人教版八年级数学全等三角形全章复习学案

全等三角形全章复习学案
12.1全等三角形
一.全等三角形
能够完全重合的两个三角形。

把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。

二.全等三角形的性质
全等三角形对应边，对应角。

全等三角形的对应边上的中线、高线及对应角的平分线也相等。

全等三角形的周长和面积相等。

≌
全等符号：“”
练习：
△ABE≌△ACD∠1=∠2∠B=∠C
1.如图，已知，，，指出对应边和其它对应角。

△ABC△BAD∠C∠D AC BD
2.如图，与全等，这可表示为；其中与是对应角，与是对应边，其余的对应角是；其余的对应边是。

△ABC A△ADE∠CAE=65°∠E=70°AD⊥BC∠BAC
3.将绕点逆时针旋转一定角度，得到，若，，且，则的度数为（）
A.60°
B.75°
C.85°
D.90°
类型题：
类型一：确定全等三角形的对应边、对应角
△ABC A△ADE∠BAD
如图，若把绕点旋转一定角度得到，则与相等的角是，图中相等的线段有
_______对，分别是。

类型二：利用全等三角形的性质解决问题
△OAD≌△OBC∠O=70°∠C=25°∠AEB=
如图所示，，且，，则。

类型三：全等三角形的性质与三角形内角和的综合
△ABC≌△ADE∠CAD=10°∠B=∠D=25°∠EAB=120°∠DFB∠DGB
1.如图所示，，且，，，试求和的度数。

△ABE△ADC△ABC AB AC180°∠1：∠2：∠3=28:5:3∠2.如图所示，和是分别沿着、边翻折形成的，若，则α=。

△ABC D E AC BC△ADB≌△EDB≌△EDC∠C
3.如图所示，中，、分别是边、上的点，若，则的度数为（）
A.15°
B.20°
C.25°
D.30°
类型四：全等三角形的性质与平行线的综合
△ADF≌△CBE E B D F AD BC
如图所示，，且点、、、在一条直线上，判断与的位置关系，并加以证明。

类型五：全等三角形与图形旋转的综合
△ABC A30°△AEF
如图所示，将绕其顶点顺时针旋转后，得到。

△ABC△AEF
（1）与的关系如何？
△ABC A△AEF F△ABC C A
（2）绕其顶点顺时针旋转多少度时，旋转后的的顶点和的顶点和在同一条直线上？
随堂检测：
1.对于两个图形给出下列结论：①两个图形的周长相等；②两个图形的面积相等；③两个图形的周长和面积相等；④两个图形的形状相同，大小也相等；其中能获得这两个图形全等的结论共有（）个
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
△ABC≌△CDE AB=CD
2.如图所示，已知，其中，那么下列结论中，不正确的是（）
A.AC=CE
B.∠BAC=∠ECD
C.∠ACB=∠ECD
D.∠B=∠D
△ABC≌△A’B’C∠ACB=90°∠A’CB=20°∠BCB’
3.，，，则的度数为（）
A.20°
B.40°
C.70°
D.90°
△ABC≌△DEF BE=4AE=1DE
4.如图，，，，则的长是。

△ABC∠B=∠C△ABC100°△ABC100°
5.在中，，与全等的三角形有一个角是，那么在中与角对应相等的角是（）
A.∠A
B.∠B
C.∠C
D.∠B或∠C
△ABE≌△ACD∠1=∠2∠B=∠C
6.如图，已知，，，则下列结论不正确的是（）
A.AB=AC
B.∠BAE=∠CAD
C.BE=DC
D.AD=DE
B D E C△ABD≌△ACE∠AEC=105°∠DAE
7.如图，、、、四点共线，且，若，则的度数为（）
A.30°
B.40°
C.50°
D.65°
Rt△ABE≌Rt△ECD B E C AE=ED AE⊥DE BC 8.如图所示，，点、、在同一直线上，下列结论：①；②；③
=AB+CD AB DC
；④∥；其中成立的是（）
A.①
B.①③
C.①③④
D.①②③④
E F BC△ABF△DCE A D B C AF DE M
9.如图，点、在线段上，与全等，点与点，点与点是对应顶点，与交于点
∠DCE=
，则（）
A.∠B
B.∠A
C.∠EMF
D.∠AFB
12.2三角形全等的判定
全等三角形的判定：
SSS
①三边分别相等的两个三角形全等（边边边或“”）
SAS
②两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（边角边或“”）
ASA
③两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（角边角或“”）
AAS
④两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（角角边或“”）
HL
⑤斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（斜边、直角边或“”）
练习：
AD BC AD=CB AE=CF△AFD≌△CEB
（1）如图，已知∥，，，求证。

AD⊥AE AB⊥AC AD=AE AB=AC△ABD≌△ACE
（2）如图，，，，，求证。

AB=AC AD=AE AB DC M AC BE N∠DAB=∠CAE△（3）已知，，、相交于点，、相交于点，。

试说明：①ABE≌△ACD AM=AN
；②。

随堂检测
AB=AC BD=CE AD=AE∠AEB=∠ADC
1.如图所示，，，，求证：。

E F BC BE=FC AB=DC∠B=∠C∠A=∠D
2.如图，点、在上，，，，求证：。

AD BC∠CAB∠DBA∠1=∠2AC BD
3.如图，、平分和，且，试探究与的数量关系，并说明理由。

∠A=∠D=90°AB=DE BF=EC Rt△ABC≌Rt△DEF
4.如图，，，，求证：。

AD AF△ABC△ABE AD=AF AC=AE BC=BE
5.如图所示，、分别是钝角和钝角的高，如果，，求证：。

△ABC∠ACB=90°AC=BC C（‒2，0）A（‒6，3）B 6.如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，求点的坐标。

BE⊥AC CD⊥AB E D BE=CD AB=AC
7.如图，，，垂足分别为、，，求证：。

C F E B∠CFD=∠BEA CE=BF DF=AE C
D AB
8.如图，点、、、在一条直线上，，，，写出与之间的关系。

△ABC AB=AC=16cm∠B=∠C BC=10cm D AB P BC2cm/s
9.已知中，，，，点为中点，如果点在线段上以
B C Q CA C A△BDP△CQP Q
的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，当与全等时，点的运动速度为多少?
12.3角的平分线的性质
一.角的平分线的性质
角的平分线上的点到角的两边的距离。

OC∠AOB P OC PD⊥OA D PE⊥OB E PD 性质推导：如图，是的角平分线，点是上的一点，于点，与点，求证：
=PE。

二.角平分线的判定
角的内部到角的两边的距离相等的点在。

P∠AOB OC PD⊥OA D PE⊥OB E PD=PE
判定推导：如图，点在内部的一条射线上，且于点，与点，，求证：OC∠AOB
射线是的平分线。

AP CP△ABC∠MAC∠NCA P PD⊥BM D PF 证明：如图所示，，分别是外角和的平分线，它们交于点，于点，⊥BN F BP∠MBN
于点，求证为的平分线。

类型题
类型一：角平分线的性质
△ABC∠ACB=90°BE∠ABC ED⊥AB D AC=3cm AE+DE
如图所示，在中，，平分，于，如果，那么等于（）
A.2cm
B.3cm
C.4cm
D.5cm
类型二：角的平分线性质与判定的综合
∠B=∠C=90°E BC DE∠ADC
如图所示，，是的中点，平分。

AE∠BAD
①求证：平分；
AD=AB+CD
②求证：；
类型三：角的平分线性质与三角形的综合
Rt△ABC∠C=90°BD∠ABC CD=3AB=10△ABD
1.如图所示，在中，，是的平分线，若，，则的面积为。

OE∠AOB BC⊥OA C AD⊥OB D EA=EB
2.如图所示，已知平分，于，于，求证。

CD⊥AB D BE⊥AC E CD BE O OB=OC AO∠BAC
3.如图所示，已知于，于，、相交于点，，求证平分。

类型四：添加辅助线解决角平分线问题
ABCD BC＞BA AD=DC BD∠ABC∠A+∠C=180°
1.如图所示，在四边形中，，，平分，求证：。

AD∠BAC∠ACD+∠B=180°BD=CD
2.如图所示，已知平分，，求证。

随堂检测：
AO∠BAC OM⊥AC M ON⊥AB N ON=8cm OM
1.如图所示，是的平分线，于，于，若，则的长为（）
A.8cm
B.4cm
C.5cm
D.不确定
ABCD∠A=90°AD=3BC=5BD∠ABC△BCD
2.如图，在四边形中，，，，对角线平分，则的面积为（）
A.7.5
B.8
C.15
D.不确定
△ABC AD∠BAC DE⊥AB E S△ABC=15DE=3AB=6AC=
3.如图，在中，平分，于，，，，则（）
A.7
B.6
C.5
D.4
Rt△ABC∠C=90°AD DE⊥AB E
4.如图，在中，，是角平分线，于点，下列结论错误的是（）
A.BD+DE=BC
B.DE平分∠ADB
C.DA平分∠EDC
D.DE+AC>AD
BE=CF DE⊥AB AB E DF⊥AC F DB=DC AD∠BAC
5.如图，，，交的延长线于点，于点，且。

求证：是的平分线。

△ABC BD CE P P AC3P AB
6.的外角平分线与相交于点，若点到的距离为，则点到的距离为。

AD△ABC DF⊥AB F DE=DG△ADG△AED5038△7.是的角平分线，，垂足为，，和的面积分别为和，则EDF
的面积为。

△ABC D BC∠BAD=∠CAD AB=6AC=3S△ABD=3S△ACD= 8.如图，在中，点在边上，若，，，，则。

ABCD∠B=90°AB CD M BC AM∠BAD DM∠ADC
9.如图四边形中，，∥，为边上一点，且平分，平分。

AM⊥DM
①求证：；
M BC
②为中点。

△ABC∠B=∠C D BC D DE⊥AB DF⊥AC E F
10.如图，在中，，是边上一动点，过点作，，垂足分别为、，当
D AD∠BAC
点移动到什么位置时，恰好平分？请说明理由。

11.如图所示，在中，，，求证平分。