高中数学基本不等式知识点总结归纳及总结复习计划练试题

高中数学根本不等式的巧用
a ＋b
1．根本不等式： ab≤
2
(1)根本不等式成立的条件：
a ＞0，
b ＞0.
(2)等号成立的条件：当且仅当 a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式
2＋b 2
≥2ab(a，b∈R )；(2)b ＋a ≥2(a，b 同号)；(3)ab≤a ＋b2
，
∈ R ) ；
(1)a
ab
2 (ab
(4)
a 2＋
b 2
≥ a ＋b2
(a ，b∈R )．
2 2
3．算术平均数与几何平均数 a ＋b
设a ＞0，b ＞0，那么a ，b 的算术平均数为 2 ，几何平均数为 ab ，根本不等式可表达为两个 正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数． 4．利用根本不等式求最值问题 x ＞0，y ＞0，那么
(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2
p.(简记：积定和最小)
p 2
(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是4.(简记：和定积最大) 一个技巧 运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如
a 2＋
b 2
≥2ab 逆用就是
2＋b 2
a ＋ b
＋ b 2 ab≤ a
a
2 ； 2≥ ab(a ，b ＞0)逆用就是ab≤
(a ，b ＞0)等．还要注意“添、拆项〞
2
技巧和公式等号成立的条件等．
两个变形
a 2
＋b 2
a ＋
b 2
≥ab(a，b∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)；
(1) 2 ≥ 2
2＋b 2
＋ a
ab
(2)
2 ≥2 ≥ab≥121(a ＞0，b ＞0，当且仅当a ＝b 时取等号)．
a ＋b
这两个不等式链用处很大，注意掌握它们． 三个注意
(1)使用根本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提
“一正、二定、三相等 〞的忽
数学
视．要利用根本不等式求最值，这三个条件缺一不可．
(2)在运用根本不等式时，要特别注意“拆〞“拼〞“凑〞等技巧，使其满足根本不等式中“正〞“定〞“等〞的条件．
(3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．
应用一：求最值
例1：求以下函数的值域
211
〔1〕y＝3x＋2x2〔2〕y＝x＋x
解题技巧：
技巧一：凑项
例1：x 5
，求函数y4x21的最大值。

44x5
技巧二：凑系数
例1.当时，求y x(82x)的最大值。

技巧三：别离
x27x10
1)的值域。

例3.求y
x1
(x。

技巧四：换元
技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，假设遇等号取不到的情况，应结合函数f(x)
a
的单调性。

x
x
例：求函数y x25的值域。

x24
练习．求以下函数的最小值，并求取得最小值时，x的值.
〔1〕y x23x 1
,(x0)〔2〕y2x1,x3(3)y2sinx
1
,x(0,)
x x3sinx
2．0x1，求函数y x(1x)的最大值.；3．0x 2yx(23x)
的最大值.，求函数
3
条件求最值
1.假设实数满足a b2，那么3a3b的最小值是.变式：假设
log4x log4y2，求
11
x 的最小值.并求x,y的值
y
技巧六：整体代换：屡次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否那么就会出错。

2：x0,y0，且1
91，求x y的最小值。

x y
数学
变式：〔1〕假设x,y R且2x y1，求11
的最小值x y
(2)a,b,x,y R且a
b1，求x y的最小值x y
技巧七、x，y为正实数，且x2＋y
2＝1，求x1＋y2的最大值.
2
1
技巧八：a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝ab的最小值.技巧九、取平方
5、，为正实数，3＋2＝10，求函数＝3
x ＋2的最值.
xy x y W y
应用二：利用根本不等式证明不等式
1．a,b,c为两两不相等的实数，求证：a2b2c2ab bc ca 1〕正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc
例6：a、b、c R，且a b c1。

求证：1111118
a b c
应用三：根本不等式与恒成立问题
例：x 0,y 0且19
1，求使不等式x y m恒成立的实数m的取值范围。

x y
应用四：均值定理在比较大小中的应用：例：假设ab1,Plgalgb,Q 1
(lgalgb),R lg(
ab
)，那么P,Q,R的大小关系是. 22
2121
解：〔1〕y＝3x＋2x2≥23x·2x2＝6∴值域为[6，+∞〕
11
＝2；
〔2〕当x＞0时，y＝x＋≥2x·
x x
111
当x＜0时，y＝x＋x=－〔－x－x〕≤－2x·x=－2∴值域为〔－∞，－2]∪[2，+∞〕
数学
解：因4x
1
不是常数，所以对4x2要进行拆、凑项，50，所以首先要“调整〞符号，又(4x2)
4x5
5
,54x0
，1
54x
1
231
x y4x23 44x554x
当且仅当54x1，即x1时，上式等号成立，故当x1时，
y max1。

4x
5
评注：此题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。

解析：由知，，利用根本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。

注意到2x(8 2x) 8为定值，故只需将y x(8 2x)凑上一个系数即可。

当，即x＝2时取等号当x＝2时，y x(8 2x)的最大值为8。

评注：此题无法直接运用根本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用根本不等式求最大值。

解析一：此题看似无法运用根本不等式，不妨将分子配方凑出含有〔x＋1〕的项，再将其别离。

当,即时,y2〔x1)
459〔当且仅当x＝1时取“＝〞号〕
1
x
解析二：此题看似无法运用根本不等式，可先换元，令t=＋1，化简原式在别离求最值。

x
y2〕
=
t2
5t4t45
(t1)7(t1+10
t t t
当,即t=时,y2t 4
59〔当t=2即x＝1时取“＝〞号〕。

t
评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最
值。

即化为y mg x
)
BA
0,
B()
恒正或恒负的形式，然后运用根本不等式来求最值。

(A(0)，gx
g(x)
解：令x24t(t2)，那么y x25
x24
1
t
1
(t2) x24x24t
因t0,t11，但t1解得t1不在区间2,，故等号不成立，考虑单调性。

t t
因为y t 1
在区间1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故y
5
t。

2
所以，所求函数的值域为5,。

2
分析：“和〞到“积〞是一个缩小的过程，而且3a3b定值，因此考虑利用均值定理求最小值，
解：3a和3b都是正数，3a3b≥23a3b23a b6
当3a3b时等号成立，由a b2及3a3b得a b1即当ab1时，3a3b的最小值是6．数学
错解：x0,y0，且1
9
1，xy
19
xy2
9
2xy12
故xy
min12。

．．x y x y xy
错因：解法中两次连用根本不等式，在xy2xy等号成立条件是x y，在1
92
9
等号成立x y xy
条件是1
9即y9x,取等号的条件的不一致，产生错误。

因此，在利用根本不等式处理问题时，列出x y
等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。

正解：x0,y0,1
91
，
xy xy19y
9x
1061016 x y x y x y
当且仅当y
9x
19
y min16时，上式等号成立，又1，可得x4,y12时，x。

x y x y
分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式≤a2＋b2。

ab
2
22
121＋y21y2同时还应化简1＋y中y前面的系数为2，x1＋y＝x2·2＝2x·2＋2 1y2
下面将x，＋分别看成两个因式：
22
2
1y222y21
x·1y2x＋(2
＋
2
)
x＋2＋23
即x1＋y
2
＝2·x
1y23 2
＋
2≤2＝2＝42
＋
2≤4
2
分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或根本不等式求解，对此题来说，这种途径是可行的；二是直接用根本不等式，对此题来说，因条
件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用根本不等式放缩后，再通过解不等式
的途径进行。

30－2b30－2b－2b2＋30b
法一：a＝＋1，ab＝＋1·b＝
b ＋1
b b
由a＞0得，0＜b＜15
－2t2＋34t－31161616令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝t＝－2〔t＋t〕＋34∵t＋t≥2t·t＝8
1
∴ab≤18∴y≥18当且仅当t＝4，即b＝3，a＝6时，等号成立。

法二：由得：30－ab＝a＋2b∵a＋2b≥22ab∴30－ab≥22ab
令u＝ab 那么u2
＋22u－30≤0，－52≤u≤32
1
∴ab≤32，ab≤18，∴y≥18
点评：①此题考查不等式ab ab〔
a,b R 〕
2的应用、不等式的解法及运算能力；②如何由不等
式
ab a2b
〔
a,b R
〕
30出发求得ab的范围，关键是寻找到ab与ab之间的关系，由此想到不等
式a
b ab〔〕ab的不等式，进而解得ab的范围.
a,bR，这样将条件转换为含
2
数学
变式：1.a >0，b >0，ab －(a ＋b )＝1，求a ＋b 的最小值。

2.假设直角三角形周长为 1，求它的面积最大值。

a ＋
b a 2＋b 2
解法一：假设利用算术平均与平方平均之间的不等关系， ≤ ，此题很简单
2 2
3x ＋ 2y ≤ 2 〔 3x 〕2＋〔 2y 〕2＝ 2 3x ＋2y ＝2 5
解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用根本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值〞条件靠拢。

2
2y ≤10＋(3x )
2 ·(2y ) 2
＝10＋(3x ＋2y )＝20
W ＞0，W ＝3x ＋2y ＋23x ·2y ＝10＋23x ·
∴≤20＝25
W
变式: 求函数y
2x 1
52x(
1
x
5
)的最大值。

2
2
解析：注意到2x 1与 5 2x 的和为定值。

y 2 (2x1
5 2x)2
42(2x1)(52x)4(2x1)(52x)8
又y 0，所以0
y 2 2
当且仅当
2x 1=5 2x ，即x
3
时取等号。

故y
max
2 2。

2
评注：此题将解析式两边平方构造出“和为定值〞，为利用根本不等式创造了条件。

总之，我们利用根本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等〞，同时还要注意一些变形技巧，积
极创造条件利用根本不等式。

分析：不等式右边数字
8，使我们联想到左边因式分别使用根本不等式可得三个“
2〞连乘，又
1 1 1 ab c 2
bc
，可由此变形入手。

a a a
a
解：
a 、
b 、
c R ，a b c 1。

1 1 1 abc
2
bc 。

同理1 1 2ac ，11 2ab 。

a a a
a
b b
c
c
上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得
1 1
11
1 1
2bc2 ac 2ab 8。

当且仅当a
b c 1
时取等号。

a
b c
a
b c
3
解：令x y
k,x
0,y0,
1
9 1， xy9x 9y
1. 10 y
9x 1
x
y kx ky
k kx ky
1 10 23。

k 16 ，m
,16
k k
分析：∵a
b 1
∴lga
0,lgb
Q
1 lgb)
lga lgb
p
〔lga
2
R a b lg
ab
1
Q ∴RQP 。

lg(
)
lgab
>>
2
2
数学。