广东省中考数学 第二部分 题型研究 题型三 规律探索题试题-人教版初中九年级全册数学试题

题型三 规律探索题
类型一 数式规律
针对演练
1. (2016某某)如图，下面每个图形中的四个数都是按相同规律填写的，根据此规律确定x 的值为________．
第1题图
2. (2016某某)古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21…叫三角数，它有一定的规律．若把第一个三角数记为a 1，第二个三角数记为a 2，…，第n 个三角数记为a n ，计算a 1＋a 2，a 2＋a 3，a 3＋a 4，…，由此推算a 399＋a 400＝________．
3. (2016某某)按一定规律排列的一列数：12，1，1， ，911，1113，1317，…，请你仔细
观察，按照此规律方框内的数字应为________．
4. (2016某某)观察下列等式：31
＝3，32
＝9，33
＝27，34
＝81，35
＝243，36
＝729，….试猜想，3
2016
的个位数字是________．
5. (2016某某)观察下列各式的规律：(a －b )(a ＋b )＝a 2
－b 2
；(a －b )(a 2
＋ab ＋b 2
)＝a 3
－b 3
；(a －b )(a 3
＋a 2
b ＋ab 2
＋b 3
)＝a 4
－b 4
；…；可得到(a －b )(a 2016
＋a
2015
b ＋…＋ab 2015＋b 2016)
＝________．
6. 请观察下列等式的规律：11×3＝12(1－13)，13×5＝12(13－15)，15×7＝12(15－17)，1
7×9＝
12(17－19)，…，则11×3＋13×5＋15×7＋…＋1
99×101
＝________． 7. (2016滨州)观察下列式子： 1×3＋1＝22
； 7×9＋1＝82； 25×27＋1＝262； 79×81＋1＝802； …
可猜想第2016个式子为______________．
8. (2016某某)观察下列等式：
第1个等式：a1＝1
1＋2＝2－1，第2个等式a2＝
1
2＋3
＝3－2，
第3个等式：a3＝
1
3＋2
＝2－3，第4个等式：a4＝
1
2＋5
＝5－2，
按上述规律，回答以下问题：
(1)请写出第n个等式：a n＝__________________；
(2)a1＋a2＋a3＋…＋a n＝__________．
9. (2011省卷20，9分)如下数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答．
(1)表中第8行的最后一个数是________，它是自然数________的平方，第8行共有________个数；
(2)用含n的代数式表示：第n行的第一个数是________，最后一个数是________，第n行共有________个数；
(3)求第n行各数之和．
【答案】
1．370 【解析】观察可得，第n 个图形的数字为：
当2n ＝20时，n ＝10，∴x ＝2n (2n －1)－n ＝20×(20－1)－10＝370.
2．160000 【解析】由a 1＋a 2＝4＝22
，a 3＋a 4＝6＋10＝16＝42
，a 5＋a 6＝15＋21＝36＝62
，…，依此类推可得a n ＋a n ＋1＝(n ＋1)2
，∴a 399＋a 400＝4002
＝160000.
3．1 【解析】将原来的一列数变形为12，33，55，□，911，1113，13
17，观察可以得出分子
依次为从小到大排列的连续奇数，分母是依次从小到大排列的质数，故方框内填7
7，故答案
为1.
4．1 【解析】从前几个3的幂来看，它的个位数依次是3，9，7，1，第5个数跟第一个数的个位数相同，于是3的整数次幂的个位数是每四个数一个循环，2016÷4＝504，于是3
2016的个位数与34
的个位数相同，即为1.
5．a 2017
－b
2017
【解析】由题可知，(a －b )(a ＋b )＝a 2－b 2，(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝a 3
－
b 3，(a －b )(a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3)＝a 4－b 4，…，∴(a －b )(a n ＋a n －1b ＋a n －2b 2＋…＋a 2b n －2＋ab n －1
＋b n
)＝a
n ＋1
－b
n ＋1,
∴当n ＝2016时，(a －b )(a
2016
＋a
2015
b ＋…＋ab 2015＋b 2016)＝a 2017－b 2017.
6.50101 【解析】原式＝12(1－13)＋12(13－15)＋12(15－17)＋…＋12(199－1101)＝12(1－13＋13－15＋15－17＋…＋199－1101)＝12(1－1101)＝50101
. 7．(3
2016
－2)×3
2016
＋1＝(3
2016
－1)2 【解析】第①个式子转化为：(31－2)×31＋1＝(3
1
－1)2
，第②个式子转化为： (32－2)×32
＋1＝(32
－1)2
，第③个式子转化为： (33
－2)×3
3
＋1＝(33
－1)2
，第④个式子转化为： (34
－2)×34
＋1＝(34
－1)2
，…，由以上规律可得，第n 个式子为： (3n
－2)×3n
＋1＝(3n
－1)2
，当n ＝2016时，第2016个式子为：(32016
－2)×3
2016
＋1＝(3
2016
－1)2
.
8．(1)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ；(2)n ＋1－1 【解析】(1)a 1＝1
1＋2
＝2－1，a 2
＝
1
2＋3＝3－2，a 3＝13＋4＝4－3，…，a n ＝1n ＋n ＋1
＝n ＋1－n ；(2)a 1
＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋(5－4)＋…＋(n ＋1－n )＝
n ＋1－1.
9．解：(1)64，8，15；
【解法提示】仔细观察第一行最后一个数是1＝12
，且共有1个数；第二行最后一个数是4＝22
，且共有3个数，第三行最后一个数是9＝32，且共有5个数，以此类推，可知第n 行最后一个数可以表示为n 2
，且共有(2n －1)个数，所以第8行最后一个数是82
＝64，共有2×8－1＝15个数；
(2)n 2
－2n ＋2，n 2
，2n －1；
【解法提示】由(1)中的分析得知第n 行的第一个数是(n －1)2
＋1＝n 2
－2n ＋2，最后一个数是n 2
，第n 行共有(2n －1)个数；
(3)第n 行各数之和为：n 2－2n ＋2＋n 22
×(2n －1)＝(n 2－n ＋1)(2n －1)．
类型二图形规律
针对演练
一、图形累加规律探索
1. (2016荆州)如图，用黑白两种颜色的菱形纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案．若第n个图案中有2017个白色纸片，则n的值为( )
第1题图
A. 671
B. 672
C. 673
D. 674
2. 下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有6个小圆圈，第②个图形中一共有9个小圆圈，第③个图形中一共有12个小圆圈，…，按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为 ( )
第2题图
A. 21
B. 24
C. 27
D. 30
3. (2016某某B卷)观察下列一组图形，其中图形①中共有2颗星，图形②中共有6颗星，图形③中共有11颗星，图形④中共有17颗星，…，按此规律，图形⑧中星星的颗数是( )
第3题图
A. 43
B. 45
C. 51
D. 53
4. (2015某某)用火柴棒按如图所示的方式摆大小不同的“H”，依此规律，摆出第9个“H”需用火柴棒________根．
第4题图
5. (2015某某)观察下列图形，它们是按照一定规律排列的，依照此规律，第五个图有________个太阳．
第5题图
6. (2016某某)观察下列砌钢管的横截面图：
第6题图
则第n个图的钢管数是__________(用含n的式子表示)．
【答案】
1．B 【解析】对于每个图中的白色纸片的个数，依次是4，7＝4＋3，10＝4＋3×2，…，那么，第n 个图中的白色纸片的个数为4＋3×(n －1)＝3n ＋1，令3n ＋1＝2017，解得n ＝672.
2．B 【解析】第①个图形有6个小圆圈，第②个图形有6＋3＝9个小圆圈，第③个图形有6＋3×2＝12个小圆圈，…，按照这个规律，第个图形有6＋3(n －1)＝3n ＋3个小
圆圈，故第⑦个图形一共有3×7＋3＝24个小圆圈．
3．C 【解析】图形①中星星的颗数为：2＝1＋(2×1－1)，图形②中星星的颗数为：6＝(1＋2)＋(2×2－1)，图形③中星星的颗数为：11＝(1＋2＋3)＋(2×3－1)，图形④中星星的颗数为：17＝(1＋2＋3＋4)＋(2×4－1)，…，图形
中星星的颗数为：(1＋2＋…＋n )＋(2n －1)＝n （n ＋1）2＋2n －1，所以图形⑧中星星的颗数为：8×（8＋1）2
＋2×8－1＝
51.
4．29 【解析】
图形序号
火柴棒数量
图形序号与火柴棒数量的关系
1 5根 3×1＋2＝5
2 8根 3×2＋2＝8
3 11根 3×3＋2＝11
…
…
…
n (3n ＋2)根 3×n ＋2＝3n ＋2
∴第9个“H ”所需的火柴棒的数量为3×9＋2＝29根．
5．21 【解析】∵所有图形中，第一行太阳的个数分别为1，2，3，4，…，n ，∴第五个图形第一行太阳的个数为5，∵所有图形中，第二行太阳的个数分别为1，2，4，8，…，2
n －1
，∴第五个图形第二行太阳的个数为24
＝16个太阳，∴第五个图形共有5＋16＝21个太
阳．
6.32n 2＋3
2n 【解析】
n
1 2 3 4 … n
钢管数 3 9 18 30 … …
规律
3×1×2
2
3×2×3
2
3×3×4
2
3×4×5
2
…
3n （n ＋1）
2
由表可知，第n 个图的钢管数是3n （n ＋1）2＝32n 2＋3
2
n .
二、图形成倍递变规律探索
1. (2016六盘水)如图，已知AB ＝A 1B ，A 1B 1＝A 1A 2，A 2B 2＝A 2A 3，A 3B 3＝A 3A 4…，若∠A ＝70°，则∠A n 的度数为( )
A.
70°2n B. 70°2n ＋1 C. 70°2n －1 D. 70°
2
n －2
第1题图
第2题图
2. (2016内江)一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点B 1在y 轴上，顶点C 1、E 1、
E 2、C 2、E 3、E 4、C 3…在x 轴上，已知正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O ＝60°，B 1C 1∥B 2C 2
∥B 3C 3…则正方形A 2016B 2016C 2016D 2016的边长是( )
A. (12)2015
B. (12)2016
C. (33)2016
D. (33
)2015
3. (2016某某)如图，已知直线l ：y ＝2x ，分别过x 轴上的点A 1(1，0)、A 2(2，0)、…、
A n (n ，0)，作垂直于x 轴的直线交l 于点
B 1、B 2、…、B n ，将△OA 1B 1、四边形A 1A 2B 2B 1、…、
四边形A n －1A n B n B n －1的面积依次记为S 1、S 2、…、S n ，则S n ＝( )
A. n 2
B. 2n ＋1
C. 2n
D. 2n －1
第3题图
第4题图
4. (2016威海)如图，点A 1的坐标为(1，0)，A 2在y 轴的正半轴上，且∠A 1A 2O ＝30°，过点A 2作A 2A 3⊥A 1A 2，垂足为A 2，交x 轴于点A 3；过点A 3作A 3A 4⊥A 2A 3，垂足为A 3，交y 轴于点A 4；过点A 4作A 4A 5⊥A 3A 4，垂足为A 4，交x 轴于点A 5；过点A 5作A 5A 6⊥A 4A 5，垂足为A 5，交
y 轴于点A 6；…按此规律进行下去，则点A 2016的纵坐标为________．
5. (2016某某)如图，∠MON ＝60°，作边长为1的正六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1，边A 1B 1、F 1E 1
分别在射线OM 、ON 上，边C 1D 1所在的直线分别交OM 、ON 于点A 2、F 2，以A 2F 2为边作正六边形A 2B 2C 2D 2E 2F 2，边C 2D 2所在的直线分别交OM 、ON 于点A 3，F 3，再以A 3F 3为边作正六边形
A 3
B 3
C 3
D 3
E 3
F 3，…，依此规律，经第n 次作图后，点B n 到ON 的距离是________．
第5题图
【答案】
1．C 【解析】在∵△ABA 1中，AB ＝A 1B ，∴∠A ＝∠BA 1A ，∵A 1A 2＝A 1B 1，∴∠B 1A 2A 1＝1
2∠
BA 1A ，同理，∠B 2A 3A 2＝12∠B 1A 2A 1＝14∠BA 1A ，∴∠A n ＝12n －1∠BA 1A ＝70°
2
n －1.
2．D 【解析】易得△B 2C 2E 2∽△C 1D 1E 1，∴
B 2
C 2C 1
D 1＝B 2
E 2C 1E 1＝C 2E 2D 1E 1＝C 2E 2
B 2E 2
＝tan30°，∴B 2C 2＝C 1D 1·tan30°＝
33，∴C 2D 2＝33，同理，B 3C 3＝C 2D 2·tan30°＝(33)2，由此猜想B n ＝(33
)n
－1，∴当n＝2016时，B
2016C2016＝(
3
3
)2015，故选D.
3．D 【解析】由题意可知，△OA1B1∽△OA2B2∽△OA3B3∽…∽△OA n B n且相似比为1∶2∶3∶…∶n，∴其面积比为1∶4∶9∶…∶n2，∴S1∶S2∶S3∶…∶S n＝1∶3∶5∶…∶(2n －1)，∵A1(1，0)，过点A1作垂直于x轴的直线交l：y＝2x于点B1，∴OA1＝1，A1B1＝2，∴S△OA1B1＝1，∴S n＝2n－1.
4．－31007 3 【解析】∵A1(1，0)，∠A1A2O＝30°，∴A2(0，3)，∵A2A3⊥A1A2，∴∠A3A2O＝60°，∴∠A2A3O＝30°，∴A3(－3，0)，同理，A4(0，－33)，A5(9，0)，A6(0，93)，A7(－27，0)，A8(0，－273)，…，即，A2(0，3)，A4(0，－33)，A6(0，93)，A8(0，－273)，列表如下：
∴A n＝3×
1
2
(3)
n
-
-，∵2016÷2－1＝1007，∴A2016的纵坐标是
-31007 3.
5．3n－1 3 【解析】由题意可知，∠MON＝60°，设点B n到ON的距离为h n，∵正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为1，∴A1B1＝1，易知△A1OF1为等边三角形，∴A1B1＝OA1＝1，∴OB1＝2，
则h1＝2×
3
2
＝3，又∵OA2＝A2F2＝A2B2＝3，∴OB2＝6，则h2＝6×
3
2
＝33，同理可求，
OB3＝18，则h3＝18×
3
2
＝93，…，依此可得，OB n＝2×3n－1，则h n＝2×3n－1×
3
2
＝3n－13，
∴点B n到ON的距离为3n－1 3.
三、图形循环规律探索
1. (2016某某)如图，已知菱形OABC的顶点O(0，0)，B(2，2)，若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为( )
A. (1，－1)
B. (－1，－1)
C. (2，0)
D. (0，－2)
第1题图
第2题图
2. 下列一串梅花图案是按一定规律排列的，请你仔细观察，在前2016个梅花图案中，共有________个“”图案．
3. 如图，正五边形五个顶点标有数字1、2、3、4、5，一只青蛙在五个顶点上跳，若它停在奇数点上，则下一次沿顺时针方向跳两个点；若它停在偶数点上，则下一次沿逆时针方向跳一个点；若青蛙从标有数字5的顶点开始跳，第一次跳后落在标有数字2的顶点上，第二次跳后落在标有数字1的顶点上，…，则第2017次跳后所停的顶点对应的数字为__________．
第3题图
4. (2016某某)如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点P1(0，1)，P2(1，1)，P3(1，0)，P4(1，－1)，P5(2，－1)，P6(2，0)，…，则点P60的坐标是________．
第4题图
第5题图
5. (2016聊城)如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3，以此类推…，则正方形OB2015B2016C2016的顶点B2016的坐标是________．
【答案】
1．B 【解析】∵菱形OABC的顶点坐标为O(0，0)，点B的坐标是(2，2)，∴BO与x 轴的夹角为45°，∵菱形的对角线互相垂直平分，∴点D是线段OB的中点，∴点D的坐标是(1，1)，∵菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，360°÷45°＝8，∴每旋转8秒，菱形的对角线交点D就回到原来的位置(1，1)，∵60÷8＝7……4，∴第60秒时是把菱形绕点O逆时针旋转了7周回到原来位置后，又旋转了4秒，即又旋转了4×45°＝180°，∴点D的对应点落在第三象限，且对应点与点D关于原点O成中心对称，∴第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为(－1，－1)．
2．504 【解析】观察图形可知，“”图案方向依次向下、向左、向上、向右，每四个为一个循环周期．∵2016÷4＝504，∴前2016个梅花图案中，有504个“”图案．
3．2 【解析】由5起跳，5是奇数，沿顺时针下一次能跳2个点，落在2上．由2起跳，2是偶数，沿逆时针下一次只能跳一个点，落在1上，1是奇数，沿顺时针跳两个点，落在3上．由3起跳，是奇数，沿顺时针跳两个点，落在5上.2－1－3－5－2，周期为4，∵又由2017＝4×504＋1，∴经过2017次跳后它停在的点所对应的数为2.
4．(20，0) 【解析】将点P的横纵坐标分开来看，P n的横坐标始终在变化且逐渐增大，而P n的纵坐标变化呈周期变化，即1，1，0，－1，－1，0，所以每6个点P的纵坐标为一个循环，显然60÷6＝10，恰好能够整除，所以点P60的纵坐标为0，即在x轴上，显然P6，P12，P18，…，这些点的横坐标为：2，4，6，…，所以点P6k的纵坐标为2k，∴点P60的横坐标为20，∴点P60的坐标为(20，0)．
5．(21008，0) 【解析】∵点B的位置依次落在第一象限、y轴正半轴、第二象限、x 轴负半轴、第三象限、y轴负半轴、第四象限、x轴正半轴，…，每8次一循环，2016÷8＝252，∴点B2016落在x轴正半轴，故B2016的纵坐标是0；OB n是正方形的对角线，OB1＝2，OB2＝2＝(2)2，OB3＝22＝(2)3，…，∴OB2016＝(2)2016＝21008，∴点B2016的坐标为(21008，0)．。