一个可积非线性演化方程的达布变换及其精确解

一个可积非线性演化方程的达布变换及其精确解
马云苓;曾昕;耿献国
【摘要】A new integrable nonlinear evolution equation was proposed. Based on the resulting Lax pair, a Darboux transformation of the nonlinear evolution equation was structured with the aid of the gauge transformation, by which some exact solutions of the nonlinear evolution equation were obtained, including rational solutions, soliton solutions and periodic solutions.%研究了一个新的可积非线性演化方程,基于其Lax对和谱问题的规范变换,构造出该方程的一个达布变换,进而利用此达布变换,得到该方程的精确解,包括有理解、孤子解与周期解.
【期刊名称】《郑州大学学报（理学版）》
【年(卷),期】2012(044)002
【总页数】4页(P31-34)
【关键词】菲线性演化方程;达布变换;精确解
【作者】马云苓;曾昕;耿献国
【作者单位】商丘师范学院数学系河南商丘476000;郑州大学数学系河南郑州450001;郑州大学数学系河南郑州450001
【正文语种】中文
【中图分类】O175.29
0 引言
非线性演化方程在很多领域中都有重要应用，例如非线性光学、深水波理论和等离子物理中的许多问题都可以归结为非线性演化方程.因此，非线性演化方程的求解具有重要意义.在求解非线性演化方程的诸多方法中，达布变换[1-4]是一种非常有效的方法，它从非线性演化方程的一个平凡解出发能够求出一系列精确解[5-6].作者研究一个新的非线性演化方程
(1)
基于其Lax对和谱问题的规范变换，构造出该方程的一个达布变换，进而利用此达布变换，得到该方程的精确解，包括有理解、孤子解与周期解.
1 达布变换
构造出方程(1)的一个达布变换，考虑(1)的Lax对，即谱问题以及辅助问题
Lψ=λψ,ψt=Bψ,
(2)
式中，
L=∂4+4q∂2+(4qx+2r)∂+2qxx+4q2+qt+p,B=∂2+2q,
(3)
其中，q,r,p是3个位势，λ是1个常值谱参数.若ψ满足Lax对(2)，那么由Lax 方程Lt=[B,L]，可得
qt=rx, rt=px, pt=-rxxx-8qrx-4rqx.
(4)
由Lax对(2)的相容性条件，可得方程(4)等价于方程(1).
定理1 设λ=λ0,f满足Lax对(2)，A=-(ln f)x，定义规范变换
(5)
并且定义
(6)
那么(6)中的满足Lax对
(7)
其中，
(8)
证明通过直接计算可得
(9)
把(9)带入Lf=λ0f,得
(10)
对(10)关于x微分，可得
(11)
其中，
(12)
利用(5)及(2)的第一个表达式，得到
(13)
(14)
(15)
其中，
Q=4qx+2r.
(16)
利用(6)和(11)，通过直接计算，可验证(6)中的满足Lax对(7).
定理表明，变换(6)能把Lax对(2)变成具有同样形式的Lax对(7)，而且这两种Lax 对都能导出相同的方程(4).变换称为方程(4)的一个达布变换.因此，若(q,r,p)是方程(4)的一个解，则由达布变换(6)所确定的也是方程(4)的一个解.
2 精确解
下面利用达布变换(6)给出方程(4)的精确解.从(4)的一个平凡解(a,b,c)开始，其中，a,b,c是常数.把q=a,r=b,p=c和λ=λ0代入Lax对(2)中，可得
(17)
Ⅰ.当a=b=c=0，且λ0=0时，(17)有一个多项式解
f=c1x2+c2x+2c1t+c0,
(18)
其中，c0,c1,c2是任意常数.利用达布变换(6)，得到(4)的一个有理解
(19)
Ⅱ.当且λ0=0时，方程(17)约化为
(20)
(20)有解
(21)
其中，是任意常数.利用达布变换(6)，得到(4)的一个孤子解
(22)
其中，是常数.
Ⅲ.当且λ0=0时，其中，ε是一个实常数，(17)有解
f=c1+c2exp(-εx+ε2t)+c3exp[-(β1+ε)x-γ2t]+c4exp[-(β2+ε)x-γ1t], (23)
其中，ci(i=1,2,3,4)是任意常数，利用达布变换(6)，得到(4)的一个周期解
(24)
其中，是常数；还可得到(4)的一个孤子解
(25)
其中，是常数，c3=c4=0.
Ⅳ.当b=0,a,λ0,c都是实数，且λ0≥c时，方程(17)约化为
(26)
当时，(26)的解是
(27)
其中，ci(i=1,2,3,4)是任意常数.利用达布变换(6)，可得(4)的孤子解
(28)
其中，是常数；以及
(29)
其中，是常数，c3=c4=0.
Ⅴ.当b=0,a>0,c=16a2,且λ0=4a2时，方程(17)有一个解
(30)
其中，ci(i=1,2,3,4)是任意常数.利用达布变换(6)，可得(4)的周期解
(31)
其中，是常数；以及
(32)
其中，是常数，c3=c4=0.
若(q,r,p)是方程(4)的一个解，利用达布变换(6)，可得到方程(4)的一个新解而都是方程(1)的解，用同样的方法，如此反复可得到方程(4)与(1)的一系列精确解.
参考文献：
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