2020-2021学年云南省大理州大理市下关一中教育集团高一(上)期中数学试卷

2020-2021学年云南省大理州大理市下关一中教育集团高
一（上）期中数学试卷
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
1.已知集合A={x|2≤x<5}，B={x|x≥3}，则A∩B=()
A. {x|3<x<5}
B. {x|3≤x<5}
C. {x|3<x≤5}
D. {x|3≤x≤5}
2.命题p：“∀x∈R，x2+2x+1>0”的否定是()
A. ∀x∈R，x2+2x+1≤0
B. ∃x0∈R，使得x02+2x0+1≤0
C. ∃x0∈R，使得x02+2x0+1>0
D. ∃x0∈R，使得x02+2x0+1<0
3.设x∈R，则“x>1
2
”是“2x2+x−1>0”的()
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
4.若1
a <1
b
<0，则下列结论不正确的是()
A. a2<b2
B. b
a <1 C. b
a
+a
b
>2 D. ab<b2
5.下列四组函数中，f(x)与g(x)表示同一函数是()
A. f(x)=x−1，g(x)=x2−1
x+1
B. f(x)=|x+1|，g(x)={x+1 x≥−1
−1−x x<−1
C. f(x)=1，g(x)=(x+1)0
D. f(x)=√x3
3,g(x)=(√x)2
6.下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为()
A. y=x+1
B. y=−x3
C. y=1
x
D. y=x|x|
7.已知函数f(x)=4
x−1
+x(x>1)，则f(x)的最小值为()
A. 4
B. 5
C. 6
D. 16
3
8.已知f(2x+1)=4x2+4x−5，则f(2)的值是()
A. 0
B. −2
C. 8
3
D. 4
9.已知A={x|{x2−4x<0},B={x|3x−1
2−x
>0}，则A∪B=()
A. [0,4]
B. R
C. (1
3
,2) D. (0,4)
10. 已知函数f(x)={(a −3)x +5,x ≤1
2a x
,x >1
是(−∞,+∞)上的减函数，那么a 的取值范围
是( )
A. (0,3)
B. (0,3]
C. (0,2)
D. (0,2]
11. 已知定义在R 上的偶函数f(x)满足：对任意的x 1，x 2∈(−∞,0)，(x 1≠x 2)，都有
f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1
<0且f(−1)=0，则不等式xf(x)<0的解集为( )
A. (−1,0)∪(0,1)
B. (−∞,−1)∪(1,+∞)
C. (−1,0)∪(1,+∞)
D. (−∞,−1)∪(0,1)
12. 函数f(x)=x 2−2x ，g(x)=ax +2(a >0)，对∀x 1∈[−1,2]，∃x 0∈[−1,2]，使
g(x 1)=f(x 0)，则a 的取值范围是( )．
A. (0,1
2]
B. [1
2,3]
C. [3,+∞)
D. (0,3]
二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）
13. 已知幂函数y =x n 的图象过点(2,8)，则n = ______ ． 14. 函数f(x)=√−x 2+4x 的值域为 ．
15. 已知f(x)定义域为[1,3]，则f(2x +5)定义域为______． 三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）
16. 已知正数x ，y 满足x+y
xy =3，则当x = 时，x +y 的最小值是 ． 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17. 已知函数f(x)=√2x +3+1
√3−x 的定义域为A ，g(x)=x 2−2x +2的值域为B ．
(Ⅰ)求A 、B ； (Ⅱ)求A ∩(∁R B)．
18. 已知函数f(x)={1,x <−1
x 2,−1≤x ≤12x −1,x >1
．
(Ⅰ)画出函数y =f(x)的图象；
(Ⅱ)若f(x)≥1
，求x的取值范围；
4
(Ⅲ)直接写出y=f(x)的值域．
19.已知函数f(x)=ax2−2ax+2+b，(a≠0)，若f(x)在区间[2,3]上有最大值5，
最小值2．
(1)求a，b的值；
(2)若b<1，g(x)=f(x)−mx在[2,4]上为单调函数，求实数m的取值范围．
20.(1)设a≥b>0，证明：a3+b3≥a2b+ab2．
(2)已知正实数a，b满足ab=a+b+3，求证：ab≥9．
21.二次函数f(x)满足f(0)=1，再从条件①和条件②两个条件中选择一个作为已知，
求：
(1)求f(x)的解析式；
(2)在区间[−1,1]上，函数f(x)的图象总在一次函数y=2x+m图象的上方，试确定
实数m的取值范围．
条件①：f(x+1)−f(x)=2x；
条件②：不等式f(x)<x+4的解集为(−1,3)．
22.已知函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R)，当x>0时，f(x)>0，且
f(1)=2．
(1)求f(0)，f(−1)的值；并证明f(x)为奇函数；
(2)判断f(x)的单调性；
(3)当x∈[1,+∞)时，不等式f(−x2−a)+f(ax−3)<−2恒成立，求实数a的取
值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵A={x|2≤x<5}，B={x|x≥
3}，
∴A∩B={x|3≤x<5}．
故选：B．
由A与B，求出交集即可．
此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：由全称命题的否定为特称命题，可得
命题p：“∀x∈R，x2+2x+1>0”的否定是
“∃x0∈R，使得x02+2x0+1≤0”，
故选：B．
由全称命题的否定为特称命题，以及量词和不等号的变化，即可得到所求命题的否定．本题考查命题的否定，注意运用全称命题的否定为特称命题，以及量词和不等号的变化，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，二次不等式的解法，考查计算能力．求出二次不等式的解，然后利用充要条件的判断方法判断选项即可．
【解答】
解：由2x2+x−1>0，可知x<−1或x>1
，
2
所以当\dfrac {1}{2} " ⇒" title="latexImg" />“2x2+x−1>0”，
但是“2x2+x−1>0”⇏“x>1
”，
2
所以“x >1
2”是“2x 2+x −1>0”的充分而不必要条件， 故选A ．
4.【答案】B
【解析】解：∵1
a <1
b <0， ∴a 和b 为负数且a >b ，
∴a 2<b 2，b
a >1，故A 正确，B 错误， b
a
+a
b >2√b
a ⋅a
b =2，故C 正确， 再由不等式的性质可得ab <b 2，D 正确； 故选：B ．
由题意可得a 和b 为负数且a >b ，由不等式的性质逐个选项验证可得． 本题考查不等式的性质，属基础题．
5.【答案】B
【解析】 【分析】
本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，判断的标准是判断两个函数的定义域和对应法则是否完成一致，否则不是同一函数．
分别判断函数f(x)和g(x)的定义域和对应法则是否一致即可． 【解答】
解：A.函数f(x)的定义域为R ，g(x)的定义域为{x|x ≠−1}，f(x)和g(x)的定义域不相同，所以不是同一函数．
B .函数f(x)的定义域为R ，g(x)的定义域为R ，f(x)和g(x)的定义域相同，f(x)=|x +1|={x +1,x ≥−1−1−x,x <−1
，对应关系相同，所以两个函数是同一函数．
C .函数f(x)的定义域为R ，g(x)的定义域为{x|x ≠−1}，f(x)和g(x)的定义域不相同，所以不是同一函数．
D .函数f(x)的定义域为R ，g(x)的定义域为{x|x ≥0}，f(x)和g(x)的定义域不相同，所以不是同一函数． 故选：B ．
【解析】
【分析】
本题考查奇函数的定义，奇函数图象的对称性，函数单调性的定义，以及根据函数单调性定义判断函数单调性的方法，反比例函数的单调性，含绝对值函数的处理方法：去绝对值号，以及二次函数和分段函数单调性的判断．
根据奇函数的定义，奇函数图象的对称性，以及函数单调性定义，反比例函数的单调性，二次函数单调性，及分段函数单调性的判断便可判断出每个选项的正误，从而找出正确选项．
【解答】
解：A.y=x+1的图象不关于原点对称，不是奇函数，∴该选项错误；
B.x增大时，x3增大，−x3减小，即y减小，∴y=−x3在定义域R上为减函数，∴该选项错误；
C.反比例函数y=1
x
在定义域内没有单调性，∴该选项错误；
D.y=x|x|的定义域为R，且(−x)|−x|=−x|x|；
∴该函数为奇函数；
y=x|x|={x2 x≥0
−x2x<0
；
∴y=x|x|在[0,+∞)，(−∞,0)上单调递增，且02=−02；
∴该函数在定义域R上是增函数，∴该选项正确．
故选：D．
7.【答案】B
【解析】解：∵x>1，∴x−1>0，
∴f(x)=4
x−1+x=4
x−1
+(x−1)+1≥2√4
x−1
⋅(x−1)+1=5，
当且仅当4
x−1
=x−1，即x=3时上式等号成立．
∴f(x)的最小值为5．
故选：B．
把已知函数解析式变形，然后利用基本不等式求最值．
本题考查利用基本不等式求最值，考查数学转化思想方法，是基础题．
【解析】解：∵f(2x +1)=4x 2+4x −5， ∴f(2)=f(2×1
2
+1)=4×(1
2
)2+4×1
2
−5=−2．
故选：B ．
推导出f(2)=f(2×1
2+1)，由此利用f(2x +1)=4x 2+4x −5，能求出f(2)的值． 本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
9.【答案】D
【解析】解：∵A ={x|0<x <4},B ={x|1
3<x <2}， ∴A ∪B =(0,4)． 故选：D ．
可求出集合A ，B ，然后进行并集的运算即可．
本题考查了描述法、区间的定义，一元二次不等式和分式不等式的解法，考查了计算能力，属于基础题．
10.【答案】D
【解析】 【分析】
由条件可得，a −3<0，2a >0，(a −3)×1+5≥2a ，求出它们的交集即可． 本题考查分段函数的性质和运用，考查函数的单调性和运用，注意各段的单调性，以及分界点的情况，属于中档题和易错题． 【解答】
解：由于函数f(x)={(a −3)x +5,x ≤1
2a x ,x >1是(−∞,+∞)上的减函数，
则x ≤1时，是减函数，则a −3<0① x >1时，是减函数，则2a >0②
由单调递减的定义可得，(a −3)×1+5≥2a③ 由①②③解得，0<a ≤2． 故选：D ．
【解析】解：定义在R 上的偶函数f(x)满足：对任意的x 1，x 2∈(−∞,0)，(x 1≠x 2)，都有
f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1
<0，
∴当x <0时，函数f(x)为减函数，当x >0时，f(x)为增函数，
∵f(−1)=0，∴f(1)=f(−1)=0， 作出函数f(x)的图象如图：
xf(x)<0等价为{x >0f(x)<0或{x <0f(x)>0，
即0<x <1或x <−1，
即不等式的解集为(−∞,−1)∪(0,1)， 故选：D ．
根据条件判断函数的单调性，结合函数奇偶性和单调性之间的性质将不等式进行转化进行求解即可．
本题主要考查不等式的求解，结合条件判断函数的单调性，结合函数的奇偶性和单调性的关系作出函数f(x)的图象是解决本题的关键．
12.【答案】A
【解析】解：设f(x)=x 2−2x ，g(x)=ax +2(a >0)在[−1,2]上的值域分别为A 、B ， 由题意可知：A =[−1,3]，B =[−a +2,2a +2]，
∴{
−a +2≥−1
2a +2≤3∴a ≤12
又∵a >0， ∴0<a ≤1
2． 故选：A ．
先设出两个函数在[−1,2]上的值域分别为A 、B ，再根据对任意的x 1∈[−1,2]，存在x 0∈[−1,2]，使g(x 1)=f(x 0)，集合B 是集合A 的子集，列出不等式，解此不等式组即可求得实数a 的取值范围，注意条件a >0．
此题是个中档题．考查函数的值域，难点是题意的理解与转化，体现了转化的思想．同
时也考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．13.【答案】3
【解析】解：∵幂函数y=x n的图象过点(2,8)，
∴2n=8，解得n=3，
故答案为：3
根据幂函数的方程，直接进行求解即可得到结论．
本题主要考查幂函数的性质，比较基础．
14.【答案】[0,2]
【解析】
【分析】
本题考查了函数值域的求法，属于基础题．
首先求t=−x2+4x的值域，再求解函数f(t)=√t的值域即可．
【解答】
解：由题意，令t=−x2+4x=−(x−2)2+4，且t≥0，
可得0≤t≤4，
那么函数f(t)=√t，t∈[0,4]，
则0≤f(t)≤2，
所以原函数的值域为[0,2]．
故答案为[0,2]．
15.【答案】[−2,−1]
【解析】解：由题意得：
1≤2x+5≤3，解得：−2≤x≤−1，
故函数f(2x+5)的定义域是[−2,−1]，
故答案为：[−2,−1]．
根据f(x)的定义域得到关于x的不等式，解出即可．
本题考查了求函数的定义域问题，考查转化思想，是一道基础题．
16.【答案】23
43
【解析】
【分析】
本题考查了基本不等式的应用，关键掌握应用基本不等式的基本条件，一正二定三相等，属于基础题．
由x+y xy =3，则1x +1y =3，则x +y =13(x +y)(1x +1y )=13(2+y x +x y )，利用基本不等式即可求出．
【解答】
解：x+y xy =3，则1x +1y =3，
∵x >0，y >0，
∴x +y =13(x +y)(1x +1y )=13(2+y x +x y
) ≥13(2+2√y x ⋅x y )=43，
当且仅当x =y =23时取等号，
故答案为：23；43．
17.【答案】解：(Ⅰ)由题意得：{2x +3≥03−x >0
，解得：−32≤x <3，故A =[−32,3)， 由g(x)=x 2−2x +2=(x −1)2+1≥1，故B =[1,+∞)；
(Ⅱ)由(Ⅰ)∁R B =(−∞，1)，
故A ∩(∁R B)=[−32,1)．
【解析】(Ⅰ)根据二次根式的性质求出函数f(x)的定义域即集合A ，根据二次函数的性质求出g(x)的值域即集合B 即可；
(Ⅱ)求出B 的补集，从而求出其和A 的交集即可．
本题考查了集合的运算，考查求函数的定义域，值域问题，是一道基础题．
18.【答案】解：(Ⅰ)函数y =f(x)的图象如图；
(Ⅱ)当x <−1时，满足f(x)≥14， 当−1≤x ≤1，由f(x)≥14得x 2≥14，得x ≥12或x ≤
−12
， 此时−1≤x ≤−12或12≤x ≤1，
当x >1时，f(x)≥14恒成立，
综上得x ≥12或x ≤−12，
即x 的取值范围是得x ≥12或x ≤−12；
(Ⅲ)由图象知f(x)≥0，即y =f(x)的值域是[0,+∞)．
【解析】(Ⅰ)根据分段函数的表达式，直接进行作图即可；
(Ⅱ)结合分段函数的表达式，分别进行求解；
(Ⅲ)由图象结合函数值域的定义进行求解．
本题主要考查函数的图象和性质，结合分段函数的表达式作出图象是解决本题的关键．比较基础．
19.
【答案】解：(1)由于函数f(x)=ax 2−2ax +2+b =a(x −1)2+2+b −a ，(a ≠0)对称轴为x =1，
当a >0时，函数f(x)在区间[2,3]上单调递增，由题意可得{f(2)=2+b =2f(3)=2+b +3a =5
， 解得{a =1b =0
． 当a <0时，函数f(x)在区间[2,3]上单调递减，由题意可得{f(2)=2+b =5f(3)=2+b +3a =2
， 解得{a =−1b =3
． 综上可得，{a =1b =0，或 {a =−1b =3
． (2)若b <1，则由(1)可得{a =1b =0
，g(x)=f(x)−mx =x 2−(m +2)x +2， 再由函数g(x)在[2,4]上为单调函数，可得m+2
2≤2，或m+2
2≥4，
解得m ≤2，或m ≥6，
故m 的范围为(−∞,2]∪[6,+∞)．
【解析】本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．
(1)由于函数f(x)=a(x −1)2+2+b −a ，(a ≠0)对称轴为x =1，分当a >0时、当a <0时两种情况，分别依据条件利用函数的单调性求得a 、b 的值．
(2)由题意可得{a =1b =0
，g(x)=x 2−(m +2)x +2，根据条件可得m+22≤2，或m+22≥4，由此求得m 的范围．
20.
【答案】证明：(1)a 3+b 3−a 2b −ab 2=a 2(a −b)+b 2(b −a)=(a −b)(a 2−b 2)=(a −b)2(a +b)，
∵a ≥b >0，∴a −b ≥0，a +b >0，则a 3+b 3−a 2b −ab 2=(a −b)2(a +b)≥0， 得a 3+b 3≥a 2b +ab 2；
(2)∵a >0，b >0，∴a +b ≥2√ab ，当且仅当a =b 时等号成立，
又ab =a +b +3，∴ab ≥2√ab +3，即(√ab)2−2√ab −3≥0，
解得√ab ≤−1(舍去)或√ab ≥3，即ab ≥9．
【解析】(1)由已知直接利用作差法证明；
(2)由已知等式结合不等式的性质变形求解√ab 的范围，进一步得结论．
本题考查不等式的证明，训练了利用作差法证明不等式，考查不等式性质的应用，是中档题．
21.【答案】解：选条件①：(1)设f(x)=ax 2+bx +c ，由f(0)=1得c =1，故f(x)=ax 2+bx +1．
因为f(x +1)−f(x)=2x ，所以a(x +1)2+b(x +1)+1−(ax 2+bx +1)=2x ．
即2ax +a +b =2x ，所以{2a =2a +b =0，∴{a =1b =−1
， 所以f(x)=x 2−x +1，
选条件②：(1)设f(x)=ax 2+bx +c ，由f(0)=1得c =1，故f(x)=ax 2+bx +1， 因为不等式f(x)<x +4的解集为(−1,3)，
所以：ax 2+bx +1<x +4的解集为(−1,3)，即ax 2+(b −1)x −3=0的根为−1和3，
∴−1+3=−b−1a 且(−1)×3=−3a ， ∴a =1，b =−1，所以f(x)=x 2−x +1，
(2)由题意得x 2−x +1>2x +m 在[−1,1]上恒成立．即x 2−3x +1−m >0在[−1,1]上恒成立．
设g(x)=x 2−3x +1−m ，其图象的对称轴为直线x =32，所以g(x)在[−1,1]上递减． 故只需最小值g(1)>0，即12−3×1+1−m >0，
解得m <−1．
【解析】选条件①：(1)先设f(x)=ax 2+bx +c ，在利用f(0)=1求c ，再利用两方程相等对应项系数相等求a ，b 即可．
选条件②：(1)先设f(x)=ax 2+bx +c ，在利用f(0)=1求c ，再根据不等式的解集与对应方程的根之间的关系求解a ，b 即可．
(2)转化为x 2−3x +1−m >0在[−1,1]上恒成立问题，找其在[−1,1]上的最小值让其大于0即可．
本题考查了二次函数解析式的求法．二次函数解析式的确定，应视具体问题，灵活的选用其形式，再根据题设条件列方程组，即运用待定系数法来求解．在具体问题中，常常会与图象的平移，对称，函数的周期性，奇偶性等知识有机的结合在一起．
22.【答案】解：(1)令x =y =0，
得f(0+0)=f(0)+f(0)，得f(0)=0，
令x =−1，y =1，
得f(0)=f(−1)+f(1)，
得f(−1)=−2；
令y =−x ，
得f(0)=f(x)+f(−x)，
即f(x)=−f(−x)，
所以f(x)为奇函数；
(2)令x 1<x 2，所以x 2−x 1>0，
所以f(x 2)−f(x 1)=f(x 2−x 1+x 1)−f(x 1)=f(x 2−x 1)+f(x 1)−f(x 1)=f(x 2−x 1)，
因为x 2−x 1>0，所以f(x 2−x 1)>0，
所以f(x 2−x 1)>0，
即f(x)在R 上为增函数；
(3)因为f(−x 2−a)+f(ax −3)<−2，
所以f(−x 2−a +ax −3)<f(−1)，
又因为f(x)在R 上为增函数，
所以−x 2−a +ax −3<−1在x ∈[1,+∞)上恒成立，
即x 2−ax +a +2>0在∈[1,+∞)上恒成立，
则△<0或{f(1)=1−a +a +2>0a 2
≤1， 解得2−2√3<a <2+2√3或a ≤2，
所以a <2+2√3，
故a 的取值范围是(−∞,2+2√3).
【解析】(1)由x =y =0，可得f(0)；再由x =1，y =−1可得f(−1)，由y =−x ，结合奇偶性的定义．即可得到结论；
(2)可令x 1<x 2，作差，结合定义，即可得到单调性；
(3)由题意可得f(−x 2−a +ax −3)<f(−1)，可得x 2−ax +a +2>0在∈[1,+∞)上恒成立，解不等式即可得到所求范围．
本题考查抽象函数的单调性的判断和运用，以及不等式恒成立问题解法，考查方程思想和转化思想、运算能力和推理能力，属于中档题．。