高三数学第一学期期中测验数学试卷(理科)

高三年级第一学期期中测验数学试卷（理科）
（试卷满分150分；考试时间为120分钟）
一、选择题（每小题5分；共40分）
1．若})2
1(|{},log |{2x y y B x y y A ====；则B A = （ ）
A ．}2
10{<<<y y B ．}0|{>y y
C ．
D ．R 2．方程1cos 2=x 的解集为
（ ）
A ．},3
2|{Z k k x x ∈+=π
π B ．},3
52|{Z k k x x ∈+
=π
π
C ．},3
2|{Z k k x x ∈±
=π
π
D ．},3
)1(|{Z k k x x k
∈-+=π
π
3．若等比数列的公比为2；但前4项和为1；则这个等比数列的前8项和等于 （ ）
A ．21
B ．19
C ．17
D ．15 4．下列求导正确的是 （ ） A ．21
1)1(x
x x +='+
B ．x x x x sin 2)cos (2
-='
C ．e x
x 3log 3)3(='
D ．2
ln 1
)(log 2x x =
' 5．函数x x y ln 82
-=在区间)1,2
1()41,0(和内分别为
（ ） A ．单调递减；单调递增 B ．单调递增；单调递增
C ．单调递增；单调递减
D ．单调递减；单调递减
6．等差数列}{n a 的公差d 不为0；a 1=9d ；若a k 是a 1与a k 的等比中项；则k = （ ）
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
7．命题p ：函数)10)(2(log ≠>+=a a a ax y a 且的图象必过定点（－1；1）；
命题q ：如果函数)(x f y =的图象关于（3；0）对称；那么函数)3(-=x f y 的图象关于原点对称；则有
（ ）
A ．“p 且q ”为真
B ．“p 或q ”为假
C ．p 真q 假
D ．p 假q 真
8．定义在R 上的周期函数)(x f ；其周期T=2；直线x=2是它的图象的上的一条对称轴；且
]2,3[)(--在x f 上是减函数；如果A 、B 是锐角三角形的两个内角；则
（ ）
A ．)(cos )(sin
B f A f > B ．)(sin )(cos A f B f >
C ．)(sin )(sin B f A f >
D ．)(cos )(cos A f B f >
二、填空题（每小题5分共30分） 9．曲线在153
123
=+-=
x x x y 在处的切线的倾斜角为 .
10．数列1；2；2；3；3；3；4；4；4；4；5……的第100项是 . 11．已知函数)3
2cos()6
2sin()(π
π
-
+
=x x x f 的最小正周期为 .
12．已知)(x f 是定义在（+∞∞-,）上的减函数；其图象经过)1,4(-A ；B （0；－1）两点；)
(x f 的反函数是)1(),(11
f x f 则-的值是 ；不等式1|)2(|<-x f 的解集
为 .
13．已知数列}{n a 的前n 项和,192
+-=n n S n 则其通项a n = ；若它的第k 项满足
=<<k a k 则,85 .
14．对于函数)1lg()(22++
+=x x x x f 有以下四个结论：
①)(x f 的定义域为R ；
②),0()(+∞在x f 上是增函数； ③)(x f 是偶函数；
④若已知a ,.2)(,)(,2
m a a f m a f R m -=-=∈则且
其中正确的命题序号是 . 三、解答题（本大题共6小题；共80分）
15．（本小题13分）已知：函数).(2sin 3cos 2)(2
R a a x x x f ∈++=
（1）若)(:,x f R x 求∈的单调递增区间； （2）若]2
,
0[π
∈x 时；)(x f 的最大值为4；求：a 的值；并指出这时x 的值.
16．（本小题满分13分）已知：函数.3)(2
3
x ax x x f --=
（1）若)(x f 在),1[+∞∈x 上是增函数；求：实数a 的取值范围； （2）若3=x 是)(x f 的极值点；求)(x f 在],1[a x ∈上的最小值和最大值.
17．（本小题13分）已知：数列}{n a 满足+-∈=++++N a n
a a a a n n ,3
33313221 . （1）求数列}{n a 的通项； （2）设,n
n a n
b =
求数列}{n b 的前n 项和S n . 18．（本小题13分）已知：△ABC 中；角A 、B 、C 所对的三边a ；b ；c 成等比数列. （1）求证：3
0π
≤
<B ；
（2）求：函数B
B B
y cos sin 2sin 1++=的值域.
19．（本小题14分）已知：二次函数c bx ax x f ++=2
)(满足条件：①);()3(x f x f =-
②;0)1(=f ③对任意实数2
1
41)(,-≥a x f x 恒成立. （1）求：)(x f y =的表达式；
（2）数列}{},{n n b a ；若对任意的实数x 都满足*)(,)()(1
N n x b x a x f x g n n n ∈=++⋅+
)(x g 其中是定义在实数集R 上的一个函数.
求：数列}{}{n n b a 与的通项公式.
20．（本小题14分）已知：定义在（－1；1）上的函数)(x f 满足：对任意)1,1(,-∈y x 都有
)1()()(xy
y
x f y f x f ++=+.
（1）求证：函数)(x f 是奇函数；
（2）如果当,0)(,)0,1(>-∈x f x 有时求证：)(x f 在（－1；1）上是单调递减函数； （3）在（2）的条件下解不等式：.0)11
()21(>-++x
f x f
高三年级第一学期期中测验
数学试卷（理科）参考答案
一、选择题（每小题5分；共40分）
1．B 2．C 3．C 4．D 5．A 6．B 7．C 8．A 二、填空题（每小题5分共30分） 9．
43π 10．14 11． 2
π
12．4 （－2；2） 13．⎩⎨
⎧≥-=-=)
2(102)1(7
n n n a n ；8 14．①②④
三、解答题 15．解析：
（1）.1)6
2sin(212cos 2sin 3)(a x a x x x f +++
=+++=
π
解不等式.2
26
22
2π
ππ
π
π+
≤+
≤-k x k
得),(6
3
Z k k x k ∈+
≤≤-
π
ππ
π
)(x f ∴的单调区间为).](6
,3
[Z k k k ∈+
-
π
ππ
π
（2）],2,
0[π
∈x .67626
ππ
π
≤
+
≤∴
x ∴当.3)(,6
2
6
2max a x f x x +==
=
+
时即π
π
π
,43=+a 1=∴a ；此时6
π
=
x .
16．解析：（1）0323)(2
≥--='ax x x f 1≥∴x
),1
(23x
x a -≤
∴ 当x ≥1时；)1(23x x -是增函数；其最小值为0)11(2
3
=-.0≤∴a
（2）,03627,0)3(=--='a f 即 4=∴a .
,383)(,34)(223--='--=∴x x x f x x x x f
令.31
,0383)(2=-==--='x x x x x f 或则
∴)(x f 在],1[a x ∈上的最小值是18)3(-=f ；最大值是6)1(-=f 17．（Ⅰ）,333313221n
a a a a n n =
++++- ),2(3
1333123221≥-=++++--n n a a a a n n
),2(3
1
31331≥=--=-n n n a n n )2(3
1
≥=
n a n n 验证n=1时也满足上式：*)(3
1
N n a n n ∈=
（Ⅱ）n
n n b 3⋅=
n n n S 333323132⋅+⋅+⋅+⋅= 143233332313+⋅+⋅+⋅+⋅=n n n S ,333332132+⋅-+++=-n n n n S
,33133211
++⋅-----n n n n S
.4
33413211+⋅-⋅=
++n n n n S 18．因为a 、b 、c 成等比数列；所以ac b =2；由余弦定理得：
,21222cos 222=-≥-+=ac ac ac ac b c a B 又因为),0(π∈∠B ；所以.30π≤∠<B
（2）由),4
sin(2sin cos cos sin )cos (sin cos sin 2sin 12π
+=+=++=++=
B B B B B B B B B B y 又因为,2)4
sin(21,1274
4
,3
0≤+<≤
+
<≤
∠<π
ππ
π
π
B B B 所以所以
即原函数的值域是]2,1(
19．解：（1）由条件得⎩⎨
⎧=--=-=⇒⎪⎩⎪
⎨⎧=-=++a b a c a b a b c b a 232
320
………………2分 由02
141232141)(2≥+-+--≥
a a ax ax a x f 得恒成立 10)1(0)21412(490
2
2=⇒⎩⎨⎧≤->⇒⎪⎩
⎪
⎨⎧+--=∆>∴a a a a a a a a ………………4分 23)(2+-=∴x x x f ………………5分
（2）0)2(0
)1(==Θf f
又1
)()(+=++⋅Θn n n x b x a x f x g 恒成立
令12221
1+=+==+=n n n n n b a x b a x 得令得………………7分
1122,12++-=-=∴n n n n b a ………………10分
20．（1）证明：令0)0(),0()0()0(,0==+==f f f f y x 故则………………2分
令,0)0()1(
)()(,2
==--=-+-=f x
x
x f x f x f x y 则 )()(x f x f -=-∴；即函数)(x f 是奇函数.………………4分
（2）证明：设)1(
)()()()(),1,1(2
12
1212121x x x x f x f x f x f x f x x --=-+=--∈<则
),1,1(21-∈<x x .11,02112<<->-∴x x x x
因此0)1(
2121<--x x x x ； ∴).()(,0)1(212
12
1x f x f x x x x f >>--即
∴函数)1,1()(-在x f 上是减函数.……………………9分 （3）解：不等式).1
1()21(,0)11(
)21
(->+>-++x f x f x f x f 化为 ∵函数)1,1()(-在x f 上是减函数；
⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧
-<+<-<-<+<-∴.1121,1111,1211x x x x ……………………11分
解得：,12
3
-<<-
x ∴原不等式的解集为}12
3
|{-<<-x x ………………14分。