高中数学 第二章231课时活页训练 必修5 试题

一、填空题
1．假设正数a ，b ，c 依次成公比大于1的等比数列，那么当x ＞1时，log a x ，log b x ，log c x ________.
①依次成等差数列； ②依次成等比数列；
③各项的倒数依次成等差数列； ④各项的倒数依次成等比数列． 答案：③
2．a ，b ，c ，d 是公比为2的等比数列，那么2a ＋b
2c ＋d 的值是__________．
解析：2a ＋b 2c ＋d ＝2a ＋2a 2a ×22＋a ×23＝423＋23＝14.
答案：14
3．数列{a n }是公比q ≠1的等比数列，那么{a n ＋a n ＋1}，{a n ＋1－a n }，{a n
a n ＋1
}，{na n }这四个数列中，是等比数列的是________．
解析：∵
a n ＋2＋a n ＋1
a n ＋1＋a n
＝q ，
a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n ＝q ，a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1
＝a 2n ＋1
a n ·a n ＋2
＝1.
∴以上三个数列均为等比数列． 而
n ＋1a n ＋1na n ＝n ＋1
n
·q 不是常数，
∴{na n }不是等比数列．
答案：{a n ＋a n ＋1}，{a n ＋1－a n }，{
a n
a n ＋1
} 4．以下命题中正确的选项是________． ①数列{2a n
}是等比数列(n ∈R )；
②假设b 2
＝ac ，那么a ，b ，c 成等比数列； ③假设－a
b ＝－b c
，那么－a ，b ，－c 成等比数列；
④假设数列{a n }的相邻两项满足关系式a n ＝a n －1q (q 为常数)，那么数列{a n }为等比数列． 解析：等比数列中首项、公比均不能为0.①中，假设a ＝0，那么{a n }不是等比数列；②中，假设a ＝b ＝c ＝0，那么{a n }不是等比数列；④中，假设q ＝0，那么{a n }不是等比数列．
答案：③
5．2a
＝3,2b
＝6,2c
＝12，那么a ，b ，c 的以下关系正确的选项是________． ①成等差数列不成等比数列； ②成等比数列不成等差数列； ③成等差数列又成等比数列； ④既不成等差数列又不成等比数列． 答案：①
6．假如a ，b ，c 都大于零，且a ，b ，c 既成等差数列，又成等比数列，那么a ，b ，c 的大小关系是__________．
解析：∵a ，b ，c 既成等差数列，又成等比数列， ∴2b ＝a ＋c ，即b ＝
a ＋c
2
.
又b 2
＝ac ，∴(a ＋c
2
)2
＝ac .
∴a ＝c .
又a ，b ，c 都大于零，∴a ＝b ＝c . 答案：a ＝b ＝c
7．x ,2x ＋2,3x ＋3是一个等比数列的前三项，那么其第四项等于__________． 解析：由得(2x ＋2)2
＝x (3x ＋3)． ∴x ＝－1或者－4.
假设x ＝－1，那么x ＋1＝0，不合题意， ∴x ＝－4，∴a 4＝－27
2.
答案：－27
2
8．假如a ，b ，c 成等比数列，那么函数f (x )＝ax 2
＋bx ＋c 的图象与x 轴交点的个数是__________．
解析：∵b 2
＝ac ，∴b 2
－4ac ＝－3b 2
<0. 答案：0
9．在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么a ＋b ＋c 的值是________．
答案：1 二、解答题
10．三个互不相等的数成等差数列，假如适当排列这三个数，也可以成等比数列，这三个数的和等于6，求此三数．
解：由题意可设此三数为a －d ，a ，a ＋d ，其中d ≠0， 那么有(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝6，所以a ＝2. ①假设a 为等比中项，那么a 2
＝(a －d )(a ＋d )．
解得d ＝0(舍去)；
②假设a ＋d 为等比中项，那么(a ＋d )2
＝a (a －d )． 解得d ＝－6，
从而此三数为8,2，－4；
③假设a －d 为等比中项，那么(a －d )2＝a (a ＋d )． 解得d ＝6，那么这三数为－4,2,8. 因此，此三数为－4,2,8或者8,2，－4.
11．a ，b ，c 是不为1的正数，x ＞0，y ＞0，z ＞0，且有a x ＝b y ＝c z
和1x ＋1z ＝2y
，求证：
a ，
b ，
c 顺次成等比数列．
证明：令a x ＝b y ＝c z
＝k ，
那么x ＝log a k ，y ＝log b k ，z ＝log c k . ∵1x ＋1z ＝2y ，∴1log a k ＋1log c k ＝2log b k
. ∴lg a lg k ＋lg c lg k ＝2lg b lg k
，即lg a ＋lg c ＝2lg b . ∴b 2
＝ac .∵a ，b ，c 均不为0， ∴a ，b ，c 成等比数列．
12．三个数成等差数列，其和为126.另外三个数成等比数列，把两个数列的对应项依次相加，分别得到85,76,84，求这两个数列．
解：设成等差数列的三个数为b －d ，b ，b ＋d ，由，得b －d ＋b ＋b ＋d ＝126，∴b ＝42. ∴这三个数可写成42－d ,42,42＋d . 再设另三个数为a ，aq ，aq 2
.由题设，得
⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＋42－d ＝85，aq ＋42＝76，aq 2＋42＋d ＝84.
整理，得⎩⎪⎨⎪
⎧
a －d ＝43，aq ＝34，
aq 2＋d ＝42.
解这个方程组，得a ＝17或者a ＝68. 当a ＝17时，q ＝2，d ＝－26. 当a ＝68时，q ＝1
2
，d ＝25.
所以成等比数列的三个数为17,34,68，此时成等差数列的三个数为68,42,16；或者者成等比数列的三个数为68,34,17，此时成等差数列的三个数为17,42,67.
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