基本图象变换直接得结果.
6.
已知4n
x ⎛
- ⎝
()*
n ∈N 展开式中所有项的系数的和为243
）
A. -160
B. 160
C. -640
D. 640
答案：A
令1x =，由展开式中所有项的系数和为243，列出方程并求出n 的值，再由展开式的通项公式可得答案.
由展开式中所有项的系数和为243, 令1x =,可得()44123n
-=，解得5n =，
则5
4x ⎛ ⎝展开式的通项公式为()()1355522
155414r
r
r r r r r r T C x x C x ----+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭
，
当31522
r -
=时，解得3r =
()3533514160C --=-． 故选：A ．
7. 高压10kV 输电线路电压损失估算口诀：架空铝线十千伏，电压损失百分数；输距电流积六折，再被导线截面除；输距千米电流安，截面毫方记清楚．其意义为“对于高压10kV 的架空铝线，若输电线路的输距为x km ，电流为y A ，导线截面为z 2mm ，则电压损失百分数0.6%%xy
U z
=
．”据此可知，对于一条长度为10km ，高压为10kV 的输电线路，若当导线截面为502mm ，电流为
30A 时的电压损失百分数为1%U ，当导线截面为402mm ，电流为35A 时的电压损失百分数为
2%U ，则
1
2
U U =（ ） A. 4021
B.
3524 C.
24
35
D. 2140
答案：C
根据高压输电线路电压损失估算口诀公式，直接代入数据，计算结果. 本题考查高压输电线路电压损失估算口诀
应用，由题知，10.6103018
%%%505
U ⨯⨯=
=，
20.6103521
%%%404
U ⨯⨯==，所以121824521354
U U ==．
故选：C ．
8. 设实数0λ>，若对任意()0,x ∈+∞，不等式
ln 0x
x e λλ
-≥恒成立，
则λ的取值范围是（ ） A. 1
0e
λ<≤
B. 01e λ<≤-
C. 0e λ<≤
D. 20e λ<≤
答案：C 令()ln x
e f x x λλ
=
-，根据二阶导数的符号判断()'f x 的单调性，由零点存在性定理易知
0(0,)x ∃∈+∞使0()0f x '=，此时00x x e λ=，进而讨论()f x 的单调性可知0()()f x f x ≥，要使题
设不等式恒成立，即0
00()ln ln 0x e f x x λλ
=
--≥成立，构造0000
1
()2ln g x x x x =
--利用导数研究其单调性确定0()0g x ≥的区间，进而求λ的范围. 令()ln x
e f x x λλ
=
-，只需要()0,x ∈+∞上()0f x ≥恒成立，
∵1
()x
e f x x λ'=
-且0λ>， ∴21
()0x
e f x x
λ
''=
+
>，即()'f x 在()0,x ∈+∞上单调递增， ∵0lim ()x
f x +
→'=-∞，lim ()x f x →+∞'=+∞， ∴0(0,)x ∃∈+∞，使0()0f x '=，即00x
x e λ=，
∴0(0,)x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；0(,)x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增； 故只需0
000()()ln ln ln 0x x e e f x f x x x λλλ
λ
≥=
-=
--≥，令0000
1
()2ln g x x x x =
--， ∴200
1
()(
1)0g x x '=-+<，故0()g x 在0(0,)x ∈+∞上递减，而(1)0g =， ∴0(0,1]x ∈时，0()0g x ≥恒成立，可知00(0,]x
x e e λ=∈.
点评：关键点点睛：利用导数研究()f x 的单调性并确定极小值点范围，根据0()0f x '=有
0x x e λ=，结合0()()f x f x ≥构造新函数，求0()0f x ≥成立时0x 的区间，进而求参数范围.
二、多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求．全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 医用口罩面体分为内、中、外三层，内层为亲肤材质，中层为隔离过滤层，外层为特殊材料抑菌层.根据国家质量监督检验标准，医用口罩的过滤率是重要的指标，根据长期生产经验，某企业在生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率（ ）
()2~0.94,0.01x N ，（(22)0.954P x μσμσ-<≤+=，(33)0.997P x μσμσ-<≤+=，
1000.99850.86≈）
A. (0.9)0.5P x ≤<
B. (0.4)( 1.5)P x P x <<>
C. (0.96)0.023P x >=
D. 假设生产状态正常，记X 表示抽取的100只口罩中过滤率大于3μσ+的数量，则
(1)0.14P X ≥≈
答案：ACD
利用正态分布的对称性，结合其三段区间概率值即可判断A 、B 、C 的正误，由题设求(3)P x μσ>+、
(3)P x μσ≤+，而(1)1(0)P X P X ≥=-=结合二项分布概率公式即可求值，进而判断D 的正误.
A ：(0.9)(0.94)0.5P x P x ≤<≤=，正确；
B ：因为(0.4)(0.94)(0.40.94)P x P x P x <=≤-≤≤且( 1.5)(0.38)P x P x >=<，则
( 1.5)(0.94)(0.380.94)P x P x P x >=≤-≤≤，显然(0.4)( 1.5)P x P x <>>，错误；
C ：10.954
(0.96)(0.940.02)(2)0.0232
P x P x P x μσ->=>+=>+==，正确； D
：
10.997
(3)0.00152
P x μσ->+=
=，则(3)1(3)10.00150.9985
P x P x μσμσ≤+=->+=-=，
由
100(1)1(0)10.998510.860.14P X P X ≥=-==-≈-=.
10. 函数()f x 的定义域为R ，且()f x 与(1)f x +都为奇函数，则（ ） A. (1)f x -为奇函数 B. ()f x 为周期函数 C. (3)f x +为奇函数 D. (2)f x +为偶函数
答案：ABC
由题设可得(1)(1)f x f x -=--，进而可得(1)(1)f x f x -=+、()(2)f x f x =+，即可判断A 、B 、D 的正误，又(1)(3)f x f x +=+可判断C 的正误.
由题意知：(1)(1)0f x f x --++=且(1)(1)0f x f x -+++=， ∴(1)(1)f x f x -=--，即(1)(1)f x f x -=+，可得()(2)f x f x =+，
∴()f x 是周期为2的函数，且(1)f x -、(2)f x +为奇函数，故A 、B 正确，D 错误； 由上知：(1)(3)f x f x +=+，即(3)f x +为奇函数，C 正确. 故选：ABC.
11. 早在古巴比伦时期，人们就会解一元二次方程.16世纪上半叶，数学家们得到了一元三次方程、
一元四次方程的解法.研究过程中得到一个代数基本定理：任何一元n ()
*
n N ∈次复系数多项式方
程()0f x =至少有一个复数根请借助代数基本定理解决下面问题：设实系数一元四次方程
4320ax bx cx dx e ++++=(0)a ≠，在复数集C 内的根为1x ，2x ，3x ，4x ，则下列结论正确的
是（ ）
A. 1234b x x x x a
+++=-
B. 123124134234c x x x x x x x x x x x x a
+++=-
C. 1234e x x x x a
=
D. 121314232434d x x x x x x x x x x x x a
+++++= 答案：AC
由2
341243()()()()a x x ax bx cx dx e x x x x x x ---++-++=，并展开右式即可判断各选项的正
由题设知：2
341243()()()()a x x ax bx cx dx e x x x x x x ---++-++=， ∴2
2
124
3
2
123434[()][()]a x x x x ax bx cx dx x x x x x e x x x -+++++=+-++， ∴
432ax bx cx dx e ++++=
43212341213231424341231241342341234[()()()]a x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -+++++++++-++++，
∴
1234b x x x x a
+++=-
，
121323142434c x x x x x x x x x x x x a
+++++=
，
123124134234d x x x x x x x x x x x x a +++=-
，1234e x x x x a
=. 故选：AC
12. 已知正四棱柱1111ABCD A BC D -的底面边长为2，侧棱11AA =，P 为上底面1111D C B A 上的动点，给出下列四个结论中正确结论为（ ） A. 若3PD =，则满足条件的P 点有且只有一个 B. 若3PD =，则点P 的轨迹是一段圆弧 C. 若PD ∥平面1ACB ，则DP 长的最小值为2
D. 若PD ∥平面1ACB ，且3PD =，则平面BDP 截正四棱柱1111ABCD A BC D -的外接球所得平面图形的面积为94
π
答案：ABD
若3PD =，由于P 与1B 重合时3PD =，此时P 点唯一；()31
3PD =∈，，则12PD =，即点P 的轨迹是一段圆弧；当P 为11AC 中点时，DP 有最小值为3=，可判断C ；平面BDP 截正四棱
柱1111ABCD A BC D -的外接球所得平面图形为外接球的大圆，其半径为3
2
=，可得D . 如图：
∵正四棱柱1111ABCD A BC D -的底面边长为2， ∴1122B D =，又侧棱11AA =， ∴()
2
212213DB =
+=，则P 与1B 重合时3PD =，此时P 点唯一，故A 正确；
∵()313PD =∈，，11DD =，则12PD =，即点P 的轨迹是一段圆弧，故B 正确； 连接1DA ，1DC ，可得平面11//A
DC 平面1ACB ，则当P 为11AC 中点时，DP 有最小值为()
2
2213+=，故C 错误；
由C 知，平面BDP 即为平面11BDD B ，平面BDP 截正四棱柱1111ABCD A BC D -的外接球所得平面图形为外接球的大圆，其半径为22213
22122++=，面积为94
π，故D 正确． 故选：ABD ．
点评：本题考查了立体几何综合，考查了学生空间想象，逻辑推理，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.
三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13. 正三棱台上下底面棱长分别为3和6，侧棱长为2，则正三棱台的体积为______. 答案：
213
将正三棱台补全为三棱锥，有正三棱台的体积P A B C P ABC V V V '''--=-，即可求体积. 如下图，正三棱台ABC A B C '''-，将其补全为三棱锥P A B C '''-，PO 为其高，
∴正三棱台的体积P A B C P ABC V V V '''--=-，由题设易知4,33,7PC A D PD ''=== ∴设PO x =2271633x x --=，即三棱锥P A B C '''-的高2PO =，故P ABC -的
∴1111266sin 60133sin 6032324
V =
⨯⨯⨯⨯⨯︒-⨯⨯⨯⨯⨯︒=
.
14. 圆锥曲线有丰富的光学性质，从椭圆焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过另一个焦点；从抛物线焦点发出的光线，经过抛物线上一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.已
知椭圆C ：22
221x y a b
+=(0)a b >>过点(3,1).由点(2,1)P 发出的平行于x 轴的光线经过抛物线
1C ：216y x =反射到椭圆C 上后，反射光线经点(4,0)-，则椭圆C 的方程为______.
答案：22
1182
x y +=
根据抛物线与椭圆的光学性质易知，由(2,1)P 发出的平行于x 轴的光线经过抛物线1C 反射必过
(4,0)，又由椭圆C 反射过(4,0)-，且两点关于y 轴对称，即它们为椭圆焦点，进而可求椭圆方程
的参数，写出椭圆方程.
由题设知：抛物线1C :216y x =的焦点为(4,0)，
∴由(2,1)P 发出的平行于x 轴的光线经过抛物线1C 反射必过(4,0)，再经过椭圆C 反射经过
(4,0)-，可知：(4,0)、(4,0)-为椭圆C 的两个焦点，
∴4c =，而(3,1)在椭圆C 上，
∴222291116
a b a b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩
，可得2
2182a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即椭圆方程为22
1182x y +=.
故答案为：22
1182
x y +=
15. 如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，24BC AB AD ==，3
DAB π
∠=，点E 是AB 的中点，
则cos DEC ∠=______.
答案：
21 令244BC AB AD ===，根据已知条件易知△AED 为等边三角形，2π
3
EBC
，连接BD ，则△DBC 、△ADB 都是直角三角形且3BD =，进而求2ED 、2DC 、2EC ，在△DEC 中应用余弦定理求cos DEC ∠即可.
令244BC AB AD ===，则1AD AE BE ===，又3
DAB π
∠=，//AD BC ，
∴△AED 为等边三角形，2π
3
EBC
，连接BD ，易知△DBC 、△ADB 都是直角三角形且3BD =，
∴综上，有21ED =，22219DC BD BC =+=，2222cos 21EC BE BC BE BC EBC =+-⋅⋅∠=，
∴在△DEC 中，22221cos 2ED EC DC DEC ED EC +-∠==
⋅. 21
16. 格点是指平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点.一格点沿坐标线到原点的最短路程为该点到原点的“格点距离”（如：(2,1)P -，则点P 到原点的格点距离为213+=）.格点距离为定值的点的轨迹称为“格点圆”，该定值称为格点圆的半径，而每一条最短路程称为一条半径.当格点半径为6时，格点圆的半径有______条（用数字作答）. 答案：252
由题设，易知格点圆上的格点都在||||6x y +=上，其中每个象限有5个，且相互关于x 、y 轴或
原点对称，分析可得每个格点半径条数为||
||||x x y C +，进而可求所有格点的半径条数. 设格点为(,)x y ，格点半径为6，则||||6x y +=， ∴对应格点圆图象如下，每条边上有(不含端点)5个格点，
以第一象限为例，格点有(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)，其中(1,5)的半径有6条，(2,4)的半径有15条，(3,3)的半径有20条，(4,2)的半径有15条，(5,1)的半径有6条， ∴共有62条，即对于任意格点，其半径条数有||
||||x x y C +条，
∴由上，四个象限共有1
2
3
4
5
666664()248C C C C C ⨯++++=条半径，另外数轴上有
(6,0),(0,6),(6,0),(0,6)--四个点，半径共有0
644C =条，
综上，格点半径为6时，格点圆的半径有2484252+=条. 故答案为：252.
点评：关键点点睛：画出格点圆的图象，确定各象限中格点坐标，分析格点半径条数与坐标值之间的关系，应用对称性求格点圆半径总条数即可.
四、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11
2
a =，且1n n S a +=. （1）证明：数列{}n a 是等比数列；
（2）设2log n n b a =，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T .
答案：（1）证明见解析；（2）2
22n n
n T +=
-. （1）利用n a 、n S 的关系，结合已知条件可得12=0n n a a --，由等比数列的定义即可证{}n a 是等比数列；
（2）由（1）写出{}n n a b ⋅的通项公式，利用错位相减法求{}n n a b ⋅的前n 项和n T . （1）∵+=1n n S a ，则11+=1n n S a --（2n ≥） ∴12=0n n a a --，即12n n a a -=，又1a =1
02
≠ ∴
11
2n n a a -=，故数列{n a }是以12为首项，12
为公比的等比数列 （2）由（1）知：1
()2
n n
a ，则n
b =2log n a n =-， ∴1()2n n n a b n ⋅=-⋅，有231111
(123)2222
n n T n =-⨯+⨯+⨯++⨯，
∴2341111111
(123(1))222222
n n n T n n +=-⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯， ∴两式相减，可得：211111()22222n n n n
T +=-++++，则112(1)22
n n n T ++=--，
∴2
22
n n n T +=-.
18. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a b c <<，现有三个条件：①a ，
b ，
c 为连续自然数；②2c a =；③2C A =.
（1）从上述三个条件中选出两个，使得△ABC 不存在，并说明理由；
（2）从上述三个条件中选出两个，使得△ABC 存在，并求△ABC 的面积（写出一组作答即可） 答案：（1
）选②③时三角形不存在，理由见解析；（2），选①③. （1）选②③时三角形不存在，由2C A =有sin 2sin cos C A A =，结合正弦定理知cos 2c A a
=，再由2c a =有cos 1A =，根据三角形内角的性质可知此时△ABC 不存在.
（2）选①②或①③时三角形存在，由①得1,2b a c a =+=+，当选②：则联立2c a =即可求,,a b c ；当选③：有sin 2sin cos C A A =，结合正弦定理有2
cos 2a A
a
，而由余弦定理有
5
cos 2(2)
a A a +=
+，即可求,,a b c ；应用余弦定理求cos A ，即可得sin A ，再由三角形面积公式求
面积；
（1）选②③时三角形不存在，理由如下： 在△ABC 中，由正弦定理得：
sin sin a c
A C
=， 由2C A =，则sin 2sin cos C A A =，即cos 2c
A a
=，又2c a =， ∴cos 1A =，而(0,)A π∈，此时A 不存在， ∴△ABC 不存
．
（2）选①②时三角形存在：
∵a ，b ，c 为连续自然数，a b c <<， ∴1,2b a c a =+=+，又2c a =， ∴22a a +=．得2,3,4a b c ===，
在△ABC 中，由余弦定理得：2227
cos 28
b c a A bc +-==．
∴sin A ==，则1sin 2ABC
S bc A ==
选①③时三角形存在：
∵a ，b ，c 为连续自然数，a b c <<， ∴1,2b a c a =+=+，
在△ABC 中，由余弦定理得：222222(1)(2)5
cos 22(1)(2)2(2)
b c a a a a a A bc a a a +-+++-+===+++，
由正弦定理得
sin sin a c
A C
=，又2C A =，即sin 2sin cos C A A =， ∴2
cos 22c a A a a
+=
=，则有522(2)2a a a a ++=+，得4,5,6a b c ===．
∴2223cos 24
b c a A bc +-==．故sin A ==
1sin 24
ABC
S bc A ==
. 点评：关键点点睛：
（1）选②③由题设易知sin 2sin cos C A A =，结合正弦定理和三角形内角性质，得到矛盾结论，即可证三角形不存在.
（2）根据所选的条件，综合应用正余弦定理求a ，b ，c ，最后由余弦定理及同角三角函数平方关系求sin A ，结合三角形面积公式求面积.
19. 2020年以来，新冠病毒疫情肆虐全球我国在抗击新冠肺炎疫情中取得了世界瞩目的成绩，为
其他国家提供了大量的医疗经验和防控措施.根据疫情防控需要现在要对某地区的n ()
*
n N ∈份
样本进行核酸检验，检测过程中每个样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式：①逐份检验，则需要检验n 次；②混合检验，将其中k （*k N ∈且2k ≥）份样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，这k 份的样本全为阴性，因而这k 份样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k 份样本究竟哪几份为阳性，就要对这k 份样本再逐份检验，此时这k 份样本的检验次数总共为1k +次.假设在接受检验的样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p (01)p <<.
（1）假设有10份样本，其中只有2份样本为阳性，现采用逐份检验方式对每一份样本进行检测，求经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；
（2）现取其中k （*k N ∈且2k ≥）份样本，
每份样本是阳性结果的概率1p =-
记采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为X ，求X 的概率分布列及数学期望；并说明采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望比逐份检验的总次数期望少的k 的最大值是多少? （参考数据：ln 20.6931≈，ln 3 1.0986≈，ln 5 1.6094≈，ln 7 1.9459≈.） 答案：（1）
2
45
；（2）分布列见解析，()1(1)k E X k k p =+--，k 的最大值是8. （1）10份样本只有2份样本为阳性，经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来，则最后一次检验出的是阳性，前两次一阴一阳，检验的可能组合有1
1
2
282C C A 种，而所有检验的可能组合有3
10A 种，即可求概率.
（2）由混合检验方式知{1,1}X k =+，而每份为阳性的概率为p ，即可写出分布列，进而求期望；由混合检验方式的总次数的期望比逐份检验的总次数期望少则()E X k <，即有ln 4
k
k >，构造()ln 4
x
f x x =-
应用导数研究单调性，找到()0f x >的自变量区间，进而确定k 的最大值. （1）设恰好经过3次检验能把阳性样本全部检验出来为事件A ，
∴P (A )＝1122823
10
C C A A ＝245，即恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率为2
45． （2）由已知，X 的所有可能取值为1，1k +． ∴(1)(1)k P X p ==-，(1)1(1)k P X k p =+=--， 故分布列为
X 1 1k +
P
(1)k p - 1(1)k p --
∴()(1)(1)[1(1)]1(1)k k k E X p k p k k p =-++--=+--，
若采用混合检验方式检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值少，则()E X k <，得
1
(1)k p k
<-， ∵41p e
=-
， ∴41()k k e <，即ln 4k k >，设()ln 4x f x x =-(0)x >，则11()4
f x x '=-， ∴当4x >时，()0f x '<，即()f x 在(4,)+∞上单调递减， ∵8ln 83ln 2 2.079324=≈>=，又9
ln 92ln 3 2.1972 2.254
=≈<=， ∴k 的最大值为8．
点评：关键点点睛：第二问，由题设确定{1,1}X k =+，利用独立事件乘法公式求可能值的概率，写出分布列并求期望，由期望值的大小关系，确定不等式关系，由此构造函数并应用导数研究单调性求参数的最值.
20. 如图，四棱锥P ABCD -的底面是平行四边形，PD AB ⊥，AC BD =.
（1）证明：平面PAD ⊥平面ABCD ；
（2）若26AD AB ==，32PA PD ==PD 上确定一点M ，使得平面PAB 与平面
MAC 所成锐二面角的余弦值为
15
5
. 答案：（1）证明见解析；（2）点M 在靠近点D 的三等分点处时，面PAB 与面MAC 所成锐二面角
的余弦值为
155
. （1）由题意易得AB ⊥AD ，根据线面垂直的判定有AB ⊥平面PAD ，由面面垂直的判定即可证平面PAD ⊥平面ABCD .
（2）构建{}
,,AB AD Az 对应x 、y 、z 轴正方向的空间直角坐标系A xyz -，根据已知线段的长度，标注A 、B 、C 、D 、P 的坐标，进而得到AC ，AP ，PD 的坐标，设1
PD MD λ
=
可得M 坐标，进
而确定面PAB 、面MAC 的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示结合其余弦值，列方程求λ，即可确定点M 的位置.
（1）∵四边形ABCD 为平行四边形，且AC ＝BD ，
∴四边形ABCD 为矩形，即AB ⊥AD ．又AB ⊥PD ， AD ∩PD ＝D ， ∴AB ⊥平面PAD ，又AB ⊂平面ABCD ， ∴平面PAD ⊥平面ABCD .
（2）由（1）知：在平面PAD 内过点A 作AE ⊥AD ，则AE ⊥平面ABCD ，以{}
,,AB AD Az 为正交基底建立空间直角坐标系A xyz -如图所示，
则A (0,0,0)，B (3,0,0)，C (3,6,0)，D (0,6,0)，P (0,3,3)， ∴(3,6,0)AC =，(0,3,3)AP =，(0,3,3)PD =-， 设1
PD MD λ
=
，则(0,63,3)M λλ-，可得(0,63,3)AM λλ=-，
∵0AP PD ⋅=，
∴AP ⊥PD ，又AB ⊥PD ，AP ∩AB ＝A ，
∴PD ⊥平面PAB ，则(0,3,3)PD =-是平面PAB 的一个法向量，
设面MAC 的一个法向量为(,,)n x y z =，则00
n AM n AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即(63)30360y z x y λλ-+=⎧⎨+=⎩，令1y =-，有
2(2,1,
)n λ
λ
-=-，
∴15cos ,PD n PD n PD n
⋅=
=
⋅，则29610λλ-+=，解得1
3
λ=，即3PD MD =. 点M 在靠近点D 的三等分点处. 点评：关键点点睛：
（1）由矩形性质证线线垂直，根据线面垂直、面面垂直的判定证明面面垂直. （2）构建空间直角坐标系，设1
PD MD λ
=
得到含参的M 点坐标，由二面角的余弦值，结合平面
法向量夹角的坐标表示，列方程求参数，进而确定M 点的位置.
21. 已知双曲线2
2
12
y x -=，斜率为k (0)k ≠的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A ，B 两
点.
（1）若直线l 过(0,1)P ，且3PB AP =，求直线l 的斜率k . （2）若线段AB
的
垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为
9
2
，求k 的取值范围. 答案：（1）1；（2）,2)(,0)(0,(22)(2,)-∞--+∞
（1）设11()A x y ，，22()B x y ，，由题知3PB AP →
→
=，从而求得21
2
1343x x y y =-⎧⎨=-⎩，代入双曲线方程，
解得11x =-，10y =，从而求得斜率k .
（2）设直线l 的方程为y kx m =+，与双曲线联立，求得韦达定理，及有2个交点时，判别式大于0,满足的k ，m 间的关系；并写出直线l 的垂直平分线方程，分别求得在x ，y 轴上的截距，求得围成的面积，从而求得k ，m 间的关系，代入上式中，解得k 的取值范围. 解：（1）设11()A x y ，，22()B x y ，，
因为3BP AP =，所以3PB AP →
→
=，即2211(,1)3(,1)x y x y -=--， 所以21
2
1343x x y y =-⎧⎨
=-⎩，
所以22
112
211
12(43)(3)1
2y x y x ⎧-=⎪⎪⎨-⎪--=⎪⎩
，所以11x =-，10y =，即(10)A -，，
所以10
11
AP k k -===. （2）设直线l
的
方程为y kx m =+（0k ≠）．
由2212y kx m
y x =+⎧⎪
⎨-=⎪⎩，整理得222(2)220k x kmx m ----=．
则12222km x x k +=-，2122
2
2m x x k
--=- 因为直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A ，B 两点
于是22k -≠0，且222(2)4(2)(2)0km k m ∆=-+-+>． 整理得2220m k +->．
设线段AB 的中点坐标00(,)x y ，则120222x x km x k +=
=-，00
2
22m
y kx m k =+=-． 所以AB 的垂直平分线方程为2221()22m km
y x k k k -=----． 此直线与x 轴，y 轴的交点坐标分别为23(,0)2km k -，2
3(0,)2m
k -． 由题可得22
1339||||2222km m k k ⋅=--．整理得222
(2)||
k m k -=，0k ≠． 所以可得
22
2(2)20||
k k k -+->，整理得22(2)(||2)0k k k --->，0k ≠．
解得0||k <或||2k >． 所以k 的取值范围是,2)
(,0)(0,(22)(2,)-∞--+∞．
点评：关键点点睛：设方程，联立圆锥曲线方程，求得韦达定理，可以表示出两个交点间的关系，从而在下面条件转化中可以代入，化简求解，本题中有2个交点，应满足判别式大于0，从而参数
k 的取值范围.
22. 已知函数2()ln f x x x =，()(2)g x a x a =-+()a R ∈. （1）证明：2()f x x x ≥-；
（2）若方程()()0f x g x +=有两个不等实根，求a 的取值范围. 答案：（1）证明见解析；（2）(0,1). （1）由分析法可知要证结论只需证1ln 1x x ≥-
在(0,)x ∈+∞上恒成立，构造1()ln (1)h x x x
=--，
利用导数研究单调性确定()0h x ≥恒成立，结论即得证. （2）题设可得2(2)ln 0a a x x x -+
+=在(0,)+∞内有两个不等实根，构造2(2)()ln a a
x x x x
ϕ-=++，应用导数并讨论0a ≤、0a >时函数的单调性，结合零点存在性定理确定区间零点的个数，进而求得参数的范围.
（1）(0,)x ∈+∞上，要证2()f x x x ≥-，只需证明22ln x x x x -≥，即证1
ln 1x x
≥-， 令1()ln (1)h x x x
=--，则22111()x h x x x x
-'=
-=， ∴在(0,1)上()0h x '<，()h x 单调递减；在(1,)+∞上()0h x '>，()h x 单调递增； ∴()(1)0h x h ≥=，即1
ln 1x x
≥-
成立，故2()f x x x ≥-，得证. （2）∵方程()()0f x g x +=有两个不等实根，
∴2ln (2)0x x a x a +-+=在(0,)+∞内有两个不等实根，即2(2)ln 0a a
x x x
-++=在(0,)+∞内有两个不等实根，
令2(2)()ln a a x x x x
ϕ-=++，则223331(2)2(2)2(2)()
()=a a x a x a x x a x x x x x x ϕ----+-'=-
-=， ①当0a ≤时，()0x ϕ'>恒成立，即()ϕx 在(0,)+∞单调递增， 此时2(2)ln 0a a
x x x
-+
+=在(0,)+∞内至多有1个实根，不符合题意； ②当0a >时，()ϕx 在(0,)a 单调递减，在(,)a +∞单调递增， 所以max 1
()()ln a x a a a
ϕϕ-==+， ∵方程2(2)ln 0a a
x x x -+
+=在(0,)+∞内有两个不等实根， ∴1
()ln 0a a a a
ϕ-=+<，故01a <<，
此时22222()ln 0a a e ae e a
e e e e e ϕ-+-+=++=>，1()ln 0a a a a
ϕ-=+< ∴()ϕx 在(,)a e 上有一个零点，由（1）知：1
ln 1x x
≥-， 即22(2)1(2)()ln 1+a a a a
x x x x x x x
ϕ--=++-+≥
∴()()22
+3x a x a
x x
ϕ-+>
，令
()22
+30x a x a
x -+=，得x =
取0x =
()()0x x ϕϕ=≥，又1()ln 0a a a a ϕ-=+<
∴()ϕx 在(0,)a 上有一个零点，
综上，实数a 的取值范围是01a <<.
点评：关键点点睛：
（1）由分析法知只需证1ln 1x x ≥-
在(0,)x ∈+∞上恒成立，构造函数并应用导数研究单调性，进而求证恒成立.
（2）将问题转化为2(2)ln 0a a x x x
-++=在(0,)+∞内有两个不等实根，构造函数，分类讨论的方法结合导数研究函数的单调性判断零点所在的区间，注意根据零点存在性定理判断区间零点的个数.。