河北省石家庄正中实验中学2020_2021学年高一数学上学期第二次月考试题含解析

【 详 解 】 x 2 11 x 2 1,1 x 3 , 又 (1, 2) 1,3 ， 所 以 “ 1 x 2 ” 是
“ x 2 1”的充分不必要条件，选 A.
【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．
1．定义法：直接判断“若 p 则 q”、“若 q则 p ”的真假．并注意和图示相结合，例如 “ p ⇒ q”为真，则 p 是 q的充分条件． 2．等价法：利用 p ⇒ q与非 q⇒非 p ， q⇒ p 与非 p ⇒非 q， p ⇔ q与非 q⇔非 p 的等价关
对 【答案】B 【解析】 【分析】
根据题意，由于 x1, x2 2017, 且 x1 x2 ， f x1 f x2 x1 x2 0 ，利用单调性 的定义得出 f x 在区间 2017, 上单调递减，根据函数 y f x 2017 为奇函数，得
出 f 2017 0 ，且根据奇函数的性质，得出 f x 图象关于点 2017, 0 对称，从而得出
解得 m 2 或 m 3．
当 m 2 时， f x x3 ，在 0, 上为减函数，不合题意；
当 m 3 时， f x x2 ，在 0, 上为增函数，符合题意．
∴m3．
故选：C．
【点睛】本题考查幂函数的定义和性质，以及计算和判断能力，解题时根据幂函数的定义进
行求解即可，属于基础题．
（ ）.
A. －3
B. －2
C. 3
D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】
由函数 f x 为幂函数可得 m2 m 5 1 ，求出 m 的值后再进行验证，最后可得所求的值．
【详解】∵函数 f x m2 m 5 x m1 是幂函数，
∴ m2 m 5 1 ，即 m2 m 6 0 ，
6.
已知函数
f
(
x)
a x
,
x
1
在 , 上为增函数，则实数 a 的取值范围是
(3 2a)x 2, x 1
（）
A.
0,
3 2
B.
0,
3 2
C.
1,
3 2
D.
1,
3 2
【答案】C
【解析】
【分析】
若函数
f
x
a x
，x
1
a＞0 是 R 上的增函数，则 3 2a＞0
，解得答案.
3 2a x 2，x 1
2x
1 x2 x2
x
0
， 令 1 2x t
(t ¹
1) ， 则
x 1t 2
，所以
f
t
1
1
2
t
2
1t 2
(t
4 1)2
1 ，则
f
x
4 (x 1)2
1(x
1)
，
2
对于
A，
f
1 2
15 ，故
A
正确；
对于 B， f 2 3 ，故 B 错误；
对于
C，
f
x
(x
4 1)2
1(x
1)
，故
x Z ，
所以 A B 1, 0,1, 2 ，
所以 A B 中元素的个数为 4 .
故选：A
2. 设 x R ，则“1 x 2 ”是“| x 2 | 1”的（ ）
A. 充分而不必要条件 C. 充要条件 【答案】A 【解析】
B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【分析】 先解不等式，再根据两个解集包含关系得结果.
对 C： f x 的定义域为 R ， g x 的定义域为 ,1 1, ，定义域不同；
对 D： f x, g x 定义域都为 R ，且 g x x f x，故两函数相等；
故选： D .
【点睛】本题考查函数相等的判断，一般从定义域和对应关系入手考虑即可，同时要注意细
节即可. 5. 函数 f(，＋∞)时，f(x)是增函数，则 m 的值为
ab
a3 b2
A. 1
B. 2
C. 2
D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知条件得出
b
2a a3
，由
b
0
可得出
a
3
，将
b
2a a3
代入所求代数式并化简得出
2 3 2 a 3 ，利用基本不等式可求得所求代数式的最小值. a3 b2 a3 2
【详解】 正数
a
、b
满足
3 a
2 b
1，则
2 b
1
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，
则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这
个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
）
2
A. a b c
B. b c a
C. ab c
D.
b c 2a
【答案】AD
【解析】
【分析】
根据图象，确定 a ， b ， c 的值，代入验证即可．
【详解】由图，方程 f (g(x)) 1 ， 1 g(x) 0 ，此时对应 4 个解，故 a 4 ；
方程 g( f (x)) 1，得 f (x) 1或者 f (x) 1，此时有 2 个解，故 b 2 ； 方程 g(g(x)) 1 ， g(x) 取到 4 个值，如图所示：
10.
若函数
f
1
2
x
1
x
x2
2
x
0 ，则下列结论正确的是（
）
A.
f
1 2
15
B. f 2 3
4
C.
f
x
(x
4 1)2
1(x
0)
D.
f
1 x
4x2
x 12
1（
x
0且
x 1）
【答案】AD
【解析】
【分析】
先求出 f x 的表达式，进而对四个选项逐个分析，可选出答案.
【详解】由
f
1
3 a
a3 a
，b
2a a3
，
a
0，b
2a a3
0 ，可得
a
3，
所以，a
2 3
b
3
2
a
2 3
3 2a a3
2
a
2
3
3 6 a 1
a
2
3
a
3 2
2
a
2 3
a
3 2
2，
当且仅当
a
2 3
a
3 2
时，即当 a
b
5
时取等号．
因此，
a
2
3
b
3
2
的最小值为
2
.
故选：C．
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
f x 在 R 上单调递减，最后根据 a 2017 b 2017 0 且 a b 4034 ，结合单调性和
对称性，即可得出结论.
【详解】解：由题可知，定义在 R 上函数 f x ， x1, x2 2017, 且 x1 x2 ，
由于 f x1 f x2 x1 x2 0 ，则 f x 在区间2017, 上单调递减， 因为函数 y f x 2017 为奇函数，则 f x 2017 f x 2017 ，
1.
已知集合
A
x x
3 2
0 ，B
x | 3
x 2, x Z ，则 A B 中元素的个数为（
）
A. 4
B. 5
C. 6
D. 无数个
【答案】A
【解析】
【分析】
根据分式不等式的解法求出集合 A ，再利用集合的交运算即可求解.
【详解】由
A
x x
3 2
0
x
2
x
3
，
B
x
|
3
x
2,
当 x 0 时，则 f 2017 f 2017 ，即 f 2017 0 ，
又因为 y f x 2017 图象关于原点 0, 0 对称，则 f x 图象关于点 2017, 0 对称，
所以， f x 在 R 上单调递减，
因为 a 2017 b 2017 0 设 a b ，则 a 2017,b 2017 ，
2
即 2 g(x) 1 或 1 g(x) 0 或 0 g(x) 1或1 g(x) 2 ，则对应的 x 的解，有 6 个，
故c 6 . 根据选项，可得 A，D 成立. 故选：AD． 【点睛】考查函数图象的对应关系，基础题． 12. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字
误；
对于②，因为 c a b 0 ，所以 c a 0, c b 0, a b 0
所以 a b a(c b) b(c a) c(a b) 0 ，所以 a b ，所以②正
c a c b (c a)(c b) (c a)(c b)
ca cb
确；
对于③，因为 a b c 0 ，所以 a b 0
河北省石家庄正中实验中学 2020-2021 学年高一数学上学期第二次月
考试题（含解析）
（考试时间：120 分钟 分值：150 分） 注意事项： 1．答题时，务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2．答选择题时，用 2B 铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再 选涂其他答案标号. 3．答非选择题时，必须使用 0.5 毫米黑色签字笔把答案写在答题卡规定的位置上.答案如需 改正，请先划掉原来的答案，再写上新答案，不准使用涂改液、胶带纸、修正带. 4．考试结束后，只将答题卡交回. 一、单项选择题
C
错误；
对于
D，
f
1 x
(1
4 1)2
1
4x2 (x 1)2
1（
x
0且
x
1），故
D
正确.
x
故选：AD.
【点睛】本题考查函数解析式的求法，注意函数的定义域，属于基础题.
11. （多选题）已知函数 f (x) ， g(x) 的图象分别如图 1，2 所示，方程 f (g(x)) 1 ，
g( f (x)) 1， g(g(x)) 1 的实根个数分别为 a，b，c，则（
则有 f a 0, f b 0 ，
又因为 a b 4034 ，则 f a f b 0 .
故选：B.
【点睛】本题考查函数的基本性质的综合应用，考查单调性、奇偶性、对称性的定义和性质，
考查解题运算能力.
二、多项选择题
9. 给出下列四个命题：
①若 a b 且 1 1 ，则 ab 0 ； ab
所以 b c b a(b c) b(a c) c(a b) 0 ，所以 b b c ，所以③正确；
ac a
a(a c)
a(a c)
a ac
对于④，当 a 1, b 2 时， 1 1 1 1 1 4 ，所以④错误，
ab
22
故选：BC
【点睛】此题考查判断不等式是否成立问题，考查推理能力，属于基础题
C. f (x) x 1 , g(x) x2 1 x 1
D. f (x) x, g(x) 3 x3
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数定义域和对应关系，对每个选项进行逐一分析，即可容易判断.
【详解】对 A： f x 的定义域为 R ， g x 的定义域为0, ，定义域不同；
对 B： f x 的定义域为 R ， g x 的定义域为 , 0 0, ，定义域不同；
【分析】
利用根式的运算性质即可得出．
【详解】解：原式
1
a3
11
a2 a2
11
a3 a2
15
a2 6
5
a12
．
故选：B．
【点睛】本题考查了指数幂的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4. 下列各组函数表示同一函数的是（ ）
A. f (x) x2 , g(x) ( x )2
B. f (x) 1 , g(x) x 0
a 2a 3 2
【详解】∵函数
f
x
a ，x x
1
是 R 上的增函数，，
3 2a x 2，x 1
a＞0 ∴ 3 2a＞0 ，
a 2a 3 2
解得
a∈
1，32
，
故选：C
【点睛】本题考查的知识点是分段函数单调性的性质，首先保证每一段单增，再保证分段点
处增，属于中档题.
7. 若正数 a, b 满足 3 2 1，则 2 3 的最小值为（ ）
系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
3．集合法：若 A ⊆ B ，则 A 是 B 的充分条件或 B 是 A 的必要条件；若 A ＝ B ，则 A 是 B 的
充要条件．
3. 已知 a 0 ，则
1
a3
1
a2
a 化为（
）
7
A. a12
5
B. a12
【答案】B
5
C. a6
1
D. a3
【解析】
②若
c
a
b
0 ，则
c
a
a
c
b
b
；
③若
a
b
c
0
，则
b a
b a
c c
；
④若 a b 1，则 1 1 4 . ab
其中正确的命题是（ ）
A. ①
B. ②
C. ③
D. ④
【答案】BC
【解析】
【分析】
对于①，举反例可说明其错误；对于②，③，作差比较即可；对于④，举反例可说明其错误
【详解】解：对于①，当 a 1,b 2 时，满足 a b 且 1 1 ，但 ab 0 不成立，所以①错 ab
8. 已知定义在 R 上函数 f x ，对任意的 x1, x2 2017, 且 x1 x2 ，都有
f x1 f x2 x1 x2 0 ，若函数 y f x 2017 为奇函数，
a 2017 b 2017 0 且 a b 4034 ，则（ ）
A. f a f b 0 B. f a f b 0 C. f a f b 0 D. 以上都不