北师版数学高一-课时作业两角和与差的正切函数

2.3 两角和与差的正切函数
一、选择题
1．若tan α＝13，tan(α＋β)＝12
，则tan β等于( ) A.17 B.16 C.57 D.56
2.3tan 23°tan 97°－tan 23°－tan 97°的值为( )
A ．2
B ．2 3 C. 3 D ．0
3．已知tan(α＋β)＝25
，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值为( ) A.322 B.2213 C.1318 D.16
4．A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，且tan A ，tan B 是方程3x 2－5x ＋1＝0的两个实数根，则△ABC 是( )
A ．钝角三角形
B ．锐角三角形
C ．直角三角形
D ．无法确定
5．若tan 28°tan 32°＝a ，则tan 28°＋tan 32°等于( ) A.3a B.3(1－a ) C.3(a －1) D.3(a ＋1)
6．设向量a ＝(cos α，－1)，b ＝(2，sin α)，若a ⊥b ，则tan ⎝⎛⎭
⎫α－π4等于( ) A ．－13 B.13
C ．－3
D ．3 7．在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋tan C ＝33，tan 2B ＝tan A ·tan C ，则B 等于( )
A ．30°
B ．45°
C ．120°
D ．60°
二、填空题
8．(1＋tan 21°)(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)(1＋tan 24°)＝________.
9.tan 75°－tan 15°1＋tan 75°tan 15°
＝________. 10．已知α，β均为锐角，且tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α
，则tan(α＋β)＝________. 三、解答题
11．如果tan α，tan β是方程x 2－3x －3＝0的两根，求sin (α＋β)cos (α－β)
的值．
12．已知tan(π4＋α)＝12
. (1)求tan α的值；
(2)求2sin αcos α－cos 2α2cos 2α
的值．
13.已知tan α，tan β是方程6x 2－5x ＋1＝0的两根，且0<α<π2，π<β<3π2
，求tan(α＋β)及α＋β的值．
四、探究与拓展
14.如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，D 为垂足，AD 在△ABC 的外部，且BD ∶CD ∶AD ＝2∶3∶6，则tan ∠BAC ＝__________.
15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为210，255
.
(1)求tan(α＋β)的值；
(2)求α＋2β的值．
答案精析
1．A 2.C 3.A 4.A 5.B 6.B 7.D 8．4 9.3 10.1
11．解 sin (α＋β)cos (α－β)＝sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β＋sin αsin β
＝
tan α＋tan β1＋tan αtan β＝31＋(－3)＝－32. 12．解 (1)∵tan(π4＋α)＝12
， ∴1＋tan α1－tan α＝12
， ∴2＋2tan α＝1－tan α，
∴tan α＝－13
. (2)2sin αcos α－cos 2α2cos 2α＝tan α－12
＝－13－12＝－56
. 13．解 ∵tan α，tan β是方程6x 2－5x ＋1＝0的两根，
∴tan α＋tan β＝56，tan αtan β＝16
， ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝56
1－16
＝1. ∵0<α<π2，π<β<3π2
， ∴π<α＋β<2π，∴α＋β＝5π4
. 14.17
15．解 由条件得cos α＝
210，cos β＝255. ∵α，β为锐角，
∴sin α＝1－cos 2α＝7210，
sin β＝1－cos 2β＝55
. 因此tan α＝sin αcos α＝7，tan β＝sin βcos β＝12
. (1)tan(α＋β)＝tan α＋tan β
1－tan αtan β
＝7＋1
21－7×1
2
＝－3.
(2)∵tan 2β＝tan(β＋β)＝2tan β
1－tan 2β
＝2×1
21－⎝⎛⎭⎫122＝43
，
∴tan(α＋2β)＝tan α＋tan 2β
1－tan αtan 2β
＝7＋4
31－7×4
3
＝－1.
又∵α，β为锐角，∴0<α＋2β<3π
2，
∴α＋2β＝3π
4.。