高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.2复数的几何意义学案新人教A版选修2-2(2021年整

（浙江专版）2018年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.2 复数的几何意义学案新人教A版选修2-2
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3．1。

2 复数的几何意义
预习课本P104~105，思考并完成下列问题
（1）复平面是如何定义的，复数的模如何求出？
(2）复数与复平面内的点及向量的关系如何？复数的模是实数还是复数？
错误!
1．复平面
2．复数的几何意义
.
3．复数的模
(1）定义：向量错误!的模r叫做复数z＝a＋b i(a,b∈R)的模．
(2）记法：复数z＝a＋b i的模记为|z｜或|a＋b i|。

（3)公式：｜z｜＝｜a＋b i｜＝r＝a2＋b2(r≥0,r∈R）．
[点睛] 实轴、虚轴上的点与复数的对应关系
实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为
（0,0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数．
错误!
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”）
(1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．（)
（2）在复平面内,虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数．( )
(3)复数的模一定是正实数．( )
答案：（1)√（2）×(3）×
2．已知复数z＝i，复平面内对应点Z的坐标为（)
A．(0,1) B．（1,0）C．(0,0) D．(1，1)
答案:A
3．向量a＝(1，－2)所对应的复数是（)
A．z＝1＋2i B．z＝1－2i
C．z＝－1＋2i D．z＝－2＋i
答案：B
4．已知复数z的实部为－1，虚部为2，则|z|＝________。

答案：错误!
复数与点的对应关
系
［典例] 错误!R）对应的点Z满足下列条件：
（1）在复平面的第二象限内．
(2)在复平面内的x轴上方．
［解] （1)点Z在复平面的第二象限内,
则错误!
解得a＜－3。

（2)点Z在x轴上方，
则错误!
即(a＋3）（a－5)＞0，解得a＞5或a＜－3.
[一题多变］
1．[变设问]本例中题设条件不变，求复数z表示的点在x轴上时,实数a的值．
解：点Z在x轴上，所以a2－2a－15＝0且a＋3≠0，
所以a＝5.
故a＝5时，点Z在x轴上．
2．[变设问］本例中条件不变,如果点Z在直线x＋y＋7＝0上，求实数a的值．
解：因为点Z在直线x＋y＋7＝0上，
所以错误!＋a2－2a－15＋7＝0，
即a3＋2a2－15a－30＝0,
所以(a＋2）(a2－15)＝0，故a＝－2或a＝±错误!.
所以a＝－2或a＝±错误!时,点Z在直线x＋y＋7＝0上．
利用复数与点的对应解题的步骤
（1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋b i(a，b∈R）可以用复平面内的点Z（a，b)来表示，是解决此类问题的根据．
（2）列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件,通过解方程（组）或不等式(组)求解．
复数的模
[典例］（1）若复数z对应的点在直线y＝2x上,且｜z|＝错误!，则复数z＝( ）A．1＋2i B．－1－2i
C．±1±2i D．1＋2i或－1－2i
(2）设复数z1＝a＋2i,z2＝－2＋i，且|z1｜＜｜z2|，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(1，＋∞） B．(－1，1)
C．（1，＋∞) D．（0，＋∞）
[解析] (1)依题意可设复数z＝a＋2a i（a∈R),
由|z｜＝错误!得错误!＝错误!，
解得a＝±1，故z＝1＋2i或z＝－1－2i。

（2）因为|z1|＝错误!，|z2|＝错误!＝错误!，
所以a2＋4＜5，即a2＋4＜5,所以a2＜1，
即－1＜a＜1.
［答案] (1）D （2）B
复数模的计算
(1）计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部,再利用模长公式计算．虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．
(2）设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求解．
［活学活用]
1．如果复数z＝1＋a i满足条件｜z｜＜2，那么实数a的取值范围是（)
A．(－2错误!,2错误!) B．(－2,2）
C．（－1，1) D．(－3，错误!)
解析:选D 因为|z｜＜2,所以1＋a2＜2，则1＋a2＜4，a2＜3,解得－错误!＜a＜错误!。

2．求复数z1＝6＋8i与z2＝－1
2
－错误!i的模,并比较它们的模的大小．
解：∵z1＝6＋8i，z2＝－1
2
－2i,∴｜z1｜＝错误!＝10,
｜z2｜＝错误!＝错误!.∵10〉错误!，∴｜z1｜>｜z2|.
复数与复平面内向量的
关系
［典例］向量错误!错误!5＋4i，则错误!＋错误!对应的复数是（)
A．－10＋8i B．10－8i
C．0 D．10＋8i
[解析] 因为向量错误!对应的复数是5－4i，向量错误!对应的复数是－5＋4i，所以错误!＝(5, －4），所以错误!＝（－5， 4) ，所以错误!＋错误!＝（5，－4)＋(－5，4)＝（0，0），所以错误!＋错误!对应的复数是0.
[答案］C
(1）以原点为起点的向量表示的复数等于它的终点对应的复数；向量平移后，此向量表示
的复数不变，但平移前后起点、终点对应的复数要改变．
(2)复数的模从几何意义上来讲,表示复数对应的点到原点的距离，类比向量的模，可以进
一步引申｜z－z1｜表示点Z到点Z1之间的距离．如｜z－i｜＝1表示点Z到点（0，1）之间的
距离为1.
［活学活用]
在复平面内画出下列复数对应的向量，并求出各复数的模．
z
＝1－i;z2＝－错误!＋错误!i；z3＝－2；z4＝2＋2i。

1
解:在复平面内分别画出点Z1(1，－1)，Z2－错误!，错误!,
Z
（－2,0），Z4（2，2)，则向量OZ错误!2,OZ错误!4分别为复数z1，z2,z3，z4对应的向量，3
如图所示．
各复数的模分别为:｜z1｜＝错误!＝错误!；
|z2｜＝错误!＝1；
｜z3｜＝错误!＝2；｜z4｜＝错误!＝2错误!.
层级一学
业水平达标
1．与x轴同方向的单位向量e1与y轴同方向的单位向量e2，它们对应的复数分别是（)
A．e1对应实数1，e2对应虚数i
B．e1对应虚数i，e2对应虚数i
C．e1对应实数1，e2对应虚数－i
D．e1对应实数1或－1，e2对应虚数i或－i
解析：选A e1＝(1,0），e2＝(0,1)．
2．当错误!＜m＜1时,复数z＝(3m－2）＋(m－1)i在复平面上对应的点位于( )
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析:选D ∵错误!＜m＜1,∴3m－2＞0，m－1＜0，∴点（3m－2，m－1）在第四象限．
3．已知0＜a＜2，复数z＝a＋i(i是虚数单位），则｜z|的取值范围是（）
A．(1，错误!) B．（1,错误!)
C．(1,3） D．（1，5）
解析：选B |z｜＝错误!，∵0＜a＜2，∴1＜a2＋1＜5,∴|z|∈(1，错误!）．
4．在复平面内,向量错误!对应的复数是2＋i，向量错误!对应的复数是－1－3i,则向量错误!对应的复数为
A。

1－2i B。

－1＋2i
C.3＋4i D。

－3－4i
解析：选D 由题意知错误!＝(2，1)，错误! (－1，－3)错误!＝错误!＋错误!＝（－1，－3）＋(－2,－1)＝(－3，－4)，
∴CA对应的复数为－3－4i.
5．复数z＝1＋cos α＋isin α（π＜α＜2π）的模为( )
A．2cos错误! B．－2cos错误!
C．2sin错误! D．－2sin错误!
解析:选 B |z|＝错误!＝错误!＝错误!＝2|cos错误!｜。

∵π＜α＜2π，∴错误!＜错误!＜π，cos错误!＜0，于是|z|＝－2cos错误!.
6．在复平面内，O为坐标原点，向量OA―→对应的复数为－2－i，若点A关于直线y＝－x的对称点为B,则向量OB―→对应的复数为________．
解析:复数－2－i对应点A(－2,－1），点A关于直线y＝－x的对称点为B(1,2），
∴错误!―→对应的复数为1＋2i。

答案：1＋2i
7．过原点和错误!－i对应点的直线的倾斜角是________．
解析：∵错误!－i在复平面上的对应点是（错误!，－1)，
∴tan α＝错误!＝－错误!（0≤α＜π)，∴α＝错误!。

答案:错误!
8．若复数z满足z i＝1－i，则z＝________.
解析：设z＝a＋b i（a，b∈R)，则z i＝1－i，得(a＋b i）i＝1－i，即－b＋a i＝1－i.
由复数相等的充要条件得错误!即错误!
∴z＝－1－i。

答案：－1－i
9．设z为纯虚数，且|z－1｜＝｜－1＋i｜，求复数z。

解：∵z为纯虚数，∴设z＝a i（a∈R且a≠0），
又｜－1＋i|＝错误!,由|z－1|＝|－1＋i｜，
得错误!＝错误!，解得a＝±1，∴z＝±i。

10．已知复数z＝m(m－1）＋（m2＋2m－3)i（m∈R）．
(1)若z是实数,求m的值;
（2）若z是纯虚数，求m的值；
(3）若在复平面内，z所对应的点在第四象限,求m的取值范围．
解：（1)∵z为实数，∴m2＋2m－3＝0，
解得m＝－3或m＝1.
(2)∵z为纯虚数，
∴错误!解得m＝0.
（3)∵z所对应的点在第四象限，
∴错误!解得－3＜m＜0.
故m的取值范围为（－3，0）．
层级二应试能力达标
1．已知复数z1＝2－a i(a∈R）对应的点在直线x－3y＋4＝0上，则复数z2＝a＋2i对应的点在（)
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选B 复数z1＝2－a i对应的点为(2,－a)，它在直线x－3y＋4＝0上，故2＋3a＋4＝0，解得a＝－2，于是复数z2＝－2＋2i,它对应点的点在第二象限，故选B。

2．复数z＝(a2－2a)＋（a2－a－2）i对应的点在虚轴上，则( ）
A．a≠2或a≠1 B．a≠2且a≠1
C．a＝0 D．a＝2或a＝0
解析：选D ∵z在复平面内对应的点在虚轴上，
∴a2－2a＝0，解得a＝2或a＝0。

3．若x，y∈R，i为虚数单位，且x＋y＋(x－y)i＝3－i，则复数x＋y i在复平面内所对
应的点在( ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选A ∵x＋y＋(x－y）i＝3－i，∴错误!
解得错误!∴复数1＋2i所对应的点在第一象限．
4．在复平面内，复数z1，z2对应点分别为A，B。

已知A（1,2)，｜AB|＝2错误!，｜z2｜＝错误!，则z2＝( ）
A．4＋5i B．5＋4i
C．3＋4i D．5＋4i或错误!＋错误!i
解析：选D 设z2＝x＋y i（x,y∈R),由条件得，错误!∴错误!或错误!
故选D。

5．若z＝a－i(a∈R，且a＞0）的模为错误!，则a＝________，复数z的共轭复数错误!＝________。

解析：∵a2＋－12＝错误!，且a＞0，∴a＝1,则z＝1－i，∴错误!＝1＋i。

答案：1 1＋i
6．已知复数z＝x－2＋y i的模是2错误!，则点（x，y)的轨迹方程是________．
解析：由模的计算公式得x－22＋y2＝22，
∴(x－2）2＋y2＝8。

答案：(x－2）2＋y2＝8
7．已知复数z0＝a＋b i(a,b∈R),z＝(a＋3)＋(b－2)i,若|z0|＝2，求复数z对应点的轨迹．解：设z＝x＋y i(x,y∈R)，则复数z的对应点为P（x,y)，由题意知错误!
∴错误!①
∵z0＝a＋b i，｜z0｜＝2，∴a2＋b2＝4。

将①代入得(x－3)2＋(y＋2)2＝4.
∴点P的轨迹是以（3，－2)为圆心,2为半径的圆．
8．已知复数z1＝3＋i,z2＝－错误!＋错误!i。

（1）求｜z1｜及|z2|并比较大小；
(2)设z∈C,满足条件|z2｜≤｜z|≤｜z1｜的点Z的轨迹是什么图形?
解：(1）|z1｜＝错误!＝2,
|z2｜＝错误!＝1，∴｜z1|＞｜z2｜.
(2)由｜z2|≤|z｜≤｜z1｜及（1)知1≤｜z｜≤2。

因为|z｜的几何意义就是复数z对应的点到原点的距离，所以｜z｜≥1表示|z|＝1所表示的圆外部所有点组成的集合,|z｜≤2表示|z｜＝2所表示的圆内部所有点组成的集合，故符合题设条件点的集合是以O为圆心，以1和2为半径的两圆之间的圆环(包含圆周),如图所示．。