1.3.2函数的奇偶性

问题3：偶函数的图像有什么特点？
（关于y轴对称）
f(x)为偶函数
f(x)的图像关于y轴对称
问题4：如何判断一个函数是偶函数？ 1 形----函数图像关于y轴对称（图像容易
画出的函数） 2数----利用定义
（1）首先确定函数的定义域，并判断其定义 域是否关于原点对称
（2） 确定f(x)于f(-x)的关系 （3） 若f(-x)= f(x)，则f(x)是偶函数 问题5：请举出一些偶函数，为什么它是偶函数？
例1 判断下列函数是不是奇函数：
（1）f（x）=
1 x
；
（3）f（x）= x +1 ；
（2）f（x）= -x3 ； （4）f（x）= x + x3 + x5 + x7．
解: （3）函数 f（x）= x+1 的定义域为R， 所以定义域关于坐标原点对称． 因为f（-x）= -x +1 - f（x）= -（ x + 1 ） = - x - 1 ≠ f（ - x）， 所以函数 f（x）= x+1 不是奇函数．
因为 f（-x）=
1
-x
=-
1 x
= - f（x），
所以函数 f（x）=
1 x
是奇函数．
例1 判断下列函数是不是奇函数：
（1）f（x）=
1 x
；
（3）f（x）= x +1 ；
（2）f（x）= -x3 ； （4）f（x）= x + x3 + x5 + x7．
解: （2）函数 f（x）= -x3 的定义域为R， 所以定义域关于坐标原点对称． 因为 f（-x）= -(-x)3 = x3 = - f（x）， 所以函数 f（x）= -x3 是奇函数．
奇函数的定义域对应的区间关于坐标原点对称．
例1 判断下列函数是不是奇函数：
（1）f（x）=
1 x
；
（3）f（x）= x +1 ；
（2）f（x）= -x3 ； （4）f（x）= x + x3 + x5 + x7．
解:
（1）函数
f（x）=
1 x
的定义域为A = { x | x ≠ 0} ，
所以定义域关于坐标原点对称．
偶函数的图象特征
(-x，f(-x))
(x，f(x))
1
以y
轴为对称轴的轴对称图形．
-1
O
-1
1
x
定义域对应的区间关于坐标原点对称．
偶函数图象是以y 轴为对称轴的轴对称图形
问题1：研究函数优先考虑定义域，偶函数的定义 域有什么要求？
（定义域关于原点对称）
问题2：为什么强调任意和都有？
（说明具有一般性，避免特殊性）
函数
函
函数
数
函数
1.3.2 函数的奇偶性
而我们所学习的函数图像也有类似的 对称现象，请看下面的函数图像。
学情调查，情景导入
观察下面两组图像，它们是否也有对称性呢？ y
（1）
fx = x3
-O
x0
x0
x
（2）
y f(x)=x2
-1 O 1 x
f (x) 1 (x 0) x
fx = x
1
f (1) = 1 ；f (-1) = -1 ；
-1-O1
f (-x) = -x3 =- f (x)
图象都是以坐标原点为对称中心的中心对称图形
f (x) = x3 1x
奇函数的定义
如果对于函数 y = f (x)的定义域 A内的任意一个 x, 都有 f (-x) = -f (x)，则这个函数叫做奇函数.
y
f (-x) = -f (x)
1
(-x，f(-x))-1-O1
y=f(x) (x，f(x))
1x
奇函数的图象特征 以坐标原点为对称中心的中心对称图形.
奇函数图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形
问题1：什么是奇函数？
定义：一般地对于函数f(x)的定义域内任意一个x，
都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫奇函数。
问题2 ：奇函数的定义域有什么要求？
奇函数的定义域关于原点对称
问题3：为什么强调任意和一般？
（说明具有一般性，避免特殊性）
问题4：奇函数的图像有什么特点？
函数的图像关于原点对称
f(x)为奇函数
f(x)的图像关于原点对称
改变奇函数的定义域，它还是奇函数吗？
y = x3 (x≠0)
y
y = x3 (x≠1)
例1 判断下列函数是不是奇函数：
（1）f（xБайду номын сангаас=
1 x
；
（3）f（x）= x +1 ；
（2）f（x）= -x3 ； （4）f（x）= x + x3 + x5 + x7．
解: （4）函数 f（x）= x + x3 + x5 + x7的定义域为R， 所以定义域关于坐标原点对称． f（-x）= - x + (- x)3 + (- x)5 + (- x)7
例2 判断下列函数是不是偶函数： （1）f（x）= x2 + x4 ； （2）f（x）= x2 + 1； （3）f（x）= x2 + x3 ； （4）f（x）= x2 + 1 ，x[-1， 3]．
y
y = x3 (x≥0)
y
y=x3 (－1≤x≤1)
y
1
-1-O1 1 x
1
-1 O 1 x -1
1
-1-O1 1 x
1
-1-O1 1 x
是
否
否
是
奇函数的定义域对应的区间关于坐标原点对称．
判断下列函数是奇函数吗？ （1） f (x) = x3，x[－1，3]； 否 （2） f (x) = x，x(－1，1]． 否
= - (x + x3 + x5 + x7) = - f（x） ． 所以函数 f（x）= x + x3 + x5 + x7是奇函数．
是 不是
是 不是
偶函数的定义 如果对于函数 y = f (x)的定义域A内的任意一个 x, 都有 f (-x) = f (x)，则这个函数叫做偶函数.
y
y=f(x)
试一试
例2 判断下列函数是不是偶函数： （1）f（x）= x2 + x4 ； （2）f（x）= x2 + 1； （3）f（x）= x2 + x3 ； （4）f（x）= x2 + 1 ，x[-1， 3]．
解： （1）函数 f（x）= x2 + x4 的定义域为R， 所以定义域关于坐标原点对称． 因为 f（-x）= (-x)2 +(- x)4 = x2 + x4 = f（x）， 所以函数 f（x）= x2 + x4 是偶函数．
求值并观察总结规律
1. 已知 f (x) = 2x， 则 f (2) = 4 ；f (-2) = -4 ；
f (1) = 2 ；f (-1) = -2 ；
f (-x) = -2x =- f (x)
y
1
-1-O1
f (x) = 2x 1x
2. 已知 f (x) = x3，
y
则 f (2) = 8 ；f (-2) = -8 ；