新课标2023版高考数学一轮总复习课时质量评价11对数与对数函数

课时质量评价(十一)
A 组 全考点巩固练
1．若函数f (x )与g (x )的图象关于直线y ＝x 对称，函数f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12－x
，则f (2)＋g (4)
＝( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
D 解析：因为函数f (x )与g (x )的图象关于直线y ＝x 对称，又f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12－x
＝2x
，所
以g (x )＝log 2x ，所以f (2)＋g (4)＝22
＋log 24＝6．
2．计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 14－lg 25÷100－12＝( )
A ．1
B ．1
10 C ．－10 D ．－20
D 解析：原式＝(lg 2－2－lg 52
)×10012＝lg ⎝ ⎛⎭
⎪⎫122
×52×10＝lg 10－2
×10＝－2×10＝－20．故选D ．
3．设a ＝30.7
，b ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13－0.8
，c ＝log 0.70.8，则a ，b ，c 的大小关系为( )
A ．a <b <c
B ．b <a <c
C ．b <c <a
D ．c <a <b
D 解析：a ＝30.7
>1，b ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13－0.8
＝30.8
>1，且a <b ，c ＝log 0.70.8<log 0.70.7＝1，所以c <a <b ．
4．下列函数中，其图象与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是( ) A ．y ＝ln(1－x ) B ．y ＝ln(2－x ) C ．y ＝ln(1＋x )
D ．y ＝ln(2＋x )
B 解析：易知y ＝ln x 与y ＝ln(－x )的图象关于y 轴对称，将y ＝ln(－x )的图象向右平移2个单位长度所得图象为y ＝ln [－(x －2)]＝ln(2－x )，即与y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称．
5．已知函数f (x )＝|ln x |．若0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋4b 的取值范围是( ) A ．(4，＋∞) B ．[4，＋∞) C ．(5，＋∞)
D ．[5，＋∞)
C 解析：由f (a )＝f (b )得|ln a |＝|ln b |．根据函数y ＝|ln x |的图象及0<a <b ，得－ln a ＝ln b,0<a <1<b ，所以1
a
＝b ．
令g (b )＝a ＋4b ＝4b ＋1
b
，易得g (b )在(1，＋∞)上单调递增，所以g (b )>g (1)＝5．
6．函数y ＝log a (x －1)＋2(a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点________．
(2,2) 解析：当x ＝2时，函数y ＝log a (x －1)＋2(a ＞0，且a ≠1)的值为2，所以图象恒过定点(2,2)．
7．若函数f (x )＝x 2
－(a －2)x ＋1(x ∈R )为偶函数，则log a 27＋log 1a
87
＝________．
－2 解析：因为函数f (x )为偶函数，所以f (x )＝f (－x )，即x 2－(a －2)x ＋1＝x 2
＋(a －2)x ＋1恒成立，所以a －2＝0，即a ＝2，所以log a 27＋log 1a
87＝log 227＋log 278＝log 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫27×78＝
log 21
4
＝－2．
8．已知函数f (x )＝ln x
1－x ，若f (a )＋f (b )＝0，且0＜a ＜b ＜1，则ab 的取值范围是
_________．
⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，14 解析：由题意可知ln a 1－a ＋ln b 1－b ＝0， 即ln ⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 1－a ·b 1－b ＝0，从而a 1－a ·b 1－b ＝1，化简得a ＋b ＝1， 故ab ＝a (1－a )＝－a 2
＋a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122
＋1
4
．又0＜a ＜b ＜1，
所以0＜a ＜12，故0＜－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14＜14，即ab ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14．
9．已知函数f (x )＝log 4(ax 2
＋2x ＋3)． (1)若f (1)＝1，求f (x )的单调区间．
(2)是否存在实数a ，使f (x )的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．
解：(1)因为f (1)＝1，所以log 4(a ＋5)＝1，得a ＝－1， 故f (x )＝log 4(－x 2
＋2x ＋3)．
由－x 2
＋2x ＋3＞0，得－1＜x ＜3，函数的定义域为(－1,3)． 令g (x )＝－x 2
＋2x ＋3，
则g (x )在(－1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减．
又y ＝log 4x 在(0，＋∞)上单调递增，
所以f (x )的单调递增区间是(－1,1)，单调递减区间是(1,3)． (2)假设存在实数a 使f (x )的最小值为0， 则h (x )＝ax 2
＋2x ＋3应有最小值1，
因此⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＞0，3a －1
a
＝1，解得a ＝1
2
．
故存在实数a ＝1
2
使f (x )的最小值为0．
B 组 新高考培优练
10．若函数y ＝a |x |
(a >0，且a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则函数y ＝log a |x |的大致图象是( )
B 解析：由于y ＝a |x |
的值域为[1，＋∞)，所以a >1，则y ＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数．又函数y ＝log a |x |的图象关于y 轴对称，所以y ＝log a |x |的大致图象应为选项B ．
11．(多选题)(2021·临沂期末)若10a ＝4,10b
＝25，则下列结论正确的是( ) A ．a ＋b ＝2 B ．b －a ＝1 C ．ab ＞8(lg 2)2
D ．b －a ＞lg 6
ACD 解：由10a
＝4,10b
＝25，得a ＝lg 4，b ＝lg 25，则a ＋b ＝lg 4＋lg 25＝lg 100＝2，A 正确；b －a ＝lg 25－lg 4＝lg 254，又lg 25
4＞lg 6，所以b －a ＞lg 6，B 错误，D 正
确；又ab ＝4lg 2lg 5＞4lg 2lg 4＝8(lg 2)2
，C 正确．
12．(多选题)设x ，y ，z 为正实数，且log 2x ＝log 3y ＝log 5z ＞0，则x 2，y 3，z
5的大小关系
可能是( )
A ．x 2＜y 3＜z 5
B ．x 2＝y 3＝z 5
C ．z 5＜y 3＜x
2
D ．y 3＜x 2＜z
5
ABC 解析：设log 2x ＝log 3y ＝log 5z ＝k ＞0，可得x ＝2k
＞1，y ＝3k
＞1，z ＝5k
＞1，所以x
2
＝2k －1
，y
3
＝3k －1
，z
5
＝5k －1
．
①若0＜k ＜1，则函数f (x )＝x
k －1
单调递减，所以x 2＞y 3＞z 5，即z 5＜y 3＜x
2
，故C 正确；
②若k ＝1，则函数f (x )＝x k －1
＝1，所以x 2＝y 3＝z
5，故B 正确；
③若k ＞1，则函数f (x )＝x
k －1
单调递增，所以x 2＜y 3＜z
5
，故A 正确．
综上可知x 2，y 3，z
5
的大小关系可能是ABC ．
13．已知函数y ＝log a (x ＋3)－8
9(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，则点A 的坐标为
__________；若点A 也在函数f (x )＝3x
＋b 的图象上，则f (log 32)＝________．
⎝ ⎛⎭
⎪⎫－2，－89 1 解析：令x ＋3＝1可得x ＝－2，此时y ＝log a
1－89＝－89， 所以定点A 的坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫－2，－89．因为点A 在函数f (x )＝3x
＋b 的图象上，
故－89＝3－2＋b ，解得b ＝－1．所以f (x )＝3x
－1，则f (log 32)＝3log 32－1＝2－1＝1．
14．已知函数f (x )＝log a (3－ax )(a >0，且a ≠1)．
(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围．
(2)是否存在实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上单调递减，并且最大值为1? 如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．
解：(1)设t (x )＝3－ax ，因为a >0，所以t (x )＝3－ax 为减函数． 当x ∈[0,2]时，t (x )的最小值为3－2a ．
因为当x ∈[0,2]时，f (x )恒有意义，即x ∈[0,2]时，3－ax >0恒成立． 所以3－2a >0，所以a <3
2
．
又a >0且a ≠1，所以0<a <1或1<a <3
2
．
所以实数a 的取值范围为(0,1)∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，32． (2)由(1)知函数t (x )＝3－ax 为减函数． 因为f (x )在区间[1,2]上单调递减，
所以y ＝log a t 在[1,2]上单调递增，所以a >1．
当x ∈[1,2]时，t (x )的最小值为3－2a ，f (x )的最大值为f (1)＝log a (3－a )，
所以⎩⎪⎨
⎪⎧
3－2a >0，log a 3－a
＝1，
即⎩⎪⎨⎪
⎧
a <32
，
a ＝3
2.
故不存在实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上单调递减，并且最大值为1．。