2015高考数学一轮课件：9-6椭圆

诊突培断破养基高解础频题知考能
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2．椭圆的标准方程和几何性质
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范 围 －a≤x≤a －b≤y≤b
－b≤x≤b －a≤y≤a
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点来自性 顶点 质轴焦距
离心率
A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－b)，B2(0，b)
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[感悟·提升] 1．一点提醒 椭圆定义中的常数必须大于|F1F2|，如(1)、(2)． 2．两个防范 一是注意椭圆的离心率反映了椭圆的扁平程度，离
心率越大，椭圆就越扁；离心率越小，椭圆就越圆，如(3)； 二是注意椭圆方程的焦点位置是在 x 轴上还是 y 轴上，当 a＞b ＞0 时，方程ax22＋by22＝1 的焦点在 x 轴上；当 b＞a＞0 时，方程 ax22＋by22＝1 的焦点在 y 轴上，如(7)．
(×) (2)动点P到两定点A(0，－2)，B(0,2)的距离之和为4，则点 P的轨迹是椭圆．
(×)
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2．对椭圆的几何性质的理解
(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．
(×)
(4)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．
(√)
(5)(教材习题改编)椭圆1x62 ＋y82＝1的离心率为
A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0)
长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
|F1F2|＝2c
e＝ ∈(0,1)
a，b，c 的关系
c2＝a2－b2
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辨析感悟 1．对椭圆定义的认识
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨 迹是椭圆．
第6讲 椭 圆
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知识梳理 1．椭圆的定义
(1)第一定义：平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数 (大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个 定点叫做椭圆的焦点， 两个 焦的点距离叫做焦距． (2)第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的比 是常数 e (0<e<1)的动点的轨迹是椭圆，定点F叫做椭圆的焦点， 定直线l叫做焦点F相应的准线，根据椭圆的对称性，椭圆有两 个焦点和两条准线．
解析 设椭圆方程为ax22＋by22＝1(a>b>0)，由e＝ 22知ac＝ 22，故ba22 ＝12. 由于△ABF2的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝ (|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a＝16， 故a＝4.∴b2＝8. ∴椭圆C的方程为1x62 ＋y82＝1. 答案 1x62 ＋y82＝1
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法二 因为所求椭圆与椭圆2y52 ＋x92＝1的焦点相同，所以其焦点 在y轴上，且c2＝25－9＝16. 设它的标准方程为ay22＋bx22＝1(a>b>0)． 因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.① 又点( 3，－ 5)在所求椭圆上， 所以－a252＋ b322＝1，即a52＋b32＝1.② 由①②得b2＝4，a2＝20， 所以所求椭圆的标准方程为2y02 ＋x42＝1.
又 e＝cos∠F1F2A，所以 e 的 取值范围是12，1. (2)证明 由(1)知 mn＝43b2，
∴S△PF1F2＝12mnsin 60°＝ 33b2，
即△PF1F2 的面积只与短轴长有关．
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规律方法 (1)椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦
点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余
弦定理、|PF1|＋|PF2|＝2a，得到a，c的关系． (2)椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或
离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式e＝ac； ②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－
c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转
化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范
围)．
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【训练2】 (1)(2013·四川卷改编)从椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)上一点P 向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的 交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原 点)，则该椭圆的离心率是________． (2)(2012·安徽卷)如图，F1，F2 分别是椭圆C：ax22＋by22＝1(a>b>0) 的左、右焦点，A是椭圆C的顶点， B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2＝60°. 且△AF1B的面积为40 3，则a＝________，b＝________.
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规律方法 (1)一般地，解决与到焦点的距离有关问题时，首先 应考虑用定义来解决． (2)求椭圆的标准方程有两种方法 ①定义法：根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置 可写出椭圆方程． ②待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程， 结合已知条件求出a，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点 在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2 ＝1(A>0，B>0，A≠B)．
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解析 (1)左焦点为F1(－c,0)，PF1⊥x轴， 当x＝－c时，ac22＋yb2P2＝1⇒yP2 ＝b21－ac22＝ba42⇒yP＝ba2(负值不合题 意，已舍去)，点P－c，ba2， 由斜率公式得kAB＝－ba，kOP＝－abc2.
(2)由题意，设直线m的方程为y＝kx＋3，A(x1，y1)， B(x2，y2)． ∵A是PB的中点， ∴x1＝x22，
① y1＝3＋2 y2.
②
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又x421＋y321＝1， ③
x422＋y322＝1， ④
联立①，②，③，④解得xy22＝ ＝20， 或xy22＝ ＝－ 0，2， 即点B的坐标为(2,0)或(－2,0)， 所以，直线m的斜率为－32或32.
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法二 设|AB|＝t(t>0)．
因为|AF2|＝a，所以|BF2|＝t－a. 由椭圆定义|BF1|＋|BF2|＝2a可知，|BF1|＝3a－t， 再由余弦定理(3a－t)2＝a2＋t2－2atcos 60°可得，t＝85a.
2 2.
(√)
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3．椭圆的方程 (6)若椭圆x42＋yk2＝1的焦点坐标是F1(－ 2，0)，F2( 2，0)， 则k＝2. (√) (7)(2013·广东卷改编)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为 F(1,0)，离心率等于12，则C的方程是x32＋y42＝1. (×)
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解 (1)设M到直线l的距离为d，根据题意，d＝2|MN|. 由此得|4－x|＝2 x－12＋y2， 化简得x42＋y32＝1， 所以，动点M的轨迹方程为 x42＋y32＝1.
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它到点 N(1,0)的距离的 2 倍． (1)求动点 M 的轨迹 C 的方程； (2)过点 P(0,3)的直线 m 与轨迹 C 交于 A，B 两点．若 A 是 PB 的中点，求直线 m 的斜率． 审题路线 (1)根据题意列出等式⇒坐标化⇒整理可得动点 M 的轨迹方程． (2)设直线 m 的方程，交点 A，B 的坐标 由 A 是 PB 的中点得出 A，B 两点坐标间的关系⇒又点 A，B 在点 M 的轨迹上⇒联立方程组解得 A 或 B 点坐标⇒根据斜率 公式求 k.
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考点二 椭圆的几何性质
【例2】 已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点， ∠F1PF2＝60°. (1)求椭圆离心率的范围； (2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．
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考点一 椭圆定义及标准方程 【例1】 (1)设F1，F2分别是椭圆2x52 ＋1y62 ＝1的左、右焦点，P为椭
圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点 的距离为________． (2)求过点( 3，－ 5)，且与椭圆2y52 ＋x92＝1有相同焦点的椭 圆的标准方程．
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(1)解析 由题意知，在△PF1F2中， |OM|＝12|PF2|＝3， ∴|PF2|＝6，∴|PF1|＝2a－|PF2|＝10－6＝4. 答案 4
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(2)解 法一 椭圆2y52 ＋x92＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c＝4.由 椭圆的定义知， 2a＝ 3－02＋－ 5＋42＋ 3－02＋－ 5－42， 解得a＝2 5.由c2＝a2－b2可得b2＝4. 所以所求椭圆的标准方程为2y02 ＋x42＝1.
由S△AF1B＝12a·85a·23＝253a2＝40 3知，
a＝10，b＝5 3.
答案
2 (1) 2
(2)10
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考点三 直线与椭圆的位置关系 【例 3】 (2013·陕西卷)已知动点 M(x，y)到直线 l：x＝4 的距离是
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【训练1】 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点 F1，F2在x轴上，离心率为 22.过F1的直线l交C于A，B两点， 且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为______．
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第十四页，编辑于星期五：十三点 二十八分。
(1)解 法一 设椭圆方程为ax22＋by22＝1(a＞b＞0)， |PF1|＝m，|PF2|＝n，则 m＋n＝2a. 在△PF1F2 中，由余弦定理可知， 4c2＝m2＋n2－2mncos 60°＝(m＋n)2－3mn ＝4a2－3mn≥4a2－3·m＋2 n2＝4a2－3a2＝a2(当且仅当 m＝n 时取 等号)．∴ac22≥14，即 e≥12. 又 0＜e＜1，∴e 的取值范围是12，1.
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法二 如图所示，设 O 是椭圆的中心，A 是椭圆短轴上的一个顶
点，由于∠F1PF2＝60°，则只需满足 60°≤∠F1AF2 即可， 又△F1AF2 是等腰三角形，且|AF1|＝|AF2|，所以 0°＜∠F1F2A≤60°， 所以12≤cos∠F1F2A＜1，
∵AB∥OP，∴kAB＝kOP⇒－ba＝－abc2⇒b＝c.
∵a2＝b2＋c2＝2c2，
∴ac22＝12⇒e＝ac＝
2 2.
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第二十一页，编辑于星期五：十三点 二十八分。
(2)法一 a2＝4c2，b2＝3c2，直线AB的方程为y＝－ 3(x－c)， 将其代入椭圆方程3x2＋4y2＝12c2，得B85c，－35 3c， 所以|AB|＝ 1＋3·85c－0＝156c. 由S△AF1B＝12|AF1|·|AB|·sin∠F1AB＝12a·156c·23＝253a2＝40 3， 解得a＝10，b＝5 3.