苏科版八年级上学期第三次月考数学试卷 (解析版)

苏科版八年级上学期第三次月考数学试卷 （解析版）
一、选择题
1．下列四组线段a 、b 、c ，不能组成直角三角形的是( ) A ．4,5,3a b c === B ． 1.5,2, 2.5a b c === C ．5,
12,13a b c ===
D ．1,
2
,3a b c ===
2．已知直线y 1=kx+1（k ＜0）与直线y 2=mx （m ＞0）的交点坐标为（12，1
2
m ），则不等式组mx ﹣2＜kx+1＜mx 的解集为（ ） A ．x>
1
2
B ．
1
2<x<32
C ．x<
3
2
D ．0<x<
32
3．已知等腰三角形的两边长分别为3和4，则它的周长为（ ） A ．10
B ．11
C ．10或11
D ．7
4．如图，∠AOB=60°，OA=OB ，动点C 从点O 出发，沿射线OB 方向移动，以AC 为边在右侧作等边△ACD ，连接BD ，则BD 所在直线与OA 所在直线的位置关系是（ ）
A ．平行
B ．相交
C ．垂直
D ．平行、相交或垂直
5．如图，AD 是ABC 的角平分线，DE AB ⊥于E ，已知ABC 的面积为28.6AC =，4DE =，则AB 的长为（ ）
A ．4
B ．6
C ．8
D ．10 6．已知：△ABC ≌△DCB ，若BC=10cm ，AB=6cm ，AC=7cm ，则CD 为（ ） A ．10cm B ．7cm C ．6cm D ．6cm 或7cm 7．已知a ＞0，b ＜0，那么点P(a ，b)在( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
8．给出下列实数：
227、2539 1.442
π
、0.16、0.1010010001-⋯（每相邻两个1之间依次多一个0)，其中无理数有( )
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
9．在平面直角坐标系中，将函数3y x =的图象向上平移6个单位长度，则平移后的图象与x 轴的交点坐标为（ ） A ．(2,0)
B ．(-2,0)
C ．(6,0)
D ．(-6,0)
10．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ） A ．4,5,6
B ．1.5,2，2.5
C ．2,3,4
D ．1，2， 3
11．下列说法中正确的是（ ） A ．带根号的数都是无理数 B ．不带根号的数一定是有理数 C ．无限小数都是无理数 D ．无理数一定是无限不循环小数
12．9的平方根是( ) A ．3
B ．81
C ．3±
D ．81±
13．如图，平面直角坐标系中，长方形OABC ，点A ，C 分别在x 轴，y 轴的正半轴上，点B （6，3），现将△OAB 沿OB 翻折至△OA ′B 位置，OA ′交BC 于点P ．则点P 的坐标为（ ）
A ．（
9
4
，3） B ．（
3
2
，3） C ．（
12
5
，3） D ．（
5
,32
） 14．已知一次函数y ＝kx +b 的图象经过第一、二、三象限，则b 的值可以是（ ） A ．﹣2
B ．﹣1
C ．0
D ．2
15．下列调查中，调查方式最适合普查（全面调查）的是（ ） A ．对全国初中学生视力情况的调查 B ．对2019年央视春节联欢晚会收视率的调查 C ．对一批飞机零部件的合格情况的调查 D ．对我市居民节水意识的调查
二、填空题
16．点P （﹣5，12）到原点的距离是_____．
17．如果2x -有意义，那么x 可以取的最小整数为______．
18．已知点(,)P m n 在一次函数31y x =-的图像上，则2296m mn n -+=___________. 19．如图，直线l 上有三个正方形,,a b c ，若,a c 的面积分别为5和11，则b 的面积为__________．
20．若x ，y 都是实数，且338y x x =
-+-+，则3x y +的立方根是______.
21．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1，0)、B(0，2)，如果将线段AB 绕点B 顺时针
旋转90°至CB，那么点C的坐标是．
22．如图，在ABC中，∠A=60°，D是BC边上的中点，DE⊥BC，∠ABC的平分线BF交DE于ABC内一点P，连接PC，若∠ACP=m°，∠ABP=n°，则m、n之间的关系为
______．
23．已知点M(1,a)和点N(2,b)是一次函数y=-2x+1图象上的两点，则a与b的大小关系是_________．
24．在第二象限内的点P到x轴的距离是1，到y轴的距离是4，则点P的坐标是
_________.
25．一次函数y1＝ax+3与y2＝kx﹣1的图象如图所示，则不等式kx﹣1＜ax+3的解集是
_____．
三、解答题
26．已知BC＝5，AB＝1，AB⊥BC，射线CM⊥BC，动点P在线段BC上（不与点B，C重合），过点P作DP⊥AP交射线CM于点D，连接AD．
（1）如图1，若BP＝4，判断△ADP的形状，并加以证明．
（2）如图2，若BP＝1，作点C关于直线DP的对称点C′，连接AC′．
①依题意补全图2；
②请直接写出线段AC′的长度．
27．为落实“美丽抚顺”的工作部署，市政府计划对城区道路进行了改造，现安排甲、乙两
个工程队完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的3
2
倍，甲队改造360米的道路比乙
队改造同样长的道路少用3天．
（1）甲、乙两工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？
（2）若甲队工作一天需付费用7万元，乙队工作一天需付费用5万元，如需改造的道路全长1200米，改造总费用不超过145万元，至少安排甲队工作多少天？
28．如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．（1）在图①中，以格点为端点画一条长度为13的线段MN；
（2）在图②中，A、B、C是格点，求∠ABC的度数．
29．（新知理解）
如图①，若点A、B在直线l同侧，在直线l上找一点P，使AP BP
+的值最小.
作法:作点A关于直线l的对称点A'，连接A B'交直线l于点P，则点P即为所求.
（解决问题）
如图②，AD是边长为6cm的等边三角形ABC的中线，点P、E分别在AD、AC上，则PC PE
+的最小值为 cm;
（拓展研究）
如图③，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使APB APD
∠=∠.(保留作图痕迹，并对作图方法进行说明)
30．如图，正比例函数y＝3
4
x与一次函数y＝ax+7的图象相交于点P（4，n），过点A
（2，0）作x轴的垂线，交一次函数的图象于点B，连接OB．
（1）求a值；
（2）求△OBP的面积；
（3）在坐标轴的正半轴上存在点Q，使△POQ是以OP为腰的等腰三角形，请直接写出Q 点的坐标．
31．如图，点D是△ABC内部的一点，BD=CD，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且BE=CF．求证：AB=AC．
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一、选择题
1．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据勾股定理逆定理，即若三角形中两边到的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，对每项进行计算判断即可. 【详解】
解：A.22
22223491625,
525,a b c +=+==+=,
B.222221.52 2.254 6.25,2.5 6.25,a b c +=+==+=,
C.22222251225144169,13169,a b c +=+==+=,
222222123,39,.1D a b c +=+==+≠.
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理，解决本题的关键是熟练掌握勾股定理逆定理，正确计算出每项的结果.
2．B
解析：B 【解析】 【分析】
由mx ﹣2＜（m ﹣2）x+1，即可得到x ＜
32
；由（m ﹣2）x+1＜mx ，即可得到x ＞1
2，进
而得出不等式组mx ﹣2＜kx+1＜mx 的解集为1
2＜x ＜32
． 【详解】 把（
12，1
2
m ）代入y 1=kx+1，可得 12m=1
2
k+1， 解得k=m ﹣2，
∴y 1=（m ﹣2）x+1， 令y 3=mx ﹣2，则
当y 3＜y 1时，mx ﹣2＜（m ﹣2）x+1， 解得x ＜
32
； 当kx+1＜mx 时，（m ﹣2）x+1＜mx ， 解得x ＞
12
， ∴不等式组mx ﹣2＜kx+1＜mx 的解集为1
2＜x ＜32
， 故选B ． 【点睛】
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b 的值大于（或小于）0的自变量x 的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b 在x 轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
3．C
解析：C
【解析】
【分析】
可分3是腰长与底边，两种情况讨论求解即可．
【详解】
解：①3是腰长时，三角形的三边分别为：3、3、4，
能组成三角形，周长=3+3+4=10，
②3是底边时，三角形的三边分别为3、4、4，
能组成三角形，周长=3+4+4=11，
∴三角形的周长为10或11．
故选择：C．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键，难点在于要分情况讨论．
4．A
解析：A
【解析】
【分析】先判断出OA=OB，∠OAB=∠ABO，分两种情况判断出△AOC≌△ABD，进而判断出∠ABD=∠AOB=60°，即可得出结论．
【详解】∵∠AOB=60°，OA=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴OA=AB，∠OAB=∠ABO=60°
①当点C在线段OB上时，如图1，
∵△ACD是等边三角形，
∴AC=AD，∠CAD=60°，
∴∠OAC=∠BAD，
在△AOC和△ABD中，
OA BA
OAC BAD AC AD
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△AOC≌△ABD，
∴∠ABD=∠AOC=60°，
∴∠ABE=180°﹣∠ABO﹣∠ABD=60°=∠AOB，∴BD∥OA；
②当点C在OB的延长线上时，如图2，
∵△ACD是等边三角形，
∴AC=AD，∠CAD=60°，
∴∠OAC=∠BAD，
在△AOC和△ABD中，
OA BA
OAC BAD
AC AD
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△AOC≌△ABD，
∴∠ABD=∠AOC=60°，
∴∠ABE=180°﹣∠ABO﹣∠ABD=60°=∠AOB，
∴BD∥OA，
故选A．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，求出
∠ABD=60°是解本题的关键．
5．C
解析：C
【解析】
【分析】
作DF⊥AC于F ，根据角平分线的性质求出DF，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】
解：作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF=DE=4，
∴
11
22
28
AB DE AC DF
即
11
22
46428
AB
解得，AB=8，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
6．C
解析：C 【解析】 【分析】
全等图形中的对应边相等. 【详解】
根据△ABC ≌△DCB ，所以AB=CD,所以CD=6，所以答案选择C 项. 【点睛】
本题考查了全等，了解全等图形中对应边相等是解决本题的关键.
7．D
解析：D 【解析】
试题分析：根据a ＞0，b ＜0和第四象限内的坐标符号特点可确定p 在第四象限． ∵a ＞0，b ＜0，
∴点P （a ，b ）在第四象限， 故选D.
考点：本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点
点评：解答本题的关键是掌握好四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
8．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据无理数是无限不循环小数，可得答案． 【详解】
解：−5，
实数：
227、2
π
、0.16、0.1010010001-⋯（每相邻两个1之
间依次多一个02
π
、-0.1010010001…（每相邻两个1之间依次多一个0）共3个． 故选：B ． 【点睛】
本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数．
9．B
解析：B 【解析】 【分析】
先求出平移后的解析式，继而令y=0，可得关于x 的方程，解方程即可求得答案. 【详解】
根据函数图象平移规律，可知3y x =向上平移6个单位后得函数解析式应为36y x =+， 此时与x 轴相交，则0y =， ∴360x +=，即2x =-， ∴点坐标为(-2，0)， 故选B. 【点睛】
本题考查了一次函数图象的平移，一次函数图象与坐标轴的交点坐标，先出平移后的解析式是解题的关键.
10．B
解析：B 【解析】
试题分析：由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可： A 、42+52=41≠62，不可以构成直角三角形，故本选项错误； B 、1.52+22=6.25=2.52，可以构成直角三角形，故本选项正确； C 、22+32=13≠42，不可以构成直角三角形，故本选项错误；
D 、2
22133+
=≠，不可以构成直角三角形，故本选项错误．
故选B ．
考点：勾股定理的逆定理．
11．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据无理数的定义判断各选项即可． 【详解】
A 2=，是有理数，错误；
B 中，例如π，是无理数，错误；
C 中，无限循环小数是有理数，错误；
D 正确，无限不循环的小数是无理数 故选：D 【点睛】
本题考查无理数的定义，注意含有π和根号开不尽的数通常为无理数．
12．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据平方根的定义进行求解即可. 【详解】
解：9的平方根是3
.
故选C.
【点睛】
本题考查平方根，一个正数有两个实平方根，它们互为相反数.
13．A
解析：A
【解析】
【分析】
由折叠的性质和矩形的性质证出OP=BP，设OP=BP=x，则PC=6﹣x，再用勾股定理建立方程9+（6﹣x）2=x2，求出x即可．
【详解】
∵将△OAB沿OB翻折至△OA′B位置，OA′交BC于点P，
∴∠A'OB=∠AOB，
∵四边形OABC是矩形，
∴BC∥OA，
∴∠OBC=∠AOB，
∴∠OBC=∠A'OB，
∴OP=BP，
∵点B的坐标为（6，3），
∴AB=OC=3，OA=BC=6，
设OP=BP=x，则PC=6﹣x，
在Rt△OCP中，根据勾股定理得，OC2+PC2=OP2，
∴32+（6﹣x）2=x2，
解得：x=15
4
，
∴PC=6﹣15
4
=
9
4
，
∴P（9
4
，3），
故选：A．
【点睛】
此题主要考查折叠和矩形的性质以及利用勾股定理构建方程，熟练掌握，即可解题. 14．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据一次函数的图象经过第一、二、三象限判断出b的符号，再找出符合条件的b的可能值即可．
【详解】
∵一次函数的图象经过第一、二、三象限，
∴b＞0，
∴四个选项中只有2符合条件．
故选：D．
【点睛】
本题考查了一次函数图象与系数的关系：对于一次函数y=kx+b：当k＞0，b＞0⇔y=kx+b 的图象在一、二、三象限；k＞0，b＜0⇔y=kx+b的图象在一、三、四象限；k＜0，b＞
0⇔y=kx+b的图象在一、二、四象限；k＜0，b＜0⇔y=kx+b的图象在二、三、四象限．15．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据普查和抽样调查的特点解答即可．
【详解】
解：A．对全国初中学生视力情况的调查，适合用抽样调查，不合题意；
B．对2019年央视春节联欢晚会收视率的调查，适合用抽样调查，不合题意；
C．对一批飞机零部件的合格情况的调查，适合全面调查，符合题意；
D．对我市居民节水意识的调查，适合用抽样调查，不合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了抽样调查和全面调查的知识，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
二、填空题
16．13
【解析】
【分析】
直接根据勾股定理进行解答即可．
【详解】
∵点P（-5，12），
∴点P到原点的距离==13．
故答案为13．
【点睛】
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，
解析：13
【解析】
【分析】
直接根据勾股定理进行解答即可．
【详解】
∵点P（-5，12），
∴点P到原点的距离=13．
故答案为13．
【点睛】
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
17．2
【解析】
【分析】
根据被开方数大于等于0列式求解即可．
【详解】
根据题意得，x-2≥0，
解得x≥2，
∴x可以取的最小整数为2．
故填：2.
【点睛】
本题考查了二次根式有意义的条件，根据
解析：2
【解析】
【分析】
根据被开方数大于等于0列式求解即可．
【详解】
根据题意得，x-2≥0，
解得x≥2，
∴x可以取的最小整数为2．
故填：2.
【点睛】
本题考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数大于等于列式求解即可，比较简单．18．1
【解析】
【分析】
直接利用一次函数图象上点的坐标性质直接代入求出即可．
【详解】
把x=m ，y=n 代入y=3x-1，
可得：n=3m-1，
把n=3m-1代入
=
=
=．
故答案为：1.
【
解析：1
【解析】
【分析】
直接利用一次函数图象上点的坐标性质直接代入求出即可．
【详解】
把x=m ，y=n 代入y=3x-1，
可得：n=3m-1，
把n=3m-1代入2296m mn n -+
=223196())31(m m m m -+--
=2229186196m m m m m -++-+
=1．
故答案为：1.
【点睛】
此题主要考查了一次函数图象上点的坐标性质，正确代入点的坐标求出是解题关键． 19．16
【解析】
【分析】
运用正方形边长相等，再根据同角的余角相等可得∠ABC=∠DAE，然后证明△ΔBCA≌ΔAED，结合全等三角形的性质和勾股定理来求解即可．
【详解】
解：∵AB=AD，∠BC
解析：16
【解析】
【分析】
运用正方形边长相等，再根据同角的余角相等可得∠ABC =∠DAE ，然后证明
△ΔBCA ≌ΔAED ，结合全等三角形的性质和勾股定理来求解即可．
【详解】
解：∵AB =AD ，∠BCA =∠AED =90°，
∴∠ABC =∠DAE ，
∴ΔBCA≌ΔAED(ASA)，
∴BC=AE，AC=ED，
故AB²=AC²+BC²=ED²+BC²=11+5=16，
即正方形b的面积为16.
点睛：此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，解题的重点在于证明
ΔBCA≌ΔAED，而利用全等三角形的性质和勾股定理得到b=a+c则是解题的关键.
20．3
【解析】
【分析】
根据被开方数大于等于0列式求出x的值，然后求出y的值，代入代数式求解，再根据立方根的定义解答．
【详解】
解：根据题意得，x-3≥0且3-x≥0，
解得x≥3且x≤3，
所以
解析：3
【解析】
【分析】
根据被开方数大于等于0列式求出x的值，然后求出y的值，代入代数式求解，再根据立方根的定义解答．
【详解】
解：根据题意得，x-3≥0且3-x≥0，
解得x≥3且x≤3，
所以x=3，
y=8，
x+3y=3+3×8=27，
∴x+3y的立方根为3．
故答案为：3．
【点睛】
本题考查二次根式的被开方数是非负数，立方根的定义，根据x的取值范围求出x的值是解题的关键．
21．.
【解析】
【分析】
【详解】
如图，过点C作CD⊥y轴于点D，
∵∠CBD+∠ABO=90°，∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠CBD=∠BAO，
在△ABO与△BCD中，
∠CBD=∠BAO,
，.
解析：(21)
【解析】
【分析】
【详解】
如图，过点C作CD⊥y轴于点D，
∵∠CBD+∠ABO=90°，∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠CBD=∠BAO，
在△ABO与△BCD中，
∠CBD=∠BAO,∠BDC=∠AOB, BC=AB，
∴△ABO≌△BCD（AAS），
∴CD=OB，BD=AO，
∵点A（1，0），B（0，2），
∴CD=2，BD=1，
∴OD=OB-BD=1，
又∵点C在第二象限，
∴点C的坐标是（-2，1）．
22．m+3n=120
【解析】
【分析】
根据线段垂直平分线的性质，可得∠PBC=∠PCB，结合角平分线的定义，可得∠PBC=∠PCB=∠ABP，最后根据三角形内角和定理，从而得到m、n之间的关系．
【
解析：m+3n=120
【解析】
【分析】
根据线段垂直平分线的性质，可得∠PBC=∠PCB，结合角平分线的定义，可得
∠PBC=∠PCB=∠ABP，最后根据三角形内角和定理，从而得到m、n之间的关系．
【详解】
解：∵点D是BC边的中点，DE⊥BC，
∴PB=PC，
∴∠PBC=∠PCB，
∵BP平分∠ABC，
∴∠PBC=∠ABP，
∴∠PBC=∠PCB=∠ABP=n°，
∵∠A=60°，∠ACP=m°，
∠+∠+∠=︒
180,
A ABC ACB
∴∠PBC+∠PCB+∠ABP=120°-m°，
∴3∠ABP=120°-m°，
∴3n°+m°=120°，
故答案为：m+3n=120．
【点睛】
本题主要考查了三角形内角和定理以及线段垂直平分线的性质的运用，角平分线的定义，解题时注意：线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；三角形内角和等于180°．
23．a>b
【解析】
【分析】
【详解】
解：∵一次函数y=﹣2x+1中k=﹣2，
∴该函数中y随着x的增大而减小，
∵1＜2，∴a＞b．
故答案为a＞b．
【点睛】
本题考查一次函数图象上点的坐标特征
解析：a>b
【解析】
【分析】
【详解】
解：∵一次函数y=﹣2x+1中k=﹣2，
∴该函数中y随着x的增大而减小，
∵1＜2，∴a＞b．
故答案为a＞b．
【点睛】
本题考查一次函数图象上点的坐标特征．
24．（-4，1）．
【解析】
【分析】
根据第二象限内点的坐标特征以及点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度解答．
【详解】
∵第二象限的点P到x轴的距离是1，到y轴的距离是4，
解析：（-4，1）．
【解析】
【分析】
根据第二象限内点的坐标特征以及点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度解答．
【详解】
∵第二象限的点P到x轴的距离是1，到y轴的距离是4，
∴点P的横坐标是-4，纵坐标是1，
∴点P的坐标为（-4，1）．
故答案为：（-4，1）．
【点睛】
此题考查点的坐标，解题关键在于熟记点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度．
25．x＜1．
【解析】
【分析】
结合图象，写出直线y1=ax+3在直线y2=kx﹣1上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】
∵一次函数y1=ax+3与y2=kx﹣1的图象的交点坐标为(1，2)，
∴
解析：x＜1．
【解析】
【分析】
结合图象，写出直线y1=ax+3在直线y2=kx﹣1上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】
∵一次函数y1=ax+3与y2=kx﹣1的图象的交点坐标为(1，2)，
∴当x＜1时，y1＞y2，
∴不等式kx﹣1＜ax+3的解集为x＜1．
故答案为：x＜1．
【点睛】
本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．
三、解答题
26．（1）△ADP是等腰直角三角形．证明见解析；（2）①补图见解析；②10
【解析】
【分析】
（1）先判断出PC=AB，再用同角的余角相等判断出∠APB=∠PDC，得出△ABP≌△PCD （AAS），即可得出结论；
（2）①利用对称的性质画出图形；
②过点C'作C'Q⊥BA交BA的延长线于Q，先求出CP=4，AB=AP，∠CPD=45°，进而得出C'P=CP=4，∠C'PD=∠CPD=45°，再判断出四边形BQC'P是矩形，进而求出AQ=BQ﹣
AB=3，最后用勾股定理即可得出结论．
【详解】
（1）△ADP是等腰直角三角形．证明如下：
∵BC=5，BP=4，∴PC=1．
∵AB=1，∴PC=AB．
∵AB⊥BC，CM⊥BC，DP⊥AP，∴∠B=∠C=90°，∠APB+∠DPC=90°，
∠PDC+∠DPC=90°，∴∠APB=∠PDC．
在△ABP和△PCD中，∵
B C
APB PDC
AB PC
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，∴△ABP≌△PCD（AAS），∴AP=PD．
∵∠APD=90°，∴△ADP是等腰直角三角形．
（2）①依题意补全图2；
②过点C'作C'Q⊥BA交BA的延长线于Q．
∵BP=1，AB=1，BC=5，∴CP=4，AB=AP．
∵∠ABP=90°，∴∠APB=45°．
∵∠APD=90°，∴∠CPD=45°，连接C'P．
∵点C与C'关于DP对称，∴C'P=CP=4，∠C'PD=∠CPD=45°，∴∠CPC'=90°，
∴∠BPC'=90°，∴∠Q=∠ABP=∠BPC'=90°，∴四边形BQC'P是矩形，∴C'Q=BP=1，
BQ=C'P=4，∴AQ=BQ﹣AB=3．在Rt△AC'Q中，AC′=．
【点睛】
本题考查了矩形的判定与性质以及全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，构造出直角三角形是解答本题的关键．
27．（1）乙工程队每天能改造道路的长度为40米，甲工程队每天能改造道路的长度为60米．（2）10天.
【解析】
【分析】
（1）设乙工程队每天能改造道路的长度为x米，则甲工程队每天能改造道路的长度为3 2 x
米，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用3天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设安排甲队工作m天，则安排乙队工作120060
40
m
-
天，根据总费用=甲队每天所需
费用×工作时间+乙队每天所需费用×工作时间结合总费用不超过145万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【详解】
（1）设乙工程队每天能改造道路的长度为x米，则甲工程队每天能改造道路的长度为3 2 x
米，
根据题意得：360360
3
3
2
x x
-=，
解得：x=40，
经检验，x=40是原分式方程的解，且符合题意，
∴3
2
x=
3
2
×40=60，
答：乙工程队每天能改造道路的长度为40米，甲工程队每天能改造道路的长度为60米；
（2）设安排甲队工作m天，则安排乙队工作120060
40
m
-
天，
根据题意得：7m+5×120060
40
m
-
≤145，
解得：m≥10，
答：至少安排甲队工作10天．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式．28．（1）见解析；（2）45°
【解析】
【分析】
（1）根据网格和勾股定理即可在图①中，以格点为端点画一条长度为13的线段MN；（2）连接AC，根据勾股定理及逆定理可得三角形ABC是等腰直角三角形，进而可求
∠ABC的度数．
【详解】
解：（1）如图
根据勾股定理，得
MN22
AM AN
+22
+13
23
（2）连接AC
∵22
AC+22
1310
2425
AB=+=
BC，22
1310
∴AC2+BC2＝AB2，
∴ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°．
【点睛】
此题考查的是勾股定理和网格问题，掌握勾股定理及逆定理是解决此题的关键．29．（1）332）作图见解析.
【解析】
试题分析：（1）作点E关于AD的对称点F，连接PF，则PE=PF，根据两点之间线段最短以及垂线段最短，得出当CF⊥AB时，PC+PE=PC+PF=CF（最短），最后根据勾股定理，求得CF的长即可得出PC+PE的最小值；
（2）根据轴对称的性质进行作图．
方法1：作B关于AC的对称点E，连接DE并延长，交AC于P，连接BP，则
∠APB=∠APD．
方法2：作点D关于AC的对称点D'，连接D'B并延长与AC的交于点P，连接DP，则∠APB=∠APD．
试题解析：（1）【解决问题】
如图②，作点E关于AD的对称点F，连接PF，则PE=PF，
当点F，P，C在一条直线上时，PC+PE=PC+PF=CF（最短），
当CF⊥AB时，CF最短，此时BF=1
2
AB=3（cm），
∴Rt△BCF中，CF=2222
=63=33
BC BF
--（cm），
∴PC+PE的最小值为33cm；
（2）【拓展研究】
方法1：如图③，作B关于AC的对称点E，连接DE并延长，交AC于P，点P即为所求，连接BP，则∠APB=∠APD．
方法2：如图④，作点D关于AC的对称点D'，连接D'B并延长与AC的交于点P，点P 即为所求，连接DP，则∠APB=∠APD．
30．（1）a=-1；（2）7；（3）点Q的坐标为（5，0）或（8，0）或（0，5）或（0，6）【解析】
【分析】
（1）先由点P在正比例函数图象上求得n的值，再把点P坐标代入一次函数的解析式即可求出结果；
（2）易求点B坐标，设直线AB与OP交于点C，如图，则点C坐标可得，然后利用△OBP 的面积＝S△BCO+S△BCP代入相关数据计算即可求出结果；
（3）先根据勾股定理求出OP的长，再分两种情况：当OP=OQ时，以O为圆心，OP为半
径作圆分别交y轴和x轴的正半轴于点Q1、Q2，如图2，则点Q1、Q2即为所求，然后利用等腰三角形的定义即可求出结果；当PO=PQ时，以P为圆心，OP为半径作圆分别交y轴和x轴的正半轴于点Q4、Q3，如图3，则点Q4、Q3也为所求，然后利用等腰三角形的性质即可求得结果．
【详解】
解：（1）把点P（4，n）代入y＝3
4
x，得：n＝
3
4
×4＝3，∴P（4，3），
把P（4，3）代入y＝ax+7得，3＝4a+7，∴a＝﹣1；（2）∵A（2，0），AB⊥x轴，∴B点的横坐标为2，∵点B在y＝﹣x+7上，∴B（2，5），
设直线AB与OP交于点C，如图1，当x=2时，
33
2
42
y=⨯=，∴C（2，
3
2
），
∴△OBP的面积＝S△BCO+S△BCP＝1
2
⨯2×（5﹣
3
2
）+
1
2
⨯（4﹣2）×（5﹣
3
2
）＝7；
（3）过点P作PD⊥x轴于点D，∵P（4，3），∴OD=4，PD=3，∴22
345
OP=+=，当OP=OQ时，以O为圆心，OP为半径作圆分别交y轴和x轴的正半轴于点Q1、Q2，如图2，则点Q1、Q2即为所求，且Q2（5，0）、Q1（0，5）；
当PO=PQ时，以P为圆心，OP为半径作圆分别交y轴和x轴的正半轴于点Q4、Q3，如图3，则点Q4、Q3也为所求，
由于PO=PQ3，∴DQ3=DO=4，∴Q3（8，0），
过点P作PF⊥y轴于点F，同理可得：FQ4=FO=3，∴Q4（0，6）．
综上所述，在坐标轴的正半轴上存在点Q，使△POQ是以OP为腰的等腰三角形，点Q的坐标为（5，0）或（8，0）或（0，5）或（0，6）．
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理、三角形的面积和等腰三角形的性质等知识，属于常考题型，熟练掌握一次函数的相关知识和等腰三角形的性质是解题的关键．
31．证明见解析.
【解析】
【分析】
欲证明AB=AC，只要证明∠ABC=∠ACB即可，根据“HL”证明Rt△BDE≌Rt△CDF，由全等三角形的性质可证∠EBD=∠FCD，再由等腰三角形的性质∠DBC=∠DCB，从而可证
∠ABC=∠ACB.
【详解】
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°．
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴∠EBD=∠FCD，
∵BD=CD，
∴∠DBC=∠DCB，
∴∠DBC+∠EBD=∠DCB+∠FCD，
即∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．。