2021届宁夏石嘴山市第三中学高三上学期第三次月考(期末考试)数学试卷(文)(解析版)

宁夏石嘴山市第三中学2021届高三上学期第三次月考（期
末考试）数学试卷（文）
一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)
1. 已知集合{
}
21x
A y y ==+，{}
20B x x =-<，则A B =（ ）
A. ()1,2
B. ()0,2
C. ()1,+∞
D. ()2,+∞
『答案』A
『解析』由{}
1A y y =>，{}
2B x x =<，
得()1,2A B ⋂=. 故选：A.
2. 在等比数列{}n a 中，若43a =，996a =，则1a =（ ） A.
34
B.
38
C.
32
D.
35
『答案』B
『解析』设等比数列{}n a 公比为q ，
则5
9496323
a q a =
==， 解得：2q ，
则41338
a a q =
=. 故选：B. 3.
函数()f x =
）
A. ()2,+∞
B. 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
C. 1,2⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
D. [)2,+∞
『答案』A
『解析』由题知：200
2log 102
x x x x x >>⎧⎧⇒⇒>⎨⎨
->>⎩⎩.
所以函数(
)f x =()2,+∞.
故选：A
4. 若0.1
2a =，0.2
12b -⎛⎫= ⎪⎝⎭
，2log 0.1c =，则（ ） A. b a c >>
B. b c a >>
C. a b c >>
D. a c b >>
『答案』A
『解析』0.2
0.20.112202b a -⎛⎫==>=> ⎪⎝⎭
，
由对数函数的性质可得2log 0.10c =<， 故b a c >>. 故选：A.
5. 已知x ，y 满足约束条件204101x y x y x -+≥⎧⎪
--≤⎨⎪≥-⎩
，则31z x y =+-的最小值为（ ）
A. -6
B. -7
C. -8
D. -9
『答案』D
『解析』画出约束条件204101x y x y x -+≥⎧⎪
--≤⎨⎪≥-⎩
所表示的平面区域，如图所示，
由目标函数31z x y =+-可化为31y x z =-++，
当直线31y x z =-++过点A 时，在y 轴上的截距最小，此时目标函数取得最小值，
又由410
1
x y x --=⎧⎨
=-⎩，解得：)(1,5A --，
所以z 的最小值为()31519⨯---=-. 故选：D.
6. 已知0>ω，则“2ω=”是“π为函数3()sin 20f x x ωπ⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
的周期”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
『答案』A
『解析』当2ω=时，函数3()sin 20f x x ωπ⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
的最小正周期为π； 当4ω=时，函数3()sin 20f x x ωπ⎛⎫=-
⎪⎝
⎭
最小正周期为
2
π， π也是函数()f x 的周期.
故“2ω=”是“π为函数3()sin 20f x x ωπ⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
的一个周期”的充分不必要条件. 故选：A.
7. 在《九章算术》中有一个古典名题“两鼠穿墙”问题：今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠
日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.大意是有两只老鼠从墙的两边分别打洞
穿墙.大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.若垣厚33尺，则两鼠几日可相逢（ ） A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
『答案』B
『解析』设两鼠n 天可相逢，
由题意知：大鼠每天打洞的尺寸是首项为1，公比为2的等比数列，
大鼠n 天打洞尺寸为12
2112
n
n -=--，
的
小鼠每天打洞的尺寸是首项为1，公比为
1
2
的等比数列， 小鼠n 天打洞尺寸为
1111221212
n n --
=--， 两鼠n 天打洞尺寸之和为：11112122122
n n
n n ---+-=-+，
令1121332
n
n --+≥，
经验证：5n =时，1121332n
n --+≥不成立；
6n =时，11
21332
n n --+≥成立；
所以两鼠6日可相逢， 故选：B.
8. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ ）
A.
B.
C.
D.
3
『答案』A
『解析』由三视图可得，该几何体为放倒是三棱柱，底面积，高
，
因此棱柱的体积
，故『答案』为A ．
9. 函数y =||2x sin2x 的图象可能是( )
A. B.
C. D.
『答案』D
『解析』令||()2sin 2x f x x =，
因为,()2sin 2()2sin 2()x
x
x f x x x f x -∈-=-=-=-R ，所以||()2sin 2x f x x =为奇函
数，排除选项A,B;
因为π
(,π)2
x ∈时，()0f x <，所以排除选项C ，选D.
10. 已知正数a ，b 满足2a b ab +=，则2+a b 的最小值为（ ） A. 8
B. 10
C. 9
D. 6
『答案』C
『解析』由2a b ab +=得21
1b a
+=，
因为0,.0a b >>，所以21222(2)()5a b a b a b b a b a
+=++=+
+
5549≥+=+=， 当且仅当
22a b b a
=且21
1b a +=，即3a b ==时，等号成立.
所以2+a b 的最小值为9. 故选：C.
11. 若曲线()2
1
x e f x ax -=+在点()()1,1f 处的切线过点()1,0-，则函数()f x 的单调递减区
间为（ ） A. (),0-∞ B. ()0,∞+，(-1，0)
C ()
(),11,0-∞-- D. ()(),1,1,0-∞--
『答案』D
『解析』因为()2
1x e f x ax -=+，所以222(1)()(1)x x e ax e a f x ax --+-⋅'=+22
(1)(1)x e ax a ax -+-=+， 所以切线的斜率1
2
(1)(1)e k f a -'==+，
又曲线()2
1x e f x ax -=+在点()()1,1f 处的切线过点()1,0-，
所以(1)0
11f k -==+12(1)e a -+，所以112(1)2(1)e e a a --=++，解得1a =，
所以()21x e f x ax -=+2
1
x e x -=+,22
()(1)x xe f x x -'=+, 由()0f x '<得0x <且1x ≠-，
所以函数()f x 的单调递减区间为(,1)-∞-，(1,0)-. 故选：D.
12. 已知函数2(),x a
f x x x a
≤=>⎪⎩，若函数()f x 的值域为R ，则实数a 的取值范围为（ ）
A. (],1-∞
B. []0,1
C. (],0-∞
D. [)0,+∞
『答案』B
『解析』由函数y =
①当0a <时，
若x a ≤0≤
<，
而20x ≥，此时函数()f x 的值域不是R ；
②当0a ≥时，若x a ≤≤
而22x a >，
若函数()f x 的值域为R ，
必有2a ≤
可得01a ≤≤.
故若函数()f x 的值域为R ， 则实数a 的取值范围为[]0,1. 故选：B.
二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)
13. 已知向量a b ⊥，若()
2315a b a ⋅+=，则a =________.
『解析』a b ⊥，
0a b ∴⋅=，
又
()
2315a b a ⋅+=，
即2
2315a b a ⋅+=， 即2
315a =， 解得：5a =.
故『答案』
14. 在前n 项和为n S 的等差数列{}n a 中，若()()153693218a a a a a ++++=，则8S =________.
『答案』12
『解析』()()153693218a a a a a ++++=，
即366618a a +=， 即363a a +=，
则()
()1883684122
a a S a a +=
=+=. 故『答案』为：12.
15. 若等边ABC 的边长为1，平面内一点M 满足11
32
CM CB CA =+，则MA MB ⋅=______________.
『答案』2
9
-
『解析』由已知111cos602
CA CB ⋅=⨯⨯︒=
， 1111
3223MA CA CM CA CB CA CA CB =-=--=-，
1121
3232
MB CB CM CB CB CA CB CA =-=--=-，
221121112
()()2332429
1112242299
MA MB CA CB CB CA CA CA CB CB
⋅=-⋅-=-+⋅-=-+⨯-=-∴，
故『答案』为：2
9
-
． 16. 在三棱锥D ABC -中，CD ⊥底面ABC ，,5,4AC BC AB BD BC ⊥===，则此三棱锥的外接球的表面积为______.
『答案』34π
『解析』因为CD ⊥底面ABC ，所以CD AC ⊥，CD BC ⊥，又AC BC ⊥，
所以三棱锥D ABC -的外接球就是以,,CD CA CB 为棱的长方体的外接球，其直径为长方体的对角线，
因为3CD =
==
，3AC ===，
所以外接球的直径2R = 所以外接球的表面积为243434R πππ=⨯=. 故『答案』为：34π.
三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)
17. 在ABC ∆中，60A ∠=，3
.7
c a = （1）求sin C 的值；
（2）若7a =，求ABC ∆的面积． 解：（1）60A ∠=，37
c a =
，
由正弦定理可得33sin sin 77214
C A =
=⨯=
（2）若7a =，则3c =，
C A ∴<，
22sin cos 1C C +=，又由()1可得13
cos 14
C =
，
()131sin sin sin cos cos sin 2142147
B A
C A C A C ∴=+=+=
⨯+⨯=
，
11
sin 7322ABC S ac B ∆∴=
=⨯⨯=． 18. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面111A B C ，AC AB ⊥，4AC AB ==，
16AA =，点E ，F 分别为1CA 与AB 的中点.
（1）证明：//EF 平面11BCC B . （2）求三棱锥1B AEF -的体积. （1）证明：如图，连接1AC ，1BC ，
在三棱柱111ABC A B C -中，E 为1AC 的中点，F 为AB 的中点， 所以1//EF BC ，
又EF ⊄平面11BCC B ，1BC ⊂平面11BCC B ，
所以//EF 平面11BCC B ．
（2）解：因为AC AB ⊥，1AA AC ⊥，1AA AB A ⋂=， 所以AC ⊥平面11ABB A ， 又4AC =，E 为1A C 的中点， 所以点E 到平面11ABB A 的距离为11
4222
d AC ==⨯=． 又1AB F ∆的面积为11
2662
AB F S ∆=⨯⨯=， 所以111
2643
B AEF E AB F V V --==
⨯⨯=． 19. 设数列{}n a ､{}n b 的前n 项和分别为n S ､n T ，且21
(37)2
n S n n =
+，2(1)n n T b =-*()n ∈N ，
（1）求数列{}n a ､{}n b 的通项公式； （2）令n n n c a b =⋅，求{}n c 的前n 项和n U . 解：（1）由21
(37)2
n S n n =
+得115a S ==， 当2n ≥时，()()2
2111(37)317122n n n a S S n n n n -⎡⎤=-=
+--+-⎣
⎦32n =+，
当1n =时，1325a =+=也适合， 故32n a n =+.
由2(1)n n T b =-得1112(1)b T b ==-，得12b =，
当2n ≥时，112(1)2(1)n n n n n b T T b b --=-=---，得12n n b b -=，
又12b =，所以
12n n b b -=，所以数列{}n b 是首项为2，公比为2的等比数列， 所以1222n n n b -=⨯=.
综上所述：32n a n =+，2n n b =.
（2）(32)2n n n n c a b n ==+⨯，
所以1235282112(32)2n n U n =⨯+⨯+⨯+
++⨯， 所以234125282112(32)2n n U n +=⨯+⨯+⨯+
++⨯， 所以2312523(222)(32)2n n n n U U n +-=⨯+++
+-+⨯， 所以23143(2222)(32)2n n n U n +-=+++++-+⨯
12(12)43(32)212
n n n +-=+⨯-+⨯- (62)22n n =-+⨯-，
所以1(31)22n n U n +=-⨯+.
20. 已知函数()2
ln f x x a x =+. （1）当2a =-时，求函数()f x 在点(e ，f (e ))处的切线方程
（2）若()()2g x f x x
=+在[1,+)∞上是单调增函数，求实数a 的取值范围. 解：（1）当2a =-时，()22f x x lnx =-，定义域为(0,)+∞，
2222()2x f x x x x -'=-=，所以函数()f x 在点(e ，f (e ))处的切线的斜率为222()e f e e
-'=， 又2()2f e e =-，
所以函数()f x 在点(e ，f (e ))处的切线方程为22
22(2)()e y e x e e ---=-，即2222e y x e e
-=-.
（2）因为()()2g x f x x =+22ln x a x x
=++在[1,+)∞上是单调增函数， 所以322222()2a x ax g x x x x x
+-'=-+=0≥在[1,+)∞上恒成立， 即222a x x
≥
-在[1,+)∞上恒成立， 因为222y x x =-在[1,+)∞上为单调递减函数，所以当1x =时，222y x x =-取得最大值0， 所以0a ≥.
21. 已知函数1()(2)ln 2f x a x ax x
=-++， （1）当2a =时，求函数()f x 的极值；
（2）当0a <时，讨论函数()f x 的单调性；
（3）若对a ∀∈(-3，-2)，12,x x ∈[1，3] ，不等式12(ln 3)2ln 3|()()|m a f x f x +->-恒成立，求实数m 的取值范围.
解：（1）当2a =时，1()4f x x x =+(0)x >，222141()4x f x x x
-'=-=， 当102
x <<时，()0f x '<，当12x >时，()0f x '>， 所以()f x 在1
(0,)2上递减，在1
(,)2
+∞上递增， 所以()f x 在12x =处取得极小值1()42
f =，无极大值. （2）当0a <时，1()(2)ln 2f x a x ax x =-+
+，定义域为(0,)+∞， 221()2a f x a x x -=-+'222(2)1ax a x x
+--=2(1)(21)ax x x +-=， 令()0f x '=得1x a =-或12
x =，
当112a ->，即20a -<<时，由()0f x '<得102
x <<或1x a >-，由()0f x '>得112x a
<<-， 所以()f x 在1
(0,)2和1(,)a -+∞上单调递减，在11(,)2a
-上单调递增， 当112a -=，即2a =-时，2
2(21)()x f x x
--'=0≤，所以()f x (0,)+∞上单调递减， 当112a -<，即2a <-时，由()0f x '<得10x a <<-或12x >，由()0f x '>得112
x a -<<， 所以()f x 在1
(0,)a -和1
(,)2+∞上单调递减，在11(,)2
a -上单调递增， （3）由（2）可知对a ∀∈(-3，-2)，()f x 在[1,3]上单调递减，
因为不等式12(ln 3)2ln 3|()()|m a f x f x +->-恒成立， 等价于12max (ln3)2ln3()()m a f x f x +->-1max 2min ()()f x f x =-，
而1max ()(1)12f x f a ==+，2min 1()(3)(2)ln 363f x f a a ==-+
+， 所以1(ln 3)2ln 312(2)ln 363m a a a a +->+---
-， 即2(4)03
m a +->对a ∀∈(-3，-2)恒成立， 所以23(4)0322(4)03m m ⎧-+-≥⎪⎪⎨⎪-+-≥⎪⎩，解得133m ≤-. 22. 已知a ，()0,b ∈+∞，且242a b =.
（1）求21a b
+的最小值； （2）若存在a ，()0,b ∈+∞，使得不等式2113x a b
-+≥+成立，求实数x 的取值范围. 解：（1）因为242a b =，所以222a b +=，所以21a b +=，
因为0,0a b >>， 所以2121(2)()a b a b a b +=+
+4448b a a b =++≥+=， 当且仅当11,24a b =
=时，等号成立. 所以21a b
+的最小值为8. （2）若存在a ，()0,b ∈+∞，使得不等式2113x a b -+≥+成立， 则min
2113x a b ⎛⎫-+≥+ ⎪⎝⎭， 由（1）知min 218a b ⎛⎫+= ⎪⎝
⎭，所以|1|38x -+≥，即15x -≥， 所以4x ≤-或6x ≥.。