湖南省怀化市金山中学2019-2020学年高三数学文期末试题含解析

湖南省怀化市金山中学2019-2020学年高三数学文期末
试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 庆“元旦”的文艺晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须安排在前两位，节目乙不能安排在第一位，节目丙必须安排在最后一位，则该晚会节目演出顺序的编排方案共有
A．36种 B．42种 C．48
种 D．54种
参考答案：
B
2. 已知正项组成的等差数列的前项的和,那么最大值是
A．B．C．
D．不存在
参考答案：
A
略
3. 如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为
A. B. C. D.
参考答案：
A
函数关于点对称，则有，即，所以
，即，即，所以当时，，此时最小，选A.
4. 关于曲线C:给出下列四个命题：
（1）曲线C有两条对称轴，一个对称中心
（2）曲线C上的点到原点距离的最小值为1
（3）曲线C的长度l满足
（4）曲线C所围成图形的面积s满足
上述命题正确的个数是（）
A．1 B.2 C.3 D. 4
参考答案：
D
5. 一个旅游景区的游览线路如图所示，某人从点P处进，Q点处出，沿图中线路游览A、B、C三个景点及沿途风景，则不童复（除交汇点O外）的不同游览线路有
（）种
A.6
B. 8
C. 12
D. 48
参考答案：
D
6. 连续地掷一枚质地均匀的骰子4次，正面朝上的点数恰有2次为3的倍数的概率为
（）
A．B．C．D．
参考答案：
B
考点：独立重复试验恰好发生次的概率．
【名师点睛】概率问题理解角度不同选用公式就不一样，本题中记事件为“掷一枚质地
均匀的骰子1次，正面朝上的点数恰为3的倍数”，则，而题中事件可以看是抛掷骰子4次，事件恰好发生2次，显然每次抛掷都是相互独立的，因此可选用独立重复试验恰好发生次的概率公式求解，而这类问题也可用古典概型概率公式求解，抛掷骰子4次，向上一面的点可能是种可能，恰有2次为3的倍数即4次是有2次是3的倍数，另2次不是3的倍数，这样共有中可能，从而可计算概率．
7. 已知的夹角为120°，则方向上的投影为（）
A．０B．１ C．－１D．２参考答案：
A
8. 已知平面上的点，则满足条件的点在平面上组成的图形的面积为_______
A. B. C. D.
参考答案：
D
9. 已知全集，集合,则（）
A. B. C. D.
参考答案：
D
略
10. 已知圆C的圆心是直线x﹣y+1=0与y轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切，则圆的标准方程为（）
A．x2+（y﹣1）2=8 B．x2+（y+1）2=8 C．（x﹣1）2+（y+1）2=8 D．（x+1）2+（y﹣1）2=8
参考答案：
A
【考点】圆的标准方程．
【分析】对于直线x﹣y+1=0，令x=0，解得y．可得圆心C．设圆的半径为r，利用点到直线的距离公式及其圆C与直线x+y+3=0相切的充要条件可得r．
【解答】解：对于直线x﹣y+1=0，令x=0，解得y=1．
∴圆心C（0，1），
设圆的半径为r，
∵圆C与直线x+y+3=0相切，
∴r==2，
∴圆的标准方程为x2+（y﹣1）2=8．
故选：A．
【点评】本题考查了点到直线的距离公式及其圆与直线相切的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点,则椭圆的离心率为____ ___；
参考答案：
略
12. 已知函数，则．
参考答案：
5
13. 双曲线上一点P到点的距离为7，则点P到点的距离为
__________．
参考答案：
13
【分析】
先由双曲线方程得到，，根据双曲线的定义，即可求出结果.
【详解】根据题意，，
，
即或，
又，所以.
故答案为
【点睛】本题主要考查双曲线的定义，熟记定义即可，属于基础题型.
14. 已知点P（1，m）是函数y=ax+图象上的点，直线x+y=b是该函数图象在P点处的切线，则a+b﹣m= ．
参考答案：
2
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题：计算题；导数的概念及应用．
分析：求出函数y=ax+的导数，求出切线的斜率，由已知切线，得到a﹣2=﹣1，从而得到m，再由切线过切点，即可得到b，进而得到a+b﹣m．
解答：解：点P（1，m）是函数y=ax+图象上的点，则m=a+2，
函数y=ax+的导数y′=a﹣，
该函数图象在P点处的切线斜率为a﹣2，
由于直线x+y=b是该函数图象在P点处的切线，
则有a﹣2=﹣1，即a=1，m=3，b=1+m=4，
则有a+b﹣m=1+4﹣3=2．
故答案为：2．
点评：本题考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，考查运算能力，属于基础题．
15. 在中，点M，N满足,,若,则x－
y= ．
参考答案：
16. 二维空间中圆的一维测度（周长），二维测度（面积），观察发现
；三维空间中球的二维测度（表面积），三维测度（体积），观察发现.已知四维空间中“超球”的三维测度，猜想其四维测度_________．
参考答案：
【知识点】类比推理．M1
【答案解析】解析：∵二维空间中圆的一维测度（周长）l=2πr，二维测度（面积）S=πr2，观察发现S′=l，三维空间中球的二维测度（表面积）S=4πr2，三维测
度（体积）V=πr3，观察发现V′=S，∴四维空间中“超球”的三维测度V=8πr3，猜想其四维测度W，则W′=V=8πr3；
∴W=2πr4；故答案为：2πr4
【思路点拨】根据所给的示例及类比推理的规则得出高维的测度的导数是底一维的测度，从而得到W′=V，从而求出所求．
17. 已知曲线在点处的切线平行于直线，则___▲___. 参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分12分）旅行社为某旅行团包飞机去旅游，其中旅行社的包机费为
元. 旅行团中的每个人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅行团的人数不超过人时，飞机票每张收费元；若旅行团的人数多于人时，则予以优惠，每多人，每个人的机票费减少元，但旅行团的人数最多不超过人.设旅行团的人数为人，飞机票价格为元，旅行社的利润为元.
（I）写出飞机票价格元与旅行团人数之间的函数关系式；
（II）当旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？求出最大利润.
参考答案：
解：（I）依题意得，当时，；
当时，；
…………4分
（II）设利润为，则
…6分
当时，，
当时，，
又当时，，
答：当旅游团人数为人时，旅行社可获得最大利润元。

……12分
略
19. 某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内预计销售Q（万件）与广告费
x（万元）之间的函数关系为．已知生产此产品的年固定投入为4.5万元，每生产1万件此产品仍需再投入32万元，且能全部销售完．若每件销售价定为：“平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的25%”之和．
（1）试将年利润W（万元）表示为年广告费x（万元）的函数；
（2）当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大利润为多少？
参考答案：
（1）由题意可得，产品的生产成本为（32Q＋4.5）万元，
即当年广告费为7万元时，企业利润最大，最大值为55万元．
【说明】函数应用题，基本不等式求最值．
20. （本小题满分12分）
已知椭圆E的两焦点分别为（-1,0），(1，0)，且点在椭圆E上．
(I)求椭圆E的方程；
(Ⅱ)过点P（-2，0）的直线交椭圆E于两个不同的点A，B，且
，点C（不同于点B）是点B关于x轴的对称点，求△AOC面积的取值范围，
参考答案：
21. 已知函数f（x）=x（x﹣a）2，g（x）=﹣x2+（a﹣1）x（其中a为常数）
（1）如果函数y=f（x）和y=g（x）有相同的极值点，求a的值，并写出函数y=f（x）的单调区间；
（2）求方程f（x）﹣g（x）=0在区间上实数解的个数．
参考答案：
考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．
专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．
分析：（1）求出函数y=f（x）的导数，求出极值点，通过与y=g（x）有相同的极值点相同，求a的值，利用导数值的符号直接写出函数y=f（x）的单调区间；
（2）化简方程f（x）﹣g（x）=0，构造函数，通过a的讨论，利用判别式是否为0，即可求解在区间上实数解的个数．
解答：（本小题满分13分）
解：（1）f（x）=x（x﹣a）2=x3﹣2ax2+a2x，
则f'（x）=3x2﹣4ax+a2=（3x﹣a）（x﹣a），…
令f'（x）=0，得x=a或，而二次函数g（x）在处有极大值，
∴或；
综上：a=3或a=﹣1．…
当a=3时，y=f（x）的单调增区间是（﹣∞，1]，，满足题意，
即原方程有一解，x=a∈；…
2°当a=3时，△=0，h（x）=0的解为x=1，故原方程有两解，x=1，3；
3°当a=﹣1时，△=0，h（x）=0的解为x=﹣1，故原方程有一解，x=﹣1；
4°当a＞3时，△＞0，由于h（﹣1）=a+1＞4，h（0）=1，h（3）=13﹣3a
若时，h（x）=0在上有一解，故原方程有一解；
若，h（x）=0在上有两解，故原方程有两解
若时，h（x）=0在上两解，故原方程有两解；
5°当a＜﹣1时，△＞0，由于h（﹣1）=a+1＜0，h（0）=1，h（3）=13﹣3a＞0，
h（x）=0在上有一解，故原方程有一解；…
综上可得：当时，原方程在上两解；当a＜3或时，原方程在上有一解…．
点评：本题考查函数与导数的应用，函数的极值以及函数的单调区间，函数的零点的判断，考查分类讨论思想的应用，转化思想以及计算能力．
22. （本题满分12分）已知椭圆的对称中心为原点，焦点在轴上，左右焦点分别为
和，且，点在该椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）过的直线与椭圆相交于两点，若的面积为，求以为圆心且与直线相切圆的方程．
参考答案：
（1）椭圆C的方程为……………．．（4分）
（2）①当直线⊥x轴时，可得A（-1，-），B（-1，），A B的面积为3，不符合题
意．
…………（6分）
②当直线与x轴不垂直时，设直线的方程为y=k（x+1）．代入椭圆方程得：
，显然＞0成立，设A，B，则
，，可得|AB|=……………．．（10分）
又圆的半径r=，∴A B的面积=|AB| r==，化简得：17+-18=0，得k=±1，∴r =，圆的方程为
……………．．（12分）。