苏科版 九下 6.5相似三角形的性质同步课时训练(word版含答案)

6.5相似三角形的性质同步课时训练
一、单选题
1．如图，A、B是双曲线
k
y
x
=上的两个点，过点A作AC x
⊥轴，垂足为C，AC
交OB于点D，D为OB的中点．若ODC
△的面积为1．则k的值为（）
A．3
4
B．2 C．4 D．8
2．已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠ADE＝90°，如图所示放置，边AE，AD与BC交于点M，N．则图中一定相似的三角形有（）对．
A．2 B．3 C．4 D．5
3．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE：CE＝2：3，连结AE，BD 交于点F，则S△DEF：S△ADF：S△ABF等于（）
A．2：3：5 B．4：9：25 C．4：10：25 D．2：5：25 4．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，AF平分∠DAE，EF⊥AE，则CF等于（）
A．2
3
B．1 C．
3
2
D．2
5．如图，在△ABC中，EF//BC，
1
2
AE
AB
=，S四边形BCFE=8，则S△ABC=（）.
A．9 B．10 C．12 D．13 6．如图，在等边ABC的,
AC BC边上各任取一点,P Q（均不与端点重合），且AP CQ
=，,
AQ BP相交于点O，若PC mAP
=，BO nOP
=，则（）
A．1
n m
=+B．2
n m m
=+C．
1
1
n
m
=
+
D．
2
1
n
m m
=
+
7．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB=6，BC=8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（）
A．48
5
B．
32
5
C．
24
5
D．
12
5
8．如图，在△ABC中，BC=3，点D为AC延长线上的一点，AC=3CD，过点D作DH// AB，交BC的延长线于点H，若∠CBD=∠A，则AB的长为（）
A．6 B．5 C．4 D．4.2
9．在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且DE∥BC，若AD＝2，DB＝3，则DE BC
＝（）
A．2
3
B．
3
5
C．
2
5
D．
4
9
10．如图，在△ABC中，AC＝4，D是AC上一点，AD＝1，M、N分别是BD、BC的
中点，若∠ABD＝∠ACB，则AM
AN
的值是（）
A ．14
B ．13
C ．12
D ．23
二、填空题
11．如图，将边长为8的正方形纸片ABCD 沿着EF 折叠，使点C 落在AB 边的中点M 处．点D 落在点D '处，MD '与AD 交于点G ，则△AMG 的内切圆半径的长为_____．
12．如图，在Rt ABC ∆，90ACB ∠=︒，6AB =，直线AB 经过原点O ，AC 交x 轴于点D ，:3:2CD AD =，若反比例函数k y x
=
经过A ，B 两点，则k 的值为___________．
13．如图，已知△ABC 的中线AD=4，将△ABC 沿AD 平移到△A′B′C′的位置，若△ABC 的面积为16，重叠部分三角形的面积9．则AA′等于______
14．如图，点A （0，1），点B （- ，0）
，作OA 1⊥AB ，垂足为A ，以OA 1为边做Rt △A 1OB 1，使∠A 1OB 1=90°，使∠B 1=30；作OA 2⊥A 1B 1，垂足为A 2，再以OA 2为边
作Rt△A2OB2,使∠A2OB2=90°，∠B2=30°，…，以同样的作法可得到Rt△A n OB n．则当n=2018时，点B2018纵坐标为________ ．
15．如图，D、E分别为ABC中AB、BC的中点，又F是BE的中点，若DCF的面积为63，则ABC的面积为___．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝5，D为AC的中点，过点A作AE∥BC，连接BE，∠EBD＝∠CBD，BD＝6.5，则BE的长为__．
三、解答题
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆O交BC于点D，交AC于点E，过点D作DF⊥AC，垂足为F．
（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）若过点A且与BC平行的直线交BE延长线于点G，连接CG，设⊙O半径为5．①当CF＝时，四边形ABCG是菱形；
②当BC＝ABCG的面积是．
18．如图，直线122
y x =+与y 轴交于A ，与x 轴交于B ，抛物线2y ax bx c =++与直线交于A ，E 两点，与x 轴交于C ，D 两点，且()1,0C ，()4,0D ．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点P 为线段CD 上一点，作PQ x ⊥轴交于AE 于Q ，当PQ EQ =时，求点P 的坐标．
（3）作EF CE ⊥交x 轴于F ，点G 是第四象限内抛物线上一点，若以C ，D ，G 为顶点的三角形与BEF ∆相似，求出点G 的坐标．
19．如图，直线l 交x 轴的负半轴于点A ，交y 轴的正半轴于点B ，且tan ∠BAO = 12，
与双曲线y =k x
（x >0）相交于点P ，PC ⊥x 轴于点C ，且PC =2，AB =
（1）求双曲线的解析式；
（2）若点Q 为双曲线上点P 右侧的一点，且QH ⊥x 轴于H ，当以点Q 、C 、H 为顶点的三角形与△AOB 相似时，求点Q 的坐标．
20．如图，∠ABD ＝∠BCD ＝90°，DB 平分∠ADC ，过点B 作BM //CD 交AD 于M ．连接CM 交DB 于N ．
（1）求证：BD 2＝AD •CD ．
（2）若CD ＝6，AD ＝8，求MC 的长．
参考答案1．D
2．C
3．C
4．C
5．A
6．B
7．C
8．A
9．C
10．C
11．4 3
12．13．1
14．
1010
2019 3
2
15．504
16．169 24
17．（1）见解析；（2）①5
2
；②100．
【详解】
解：（1）连接AD，OD，如图，∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，
∵△ABC是等腰三角形，
∴BD＝DC，
又∵AO＝BO，
∴OD∥AC，
∵DF ⊥AC ，
∴DF ⊥OD ，
∴DF 是⊙O 的切线；
（2）解：①∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ADB ＝90°，
∴AD ⊥BC ，
∵△ABC 是等腰三角形，
∴BD ＝DC ，
又∵AO ＝BO ＝
12AB ＝5， ∴AB ＝10，
若四边形ABCG 是菱形，
则BA ＝BC ，
∴△ABC 是等边三角形，
∴CD ＝12BC ＝12
AB ＝5，∠ACB ＝60°， ∵DF ⊥AC ，
∴CF ＝12CD ＝52
， ∴当CF ＝
52
时，四边形ABCG 是菱形； 故答案为：52； ②∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，
∴BD ＝12
BC ＝
∴AD
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠AEB ＝∠ADB ＝90°，
∴∠ADC ＝90°，
∵∠ACB ＝∠ACB ，
∴△ACD ∽△BCE ，
∴AC CD
BC CE =＝AD BE = ∴CE ＝4，BE ＝8，
∴AE ＝AC ﹣CE ＝6，
∵AG ∥BC ，
∴△AGE ∽△BCE ， ∴AE GE CE BE =，即648
EG =， ∴EG ＝12，
∴四边形ABCG 的面积＝S △ABC +S △ACG ＝
12×12
×10×12＝100． 故答案为：100．
18．（1）215222y x x =
-+；（2）172⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭；（3）()2,1-或()3,1-． 【详解】
解：（1）122
y x =+与y 轴交于A ，与x 轴交于B ， ∴令0y =，则2y =，即()0,2A ，
令0y =，则1202
x +=，解得4x =-，即()4,0B -， ∵抛物线2y ax bx c =++过()1,0C ，()4,0D ， ∴()()14y a x x =--，
将()0,2A 代入()()14y a x x =--得：
42a =， 解得12
a =，
∴()()()2141542y a x x x x =
---+=215222x x =-+， ∴抛物线解析式215222y x x =-+． （2）设P 点坐标为(),0m （14m ≤≤）， ∵PQ x ⊥轴，点Q 在直线122
y x =+上， ∴1,22Q m m ⎛
⎫+ ⎪⎝⎭
， ∴122
PQ m =+， 联立212215222y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩
， 整理得260x x -=，
10x =，26x =，
当6x =时，
16252
⨯+=， ∴()6,5E ， ∴()2
2216522EQ m m ⎛⎫=-+-- ⎪⎝⎭ 2213612934
m m m m =-++-+ 2515454
m m =-+，
∵EQ PQ =， ∴2
511545242m m m ⎛⎫-+=+ ⎪⎝⎭ 21244
m m =++， 整理得217410m m -+=，
解得：1172x +=（舍），2172
x -=，
∴点P 的坐标为⎫⎪⎪⎝⎭
． （3）过E 作EH x ⊥轴于H ，
∵()6,5E ，()1,0C ，
∴()6,0H ，
∴5CH EH ==，
∴45HCE HEC ∠=∠=︒，
∵CE CF ⊥，
∴90CEF ∠=︒，
∴45HEF HFE ∠=∠=︒
∴5HE HF ==，EF =
=，
∴()11,0F ，
∵()4,0B -，
∴15BF =，
若45BFE CDG ∠=∠=︒，
则DG 所在的直线解析式为4y x =-，
联立2415222y x y x x =-⎧⎪⎨=-+⎪⎩
， 整理得27120x x -+=，
()()340x x --=，
13x =，24x =，
当3x =时，y ＝3－4＝﹣1，
∴G 点坐标为()3,1-，
此时DG =
，3CD =，
∴BF CD EF DG ===，即BF EF CD DG =， ∴BEF CGD ∆∆∽，
故当G 点坐标为()3,1-时，BEF CGD ∆∆∽，
由抛物线的对称性可知，
()3,1G -关于对称轴直线52
x =的对称点()2,1G '-， CDG DCG ∆∆'≌，
∴BEF CG D ∆∆'∽，
综上所述，当G 点坐标为()2,1-或()3,1-时，以C ，D ，G 为顶点和三角形与BEF ∆相似．
19．（1）4y x =
；（2）(4，1)或
1,2) 【详解】
解：（1）∵1tan BAO 2∠=
， 设OB=a ，则OA=2a ，
又∵
∴2245a a ，
∴a=1，
∴A点坐标为(-2，0)，B点坐标为(0，1)
∴y＝1
2
x+1，
由PC＝2，把y＝2代入y＝1
2
x+1中，得x＝2，即P(2，2)，
把P代入y＝k
x
得：k＝4，
则双曲线解析式为y＝4
x
；
（2）设Q(m，n)，
∵Q（m，n）在y＝4
x
上，
∴n＝4
m
，
当△QCH∽△BAO时，可得CH QH
AO BO
=，即
2
21
m n
-
=，
∴m﹣2＝2n，即m﹣2＝8
m
，
整理得：m2﹣2m﹣8＝0，
解得：m＝4或m＝﹣2（舍去），∴Q(4，1)；
当△QCH∽△ABO时，可得CH QH
BO AO
=，即
2
12
m n
-
=，
整理得：2m﹣4＝4
m
，
解得：m＝m＝1（舍），
∴2)，
综上，Q(4，1)或﹣2)．
20．（1）见解析；（2）
【详解】
（1）证明：∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠CDB，
∵∠ABD＝∠BCD＝90°，
∴△ABD∽△BCD，
∴BD：CD＝AD：BD，
∴BD2＝AD•CD；
（2）解：∵BM//CD，
∴∠MBD＝∠CDB，BM⊥BC，
而∠MDB＝∠CDB，
∴∠MBD＝∠MDB，
∴MB＝MD，
∵∠A+∠ADB＝90°，∠ABM+∠MBD＝90°，∴∠A＝∠ABM，
∴MA＝MB，
∴MA＝MB＝MD＝1
2
AD＝4，
∵BD2＝AD•CD，CD＝6，AD＝8，
∴BD2＝8×6＝48，
在Rt△BCD中，BC2＝BD2﹣CD2＝48﹣62＝12，
在Rt△BCM中，MC＝。