江西省赣州市赣县三中高二下学期三月强化训练数学(理)试卷

2020-2021学年高二理科数学（下)强化训练
一、单选题（每题5分，共30分）
1．若纯虚数z 满足()235z i mi ⋅-=+，则实数m 的值为（ ） A ．152
-
B ．
152
C ．103
-
D ．
103
2．下列命题正确的是
（1）命题“x R ∀∈，20x >”的否定是“0x R ∃∈，020x ≤”；
（2）l 为直线，α，β为两个不同的平面，若l β⊥，αβ⊥，则//l α； （3）给定命题p ，q ，若“p q ∧为真命题”，则p ⌝是假命题； （4）“1sin 2α=
”是“6
π
α=”的充分不必要条件． A ．（1）（4） B ．（2）（3） C ．（3）（4） D ．（1）（3）
3．设m ，n 是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面，给出下列四个命题： ①若//m α，//n β，//αβ，则//m n ； ②若αβ⊥，m β⊥，m α⊄，则//m α； ③若m n ⊥，m α⊥，//αβ，则//n β； ④若αβ⊥，l α
β=，//m α，m l ⊥，则m β⊥.其中正确的是（ ）
A ．①②
B ．②③
C ．②④
D ．③④ 4．若直线2y x b =-+为曲线x y x e =-的一条切线，则实数b 的值是（ ） A ．ln33-
B ．3ln33+
C ．ln33+
D ．3ln33-
5．已知抛物线C ：()2
20y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过F 的直线与抛物线C 交于点A ，B ，与l 交于点D ，若,
4BF DB =4AF =，则p =（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．6
6．三棱锥P ABC -内接于半径为2的球中，PA ⊥平面ABC ，2
BAC π
∠=，BC =则三棱锥P ABC -的体积的最大值是（ ）
A ．
B ．
C
D 二、填空题（每题5分，共15分）
7．函数1()(1)x f x x e a -=++在(1,(1))f 处的切线经过点()3,7 ，则实数a =___________. 8．点P 在边长为2的正方形ABCD 内运动，则动点P 到顶点A 的距离2PA <的概率为______.
9．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：()22
2210x y a b a b
+=>>的左焦点为F ，过点
F l 与C 在第二象限的交点为A ，若60AOF ∠=︒，则C 的离心率为
___________.
三、解答题（每题12分） 10．已知函数3()3f x x x =-.
（1）求曲线y =f (x )在点P (1，-2)处的切线方程；
（2）过点P (2，2)作曲线y =f (x )的切线，求此切线的方程.
11．在三棱锥P ABC -中，PAC ∆和PBC ∆的等边三角形，2AB =，O 是AB
中点，E 是BC 中点．
（Ⅰ）求证：平面PAB ⊥平面ABC ；
（Ⅱ）求直线PB 与平面PAC 所成角的正弦值的大小； （Ⅲ）在棱PB 上是否存在一点F ，使得B OF E --的余弦值为6
6
若存在，指出点F 在PB 上的位置；若不存在，说明理由．
参考答案
1．D 2．D 3．C 4．D 5．B 如图，
设准线与x 轴的交点为K ，作1AA l ⊥，1BB l ⊥，垂足分别为1A ，1B ， 则11////BB FK AA .又4DB BF =，所以11
4
BB BF DB ==
，设1DBB θ∠=，则11
cos ||4
BB DB θ=
=.因为11//BB AA ，所以11FAA DBB θ∠=∠=，所以11cos 4FAA ∠=，所以11
4134
KF AA AF =-=-=，即
3p =.故选：B .
6．C 【详解】由题意，三棱锥P ABC -内接于半径为2的球，PA ⊥平面ABC ，
2
BAC π
∠=，22BC =PA ，则()222
2R BC PA =+，即2168PA =+，解得22PA =则三棱锥的体积为
22112242
322AB AC V AB AC PA AB AC +=⨯⨯⨯⨯=⨯≤=
, 当且仅当2AB AC ==4
23
故选：C . 7．1-【分析】【详解】由1
()(1)x f x x e a -=++，
得()()1
2x f x e x -'=+，()13f '=，()12f a =+，而切线过点()3,7，从而有
()
72331a -+=-，解得1a =-，故答案为：1-.
8．4
π
【详解】由题可知当P A =2时是以A 为圆心2为半径的四分之一圆，
所以概率为P =2
14
44
r ππ
=.故答案为：4π 931【详解】解：设C 的右焦点为1F ，由直线l 360AFO ∠=︒， 又60AOF ∠=︒，AOF ∴为正三角形，即190FAF ∠=︒；
设12FF c =，则13AF c =，123a AF AF c c ∴=+=，
(
)
3131
c a
∴==+，即椭圆C 31.31. 10．（1）2y =-；（2）916y x =-与2y =.
【详解】解：（1）由题意可知2'()33f x x =-，则在1x =处的切线斜率()'10k f ==，
则在点P (1，-2)处的切线方程为：()201y x +=-，即切线方程为：2y =-.
（2）因为3
()3f x x x =-，所以设切点为(
)
3
0003,x x x -，斜率为2033k x =-
则所求切线方程为：(
)()
()3
20000333y x x x x x --=-- ①
因为切线过点P (2，2)，所以有()()()0
2030
23323x
x x x -=---
解得：01x =-或02x =代入①化简可得切线方程为：916y x =-或2y =.
11．（Ⅰ）见解析;（Ⅱ
）
3
;（Ⅲ）F 在棱PB 上靠近点B 的三等分点处． 【解析】试题解析：（Ⅰ）证明：连接OC ，PO ，ABC ∆中，O 为AB 中点，易得OC AB ⊥且1OC =．同理可得：PO AB ⊥，1PO =且，又
∵PC =∴90POC ∠=︒， ∴PO OC ⊥，又∵AB OC C ⋂=，∴PO ⊥平面ABC ，又∵PO ⊂平面PAB ， ∴平面PAB ⊥平面ABC ．
（Ⅱ）以O 为原点，以,,OB OC OP 方向分别为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系，
得()1,0,0B ，()0,0,1P ，()1,0,0A -，()0,1,0C ，
()()()1,0,1,1,0,1,1,1,0PB PA AC =-=--=,
设平面PAC 的一个法向量为(),,n x y z =，则有0x z --=，0x y +=，
()1,1,1,1,1,1x y z n =-==∴=-取，设直线PB 与面PAC 所成的角为θ，
则,323
sin cos PB n θ==
= （Ⅲ）设在棱PB 上存在点F ，设()1,0,1,BF BP λλ==--
()1101,0,22OE OF OB BF 易得，，，，λλ⎛⎫
==+=- ⎪⎝⎭
设平面EOF 的一个法向量为()1,,,n x y z =则有11
022x y +=，且()10x z λλ-+=，取
1x =，1y =，11z λ=-，∴11,1,1n λ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭，∵OC ⊥平面BOF ，∴设面BOF 的一个
法向量为()20,1,0n =．
设面BOF 与面EOF 所成二面角为
θ，12,cos cos n n θ==
=
则， 解得：13λ=
或1λ=-（舍），∴13
λ=． 所以存在点F 且当F 在棱PB 上靠近点B 的三等分点处，满足题意．。