2017高考数学(理)(新课标版)考前冲刺复习讲义：第2部分专题7第2讲不等式选讲含答案

第2讲不等式选讲
含绝对值不等式的解法共研典例类题通法
1．|ax＋b｜≤c,|ax＋b|≥c型不等式的解法
(1）若c＞0，则｜ax＋b｜≤c⇔－c≤ax＋b≤c，|ax＋b｜≥c⇔ax＋b≥c,或ax＋b≤－c，然后根据a，b的取值求解即可；
（2）若c＜0，则|ax＋b|≤c的解集为∅，｜ax＋b｜≥c的解集为R。

2．|x－a|＋|x－b|≥c，｜x－a｜＋|x－b｜≤c型不等式的解法
（1)令每个绝对值符号里的一次式为0，求出相应的根；
（2)把这些根由小到大排序，它们把数轴分为若干个区间;
（3)在所分区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符号，讨论所得的不等式在这个区间上的解集;
（4)这些解集的并集就是原不等式的解集．
（2016·武汉模拟)设函数f(x)＝|kx－1｜(k∈R）．
(1）若不等式f(x）≤2的解集为错误!,求k的值；
(2)若f(1)＋f（2)＜5，求k的取值范围．
【解】(1）由｜kx－1｜≤2，得－2≤kx－1≤2，
所以－1≤kx≤3，所以－错误!≤错误!x≤1.
由已知,得错误!＝1，所以k＝3。

(2）由已知，得｜k－1|＋|2k－1|＜5。

当k≤错误!时,－(k－1)－（2k－1）＜5，得k＞－1，此时－1＜k≤
错误!；
当错误!＜k≤1时，－(k－1）＋（2k－1）＜5，得k＜5,此时错误!＜k≤1；
当k＞1时，(k－1)＋（2k－1）＜5，得k＜错误!，此时1＜k＜错误!。

综上，k的取值范围是错误!.
用零点分段法解绝对值不等式的步骤
(1）求零点．
(2）划区间，去绝对值号．
(3)分别解去掉绝对值号的不等式．
（4）取每个结果的并集，注意在分段讨论时不要遗漏区间的端
点值．
［题组通关］
1．（2016·高考全国卷乙）已知函数f(x)＝｜x＋1|－|2x－3|.
(1)画出y＝f(x)的图象；
（2)求不等式｜f （x ）|＞1的解集．
[解］ (1）f (x ）＝错误!
y ＝f （x ）的图象如图所示．
(2）由f (x )的表达式及图象知,当f （x ）＝1时，可得x ＝1或x ＝3；
当f (x )＝－1时，可得x ＝13
或x ＝5, 故f (x )＞1的解集为｛x |1＜x ＜3｝；f (x )＜－1的解集为错误!。

所以｜f （x ）|＞1的解集为错误!.
2．(2016·贵阳模拟）已知函数f （x ）＝|x ＋a |＋｜x －2｜.
(1）当a ＝－4时，求不等式f （x ）≥6的解集;
（2)若f （x ）≤｜x －3|的解集包含[0，1］，求实数a 的取值范围．
[解］(1）当a＝－4时，f(x)≥6,即|x－4｜＋｜x－2|≥6，
即错误!或错误!
或错误!,
解得x≤0或x≥6。

所以原不等式的解集为(－∞,0］∪［6，＋∞）．
(2)由题可得f（x)≤|x－3|在[0，1]上恒成立，
即|x＋a｜＋2－x≤3－x在［0，1]上恒成立，
即－1－x≤a≤1－x在［0,1］上恒成立,
即－1≤a≤0.
3．设函数f(x）＝|x－a|＋｜x－2|.
（1)当a＝2时,解不等式f（x)≥4＋｜x－2｜－|x－1｜；
（2)若不等式f（x）≤1＋｜x－2｜的解集为［0，2]，错误!＋错误!＝a(m>0，n〉0），求证:m＋2n≥4.
［解］(1）当a＝2时，不等式f(x）≥4＋｜x－2｜－|x－1｜可以化简为｜x－2｜＋｜x－1|≥4。

由绝对值不等式的几何意义可得，
不等式的解集为错误!∪错误!。

(2)证明：化简f(x）≤1＋|x－2|，得|x－a｜≤1,
解得a－1≤x≤a＋1,
而f(x）≤1＋｜x－2｜的解集为［0，2］，
所以错误!解得a＝1，
所以错误!＋错误!＝1（m >0,n 〉0），
所以m ＋2n ＝(m ＋2n )错误!＝2＋错误!＋错误!≥4(当且仅当错误!＝错误!，即m ＝2，n ＝1时等号成立)．
不等式的证明 共研典例 类题通法
证明不等式的基本方法
（1)比较法：作差或作商比较．
(2)综合法：根据已知条件、不等式的性质、基本不等式，通过逻辑推理导出结论．
（3)分析法：执果索因的证明方法．
(4）反证法：反设结论，导出矛盾．
（5）放缩法：通过把不等式中的部分值放大或缩小的证明方法． (2016·贵州模拟)已知函数f （x )＝2｜x ＋1｜＋|x －2|。

(1)求f （x ）的最小值m ；
（2)若a ，b ,c 均为正实数，且满足a ＋b ＋c ＝m ,求证：b 2a
＋错误!＋错误!≥3。

【解】 （1）当x ＜－1时，f （x )＝－2（x ＋1)－（x －2)＝－3x ∈（3，＋∞)；
当－1≤x＜2时,f（x）＝2（x＋1)－（x－2)＝x＋4∈[3，6)；
当x≥2时,f(x）＝2(x＋1）＋（x－2)＝3x∈[6，＋∞）．
综上，f（x)的最小值m＝3。

（2）证明：a，b,c均为正实数，且满足a＋b＋c＝3，
因为错误!＋错误!＋错误!＋(a＋b＋c)
＝错误!＋错误!＋错误!
≥2错误!＝2（a＋b＋c）．
（当且仅当a＝b＝c＝1时，取“＝”）
所以错误!＋错误!＋错误!≥a＋b＋c，即错误!＋错误!＋错误!≥3.
证明方法的选择
不等式证明的常用方法有比较法、分析法、综合法、反证法等．如果已知条件与待证结论直接联系不明显，可考虑用分析法；如果待证命题是否定性命题、唯一性命题或以“至少”“至多"等方式给出的，则考虑用反证法．在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明．
[题组通关］
1．（2016·桂林模拟）已知f（x）＝|x＋1|＋｜x－1|，不等式f(x)＜4的解集为M。

（1）求M；
(2)当a，b∈M时，证明：2｜a＋b｜＜｜4＋ab|。

[解］(1）①当x≥1时,解得1≤x＜2；
②当－1≤x＜1时，解得－1≤x＜1;
③当x＜－1时，解得－2＜x＜－1.
综上,不等式的解集M＝（－2，2)．
(2)证明：要证明原不等式成立，则需证明4(a2＋2ab＋b2)＜a2b2＋8ab＋16，
只需证明a2b2－4a2－4b2＋16＞0，
即需证明（a2－4）（b2－4）＞0。

因为a，b∈（－2，2)，所以a2＜4，b2＜4,
所以a2－4＜0，b2－4＜0，
所以(a2－4）（b2－4)＞0，所以原不等式成立．
2．（2016·山西高三质量检测）设a，b,c，d均为正数,且a－c ＝d－b，证明:
（1)若ab＞cd，则a＋错误!＞错误!＋错误!;
(2)错误!＋错误!＞错误!＋错误!是|a－b｜＜|c－d｜的充要条件．
[证明] (1)因为（错误!＋错误!)2＝a＋b＋2错误!，(错误!＋错误!）2＝c＋d ＋2cd,
由a＋b＝c＋d，ab＞cd，得(错误!＋错误!)2＞（错误!＋错误!）2，
所以错误!＋错误!＞错误!＋错误!.
（2)①若｜a－b|＜｜c－d|，则(a－b）2＜(c－d）2，
即（a＋b）2－4ab＜（c＋d）2－4cd.
因为a＋b＝c＋d,所以ab＞cd。

由(1）得错误!＋错误!＞错误!＋错误!.
②若错误!＋错误!＞错误!＋错误!，则（错误!＋错误!)2＞（错误!＋错误!)2，即a＋b＋2错误!＞c＋d＋2错误!.
因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd.
于是（a－b）2＝（a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd＝（c－d）2。

所以｜a－b|＜|c－d|。

综上，错误!＋错误!＞错误!＋错误!是｜a－b|＜|c－d|的充要条件．
3．设x≥1，y≥1，求证x＋y＋错误!≤错误!＋错误!＋xy。

［证明］由于x≥1，y≥1，
要证x＋y＋错误!≤错误!＋错误!＋xy,
只需证xy(x＋y)＋1≤y＋x＋（xy)2.
因为[y＋x＋(xy)2]－[xy（x＋y)＋1］
＝[（xy）2－1]－[xy（x＋y）－(x＋y）]
＝（xy＋1）（xy－1）－(x＋y）(xy－1)
＝(xy－1)（xy－x－y＋1)
＝（xy－1)（x－1）（y－1），
因为x≥1,y≥1，
所以（xy－1）（x－1）(y－1)≥0，
从而所要证明的不等式成立．
含绝对值不等式的恒成立问题
共研典例类题通法
1．f(x)＞a恒成立⇔f(x）min＞a；f(x）＜a恒成立⇔f（x）max＜a；f(x）＞a有解⇔f（x）max＞a；f(x）＜a有解⇔f（x)min＜a；f(x)＞a无解⇔f（x）max≤a；f(x)＜a无解⇔f（x)min≥a。

2．定理1:如果a，b是实数,则|a＋b｜≤|a｜＋｜b|，当且仅当ab≥0时,等号成立．
定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c｜≤|a－b｜＋｜b－c｜，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时,等号成立．
（2016·高考全国卷丙)已知函数f（x）＝|2x－a｜＋a。

(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；
(2）设函数g(x)＝｜2x－1|。

当x∈R时，f（x）＋g（x）≥3,求a的取值范围．
【解】(1）当a＝2时，f(x)＝|2x－2｜＋2.
解不等式|2x－2|＋2≤6得－1≤x≤3。

因此f(x)≤6的解集为{x｜－1≤x≤3}．
（2）当x∈R时，
f（x)＋g(x）＝|2x－a｜＋a＋|2x－1｜
≥|2x－a＋1－2x|＋a
＝｜1－a|＋a,
所以当x∈R时，f(x）＋g（x)≥3等价于|1－a｜＋a≥3.①
当a≤1时，①等价于1－a＋a≥3，无解．
当a＞1时，①等价于a－1＋a≥3，解得a≥2。

所以a的取值范围是［2，＋∞）．
解决含参数的绝对值不等式问题常用的两种方法（1）将参数分类讨论,将其转化为分段函数解决；
（2)借助于绝对值的几何意义，先求出f（x)的最值或值域，然后再根据题目要求，求解参数的取值范围．
[题组通关］
1．（2016·长春模拟）设函数f（x)＝|x＋2|＋|x－a｜（a∈R）．(1）若不等式f（x）＋a≥0恒成立，求实数a的取值范围；
(2）若不等式f（x）≥错误!x恒成立，求实数a的取值范围．
［解］（1)当a≥0时，f（x）＋a≥0恒成立，当a＜0时，要
保证f(x)≥－a恒成立，即f(x)的最小值｜a＋2|≥－a,解得－1≤a＜0，故a≥－1.
(2）由题意可知，函数y＝f（x）的图象恒在直线y＝错误!x的上方,画出两个函数图象可知,当a≤－2时，符合题意，当a＞－2时，只需满足点（a，a＋2）不在点错误!的下方即可，所以a＋2≥错误!a,即－2＜a≤4.
综上，实数a的取值范围是(－∞，4］．
2．（2016·兰州市诊断考试)设函数f(x）＝|2x－1|－｜x＋2|.
（1）解不等式f（x)〉0；
（2）若∃x0∈R，使得f(x0)＋2m2<4m，求实数m的取值范围．[解］（1)不等式f（x）〉0,即｜2x－1｜>｜x＋2|，
即4x2－4x＋1>x2＋4x＋4，
3x2－8x－3>0，解得x<－错误!或x>3,
所以不等式f(x）〉0的解集为{x|x<－错误!或x〉3｝．
(2)f(x)＝｜2x－1|－｜x＋2｜＝错误!
故f(x）的最小值为f（错误!)＝－错误!。

因为∃x0∈R，使得f（x0）＋2m2〈4m，
所以4m－2m2〉－错误!，
解得－错误!<m<错误!。

3．(2016·南昌模拟）设函数f（x）＝｜2x＋1｜－|x－3|。

（1）解不等式f(x)>0；
(2）已知关于x的不等式a－3|x－3|<f（x)恒成立，求实数a的取值范围．
［解] (1)不等式f(x)>0等价于｜2x＋1｜>|x－3｜，
两边平方得4x2＋4x＋1>x2－6x＋9，即3x2＋10x－8〉0，
解得x<－4或x>错误!，所以原不等式的解集是
错误!.
(2）不等式a－3｜x－3｜<f（x）等价于a<｜2x＋1|＋2|x－3｜,因为｜2x＋1｜＋2|x－3|≥｜（2x＋1)－2(x－3）|＝7，所以a 的取值范围是(－∞，7）．
课时作业
1．（2016·长春七校联考)已知函数f(x)＝｜x＋3｜＋|x－1|,其最小值为t。

(1)求t的值；
（2)若正实数a，b满足a＋b＝t，求证：1
a＋错误!≥错误!。

［解] (1）法一：因为f（x）＝错误!
根据函数f（x）的图象分析可得f(x）的最小值为4,故t＝4。

法二:因为|x＋3|＋|x－1｜＝|x＋3｜＋|1－x|≥|x＋3＋1－x|＝4，可知f(x)min＝4，即t＝4。

法三：｜x＋3｜＋|x－1｜表示数轴上的动点x到－3和1的距离之和，故｜x＋3|＋|x－1|≥4，当且仅当－3≤x≤1时,取得最小值4，即t＝4。

（2）证明：由(1)得a＋b＝4,故a
4
＋错误!＝1，错误!＋错误!＝错误!错误!＝
错误!＋1＋错误!＋错误!≥错误!＋2错误!＝错误!＋1＝错误!，当且仅当b＝2a，即a＝错误!，b＝错误!时取等号．故错误!＋错误!≥错误!。

2．（2016·高考全国卷甲）已知函数f(x）＝错误!＋错误!,M为不等式f（x）＜2的解集．
(1）求M；
(2)证明:当a，b∈M时，|a＋b|＜｜1＋ab｜。

［解] (1）f（x）＝错误!
当x≤－错误!时，由f（x)＜2得－2x＜2，解得x＞－1，
所以－1＜x≤－错误!;
当－错误!＜x＜错误!时,f（x）＜2恒成立;
当x≥错误!时，由f（x)＜2得2x＜2,解得x＜1，
所以错误!≤x＜1。

所以f（x)＜2的解集M＝{x|－1＜x＜1｝．
（2)证明:由(1）知,当a，b∈M时，－1＜a＜1,－1＜b＜1,从而(a ＋b)2－(1＋ab）2＝a2＋b2－a2b2－1＝(a2－1)（1－b2）＜0。

因此｜a
＋b｜＜｜1＋ab｜。

3．(2016·东北四市教研联合体）已知∃x0∈R使得关于x的不等式|x－1|－|x－2|≥t成立．
（1)求满足条件的实数t的集合T；
(2）若m＞1，n＞1，且对于∀t∈T，不等式log3m·log3n≥t恒成立，试求m＋n的最小值．
[解] (1)||x－1|－｜x－2|｜≤｜x－1－（x－2）｜＝1，
所以|x－1｜－|x－2｜≤1,
所以t的取值范围为（－∞，1］，
T＝{t｜t≤1}．
(2)由（1)知，对于∀t∈T,不等式log3m·log3n≥t恒成立，所以log3m·log3n≥1，
又m＞1,n＞1，所以log3m＞0，log3n＞0。

又1≤log3m·log3n≤错误!错误!＝错误!(当且仅当log3m＝log3n时,取等号，此时m＝n),
所以［log3(mn）］2≥4,
所以log3(mn）≥2，mn≥9,
所以m＋n≥2mn≥6,即m＋n的最小值为6(此时m＝n＝3)．4．（2016·哈尔滨四校联考)已知函数f（x）＝|x＋1|，g(x）＝
2|x|＋a。

（1）当a＝－1时,解不等式f(x)≤g（x）;
(2）若存在x0∈R,使得f（x0）≥错误!g（x0）,求实数a的取值范围．
［解］（1）当a＝－1时，不等式f(x）≤g（x），
即|x＋1|≤2|x|－1,
从而错误!即x≤－1，
或错误!即－1＜x≤－错误!,
或错误!即x≥2。

从而不等式f(x）≤g（x）的解集为错误!。

(2）存在x0∈R，使得f(x0）≥错误!g(x0），即存在x0∈R,使得｜x0＋1｜≥|x0｜＋错误!，
即存在x0∈R,使得错误!≤｜x0＋1｜－|x0｜.
设h(x)＝｜x＋1|－｜x｜＝错误!，则h（x）的最大值为1，因而错误!≤1，即a≤2.
5．(2016·福建省毕业班质量检测)已知函数f（x）＝｜x＋1|.
（1）求不等式f(x）<|2x＋1|－1的解集M;
(2)设a，b∈M,证明：f(ab）〉f(a）－f（－b)．
［解] （1）①当x≤－1时，原不等式可化为－x－1〈－2x－2，
解得x<－1;
②当－1〈x〈－错误!时,原不等式可化为x＋1<－2x－2，解得x<－1，此时原不等式无解；
③当x≥－错误!时，原不等式可化为x＋1<2x，
解得x〉1。

综上，M＝｛x|x〈－1或x>1}．
（2)证明：因为f（a)－f（－b)＝｜a＋1|－|－b＋1|≤｜a＋1－(－b＋1）｜＝|a＋b｜,
所以，要证f（ab)〉f(a）－f（－b）,
只需证｜ab＋1|〉｜a＋b｜,
即证(ab＋1)2>(a＋b)2，
即证a2b2＋2ab＋1>a2＋2ab＋b2，
即证a2b2－a2－b2＋1>0，即证（a2－1)（b2－1）>0。

因为a,b∈M,所以a2>1,b2〉1，所以(a2－1）(b2－1）>0成立，所以原不等式成立．
6．（2016·河南六市联考）设函数f(x）＝｜x－a｜，a＜0.
(1)证明：f（x)＋f错误!≥2；
(2）若不等式f(x)＋f(2x）＜错误!的解集非空,求a的取值范围．[解］(1)证明:由函数f(x）＝｜x－a|，a＜0，
则f（x）＋f错误!＝｜x－a|＋错误!＝|x－a｜＋错误!
≥错误!
＝错误!
＝|x|＋
1 |x｜
≥2 错误!
＝2（当且仅当|x|＝1时取等号）．
(2）f（x）＋f(2x）＝|x－a｜＋｜2x－a|,a＜0。

当x≤a时,f(x)＋f（2x)＝a－x＋a－2x＝2a－3x，
则f（x）＋f（2x）≥－a；
当a＜x＜错误!时,f(x）＋f（2x）＝x－a＋a－2x＝－x，则－错误!＜f(x)＋f（2x)＜－a；
当x≥a
2
时,f（x)＋f（2x)＝x－a＋2x－a＝3x－2a，则f(x)＋f（2x）≥－错误!，则f(x）＋f（2x）的值域为错误!，
不等式f(x）＋f(2x)＜错误!的解集非空，即为错误!＞－错误!，
解得a＞－1，由于a＜0，
所以a的取值范围是（－1,0)．。