学案8：1.5.1 曲边梯形的面积~1.5.2 汽车行驶的路程

1.5.1 曲边梯形的面积~1.5.2 汽车行驶的路程
问题导学
一、曲边梯形面积的计算 活动与探究1
求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0及曲线y ＝x 2＋2x 所围成的图形的面积S ．
迁移与应用
用曲边梯形面积的计算方法求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0及直线y ＝3x 所围成图形的面积． 名师点津
(1)求曲边梯形的面积时要按照分割—近似代替—求和—取极值这四个步骤进行．
(2)近似代替时，可以用每个区间的右端点的函数值代替，也可用每个区间的左端点的函数值代替．
(3)求和时要用到一些常见的求和公式，例如：1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)
2
，12＋22＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)6等．
二、汽车行驶路程的计算问题 活动与探究2
一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，汽车在时刻t 的速度为v (t )＝1
2t 2(单位：km/h)，试计算
这辆汽车在0≤t ≤2(单位：h)这段时间内汽车行驶的路程s (单位：km)．
迁移与应用
某物体在笔直的道路上做变速直线运动，设该物体在时刻t 的速度为v (t )＝7－t 2，试计算这个物体在0≤t ≤1这段时间内运动的路程s ． 名师点津
把变速直线运动的路程问题化归为求匀速直线运动的问题，采用方法仍然是分割、近似代替、求和、取极限，求变速直线运动的路程和曲边梯形的面积，虽然它们的意义不同，但都可以归纳为求一个特定形式和的极限，通过这样的背景问题，能更好体会后面所要学习的定积分的概念．
当堂检测
1．在求由抛物线y＝x2与直线x＝2，y＝0所围成的平面图形的面积时，把区间[0,2]等分成n个小区间，则第i个区间为()
A．
1
,
i i
n n
-
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
B．
1
,
i i
n n
+
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
C．
2(1)2
,
i i
n n
-
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
D．
22(1)
,
i i
n n
+
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
2．下列关于函数f(x)＝x2在区间
1
,
i i
n n
-
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
的端点处的函数值的说法正确的是()
A．f(x)的值变化很小
B．f(x)的值变化很大
C．f(x)的值不变化
D．当n很大时，f(x)的值变化很小
3．在求由x＝a，x＝b(a＜b)，y＝f(x)(f(x)≥0)及y＝0围成的曲边梯形的面积S时，在区间[a，b]上等间隔地插入n－1个分点，分别过这些分点作x轴的垂线，把曲边形分成n个小曲边形，下列说法中正确的个数是()
①n个小曲边形的面积和等于S
②n个小曲边形的面积和小于S
③n个小曲边形的面积和大于S
④n个小曲边形的面积和与S之间的大小关系无法确定
A．1 B．2 C．3 D．4
4．求由抛物线f(x)＝x2，直线x＝0，x＝1以及x轴所围成的平面图形的面积时，若将区间[0,1]5等分，如图所示，以小区间中点的纵坐标为高，所有小矩形的面积之和为__________．
5．求直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线y＝x2所围成的曲边梯形的面积．
参考答案
活动与探究1解：(1)分割：
在区间[0,1]上等间隔地插入n －1个点，将它等分为n 个小区间：⎣⎡⎦⎤0，1n ，⎣⎡⎦⎤1n ，2n ，⎣⎡⎦⎤2n ，3n ，…，⎣⎡⎦⎤n －1n ，1，记第i 个区间为⎣⎡⎦
⎤i －1n ，i n (i ＝1,2，…，n )，其长度为Δx ＝i n －i －1n ＝1n ．
分别过上述n －1个分点作x 轴的垂线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形(如图)，它们的面积记作：ΔS 1，ΔS 2，…，ΔS n ，则小曲边梯形面积的和为1
n
i
i S S ==
∆∑．
(2)近似代替：
记f (x )＝x 2+2x ，当n 很大，即Δx 很小时，在区间1,i i n n -⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上，可以认为f (x )的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨用i f n ⎛⎫
⎪⎝⎭
来近似地作为f (x )在该区间上的函数值．从图形上看就是用平行于x 轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边，这样在区间1,i i n n -⎡⎤
⎢
⎥⎣
⎦上，用小矩形的面积ΔS i ′近似地代替ΔS i ，则有ΔS i ≈ΔS i ′＝2
12i i i f x n n n n ⎡⎤⎛⎫
⎛⎫⋅∆=+⋅⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
． (3)求和：
小曲边梯形的面积和1
1
'n n
n i
i
i i S S S ===
∆≈∆∑∑
2
112n
i i i n n n =⎡⎤⎛⎫=+⋅⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑
＝1n ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫12n 2＋22
n 2＋…＋n 2n 2＋2⎝⎛⎭⎫1n ＋2n ＋…＋n n ＝(n ＋1)(2n ＋1)6n 2＋n ＋1n
＝1
6⎝⎛⎭⎫1＋1n ⎝⎛⎭⎫2＋1n ＋⎝⎛⎭⎫1＋1n ． (4)取极限
分别将区间[0,1]等分成8,16,20，…等份时，S n 越来越趋向于S ，从而有 S ＝lim n →∞
S n ＝lim n →∞
⎣
⎡ 1
6⎝⎛⎭⎫1＋1n ⎝⎛⎭
⎫2＋1n ＋
⎦⎤⎝⎛⎭⎫1＋1n ＝43
．
即由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0及曲线y ＝x 2＋2x 所围成的图形的面积等于4
3．
迁移与应用 解：(1)分割：把区间[0,1]等分成n 个小区间⎣⎡
⎦⎤
i －1n ，i n (i ＝1,2，…，n )，
其长度为Δx ＝1
n ．把梯形分成n 个小梯形，其面积记为ΔS i (i ＝1,2，…，n )．
(2)近似代替：用小矩形面积近似代替小梯形面积． ΔS i ＝f ⎝⎛
⎭
⎫
i －1n Δx ＝3·i －1n ·1n
＝3
n 2(i －1)(i ＝1，2，…，n )． (3)求和：∑i ＝1n
ΔS i ＝∑i ＝1n
3
n 2(i －1)
＝3
n 2[1＋2＋…＋(n －1)] ＝32·n －1n ＝32⎝⎛⎭⎫1－1n ． (4)取极限：S ＝lim n →∞∑i ＝1n
3
n 2(i －1)
＝lim n →∞3
2⎝⎛⎭⎫1－1n ＝32． 故所求面积等于3
2
．
活动与探究2 解：(1)分割：在区间[0,2]上等间隔地插入n －1个分点，将区间分成n 个小区间：⎣⎡⎦⎤0，2n ，⎣⎡⎦⎤2n ，4n ，…，⎣⎡⎦⎤2(n －1)n ，2n n ，记第i 个小区间为⎣⎡⎦⎤2(i －1)n ，2i n (i ＝1，2，…，n )，Δt ＝2n ，则汽车在时间段⎣⎡⎦⎤0，2n ，⎣⎡⎦⎤2n ，4n ，…，⎣⎡⎦⎤2(n －1)n ，2n n 上行驶的路程分别记作Δs 1，Δs 2，Δs 3，…，Δs n ，有s n ＝∑n
i ＝1Δs i ． (2)近似代替：取ξi ＝2i
n (i ＝1,2，…，n )．
∴Δs i ≈v ⎝⎛⎭⎫2i n ·Δt ＝12·⎝⎛⎭⎫2i n 2
·Δt ＝12·4i 2n 2·2n ＝4n 3·i 2
(i ＝1,2，…，n )． (3)求和：∑i ＝1
n
Δs i ＝∑i ＝1
n
⎝⎛⎭⎫
4n 3·i 2
＝4
n
3(12＋22＋32＋…＋n 2)
＝4n 3·n (n ＋1)(2n ＋1)6 ＝2
3⎝
⎛⎭⎫1＋1n ⎝⎛⎭⎫2＋1n ． (4)取极限：s ＝lim n →∞
s n ＝43．
故这段时间内汽车行驶的路程s 为4
3
km ．
迁移与应用 解：将区间[0,1]n 等分，得到n 个小区间：⎣⎡⎦⎤0，1n ，⎣⎡⎦⎤1n ，2n ，…，⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n ，…，⎣⎡⎦⎤n －1n
，n n ．
取ξi ＝i n (i ＝1,2，…，n )，则物体在每个时间段内运动的路程Δs i ≈v (ξi )·Δt ＝1n ⎝⎛
⎭⎫7－i 2n 2，i ＝1，
2，…，n ．
s n ＝∑i ＝1
n
Δs i ＝1n ⎝⎛
⎭⎫7－1n 2＋7－22n 2＋…＋7－n 2n 2
＝1
n ⎣⎡⎦⎤7n －n (n ＋1)(2n ＋1)6n 2 ＝7－1
6⎝⎛⎭⎫1＋1n ⎝
⎛⎭⎫2＋1n ． 于是s ＝lim n →∞s n ＝lim n →∞⎣⎡⎦⎤7－16⎝⎛⎭⎫1＋1n ⎝⎛⎭⎫2＋1n ＝20
3． 所以这个物体在0≤t ≤1这段时间内运动的路程为20
3．
当堂检测 1．【答案】C
【解析】每个小区间的长度是2n ，所以左端点是0＋(i －1)×2n ＝2(1)i n -，右端点是2i
n
． 2．【答案】D 3．【答案】A
【解析】只有说法①是正确的，其余均错． 4．【答案】0.33
【解析】由题意得S ＝(0.12＋0.32＋0.52＋0.72＋0.92)×0.2＝0.33． 5．解：令f (x )＝x 2． (1)分割：
将区间[0,2]n 等分，分点依次为
x 0＝0，12x n =
，24x n =，…，x n －1＝2(1)n n
-，x n ＝2． 第i 个区间为222,i i n
n -⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦(i ＝1,2，…，n ), 每个区间长度为Δx ＝2222i i n n n --=． (2)近似代替、求和： 取ξi ＝
2i
n
(i ＝1,2，…，n )， 2
2
31112228n
n
n n i i i i i S f x i n n n n ===⎛⎫⎛⎫=⋅∆=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
∑∑∑
＝
38n
(12＋22
＋…＋n 2) 3
8(1)(21)
6n n n n ++=
⋅ ＝
2431(2)3n n
++． (3)取极限lim n n S →∞
＝lim
n →∞
24318233n n ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，即所求曲边梯形的面积为8
3
．。