工程流体力学答案（陈卓如）

第一章
[陈书1-15] 图轴在滑动轴承中转动，已知轴的直径cm D 20=，轴承宽度cm b 30=，间隙
cm 08.0=d 。

间隙中充满动力学粘性系数s Pa 245.0×=m 的润滑油。

若已知轴旋转时润滑
油阻力的损耗功率W P 7.50=，试求轴承的转速?=n 当转速min 1000r n =时，消耗功率为多少？（轴承运动时维持恒定转速）率为多少？（轴承运动时维持恒定转速）
【解】轴表面承受的摩擦阻力矩为：2
D
M A
t =
其中剪切应力：dr
du
rn
t =
表面积：Db A p =
因为间隙内的流速可近似看作线性分布，而且对粘性流体，外表面上应取流速为零的条件，
故径向流速梯度：d
w 2D dr du =
其中转动角速度：n p w 2=
所以：2322nD
D D nb M Db p mp m p d
d == 维持匀速转动时所消耗的功率为：3322D n b
P M M n mp w p d
===
所以：Db
P D n mp d p 1
=
将：将： s Pa 245.0×=m
m cm D 2.020== m cm b 3.030==
m cm 4
10808.0-´==d
W P 7.50= 14.3=p
代入上式，得：min r 56.89s r 493.1==n 当s r 3
50min r 1000=
=n 时所消耗的功率为：时所消耗的功率为：
W b
n D P 83.6320233==
d
mp
[陈书1-16]两无限大平板相距mm 25=b 平行（水平）放置，其间充满动力学粘性系数
s Pa 5.1×=m 的甘油，在两平板间以s m 15.0=V 的恒定速度水平拖动一面积为
2
m 5.0=A 的极薄平板。

如果薄平板保持在中间位置需要用多大的力？如果置于距一板
10mm 的位置，需多大的力？的位置，需多大的力？
【解】平板匀速运动，受力平衡。

【解】平板匀速运动，受力平衡。

题中给出平板“极薄”，故无需考虑平板的体积、重量及边缘效应等。

，故无需考虑平板的体积、重量及边缘效应等。

本题应求解的水平方向的拖力。

本题应求解的水平方向的拖力。

水平方向，薄板所受的拖力与流体作用在薄板上下表面上摩擦力平衡。

水平方向，薄板所受的拖力与流体作用在薄板上下表面上摩擦力平衡。

作用于薄板上表面的摩擦力为：作用于薄板上表面的摩擦力为：
A dz du
A F u
u u m
t == 题中未给出流场的速度分布，且上下两无限大平板的间距不大，不妨设为线性分布。

题中未给出流场的速度分布，且上下两无限大平板的间距不大，不妨设为线性分布。

设薄板到上面平板的距离为h ，则有：，则有：
h
V
dz du u = 所以：A h
V F u m
= 同理，作用于薄板下表面的摩擦力为：同理，作用于薄板下表面的摩擦力为：
A h b V
F d
-=m
维持薄板匀速运动所需的拖力：维持薄板匀速运动所需的拖力：
÷ø
ö
çèæ
-+=+=h b h AV F F F d u 11m 当薄板在中间位置时，m 105.12mm 5.123
-´==h
将m 1025mm 253
-´==b 、s m 15.0=V 、2
m 5.0=A 和s Pa 5.1×=m 代入，得：代入，得：
N 18=F
如果薄板置于距一板（不妨设为上平板）10mm 的位置，则：的位置，则：
m 1010mm 103
-´==h
代入上式得：N 75.18=F
[陈书1-17]一很大的薄板放在m 06.0=b 宽水平缝隙的中间位置，宽水平缝隙的中间位置，板上下分别放有不同粘度板上下分别放有不同粘度的油，一种油的粘度是另一种的2倍。

当以s m 3.0=V 的恒定速度水平拖动平板时，每平方米受的总摩擦力为N 29=F 。

求两种油的粘度。

求两种油的粘度。

【解】平板匀速运动，受力平衡。

【解】平板匀速运动，受力平衡。

题中给出题中给出 薄板”，故无需考虑平板的体积、重量及边缘效应等。

，故无需考虑平板的体积、重量及边缘效应等。

本题应求解的水平方向的拖力。

本题应求解的水平方向的拖力。

水平方向，薄板所受的拖力与流体作用在薄板上下表面上摩擦力平衡。

水平方向，薄板所受的拖力与流体作用在薄板上下表面上摩擦力平衡。

不妨先设平板上面油的粘度为m ，平板下面油的粘度为m 2。

作用于薄板上表面的摩擦力为：作用于薄板上表面的摩擦力为：
A dz du A F u u u m t ==
题中未给出流场的速度分布，且上下两无限大平板的间距不大，不妨设为线性分布。

题中未给出流场的速度分布，且上下两无限大平板的间距不大，不妨设为线性分布。

薄板到上面平板的距离为2b ，所以：，所以：
b V
dz du u 2=
所以：b
V
A F u 2
m =
同理，作用于薄板下表面的摩擦力为：同理，作用于薄板下表面的摩擦力为：
b
V A F d 4m =
维持薄板匀速运动所需的拖力：维持薄板匀速运动所需的拖力： b
AV F F F d u m 6=+=
所以：所以：
AV
Fb 6=
m 将m 06.0=b 、s m 3.0=V 、2
m 1=A 和N 29=F 代入，得平板上面油的粘度为：代入，得平板上面油的粘度为：
s Pa 967.0×=m
平板下面油的粘度为：s Pa 933
.12×=m
从以上求解过程可知，若设平板下面油的粘度为m ，平板上面油的粘度为m 2，可得出同样的结论。

的结论。

[陈书1-22] 图示滑动轴承宽mm 300=b ，轴径mm 100=d ，间隙mm 2.0=d ，间隙中充满了动力学粘性系数s 0.75Pa ×=m 的润滑油。

试求当轴以min r 300=n 的恒定转速转动时所需的功率。

（注：不计其他的功率消耗）（注：不计其他的功率消耗）
【解】轴表面承受的摩擦阻力矩为：2
d M A
t =
其中剪切应力：dr
du
m
t =
表面积：db A p =
因为间隙内的流速可近似看作线性分布，而且对粘性流体，外表面上应取流速为零的条件，故径向流速梯度：
d
w 2d
dr du =
其中转动角速度：n p w 2=
所以：232d nb M mp
d
=
维持匀速转动时所消耗的功率为：3322d n b P M M n mp w p d
=== 将：将： s 0.75Pa
×=m
m 1.0mm 100==d
m 3.0mm 300==b
m 102mm 2.04
-´==d
14.3=p
s r 5min r 300==n
代入上式，得消耗的功率为：代入上式，得消耗的功率为： W 73.870=P
[陈书1-23]图示斜面倾角o
20=a ，一块质量为25kg ，边长为1m 的正方形平板沿斜面等速下滑，平板和斜面间油液厚度为mm 1=d 。

若下滑速度s m 25.0=V ，求油的粘度。

，求油的粘度。

［解］由平板等速下滑，知其受力平衡。

［解］由平板等速下滑，知其受力平衡。

沿斜坡表面方向，平板下表面所受油液的粘滞力与重力沿斜面的分量平衡。

沿斜坡表面方向，平板下表面所受油液的粘滞力与重力沿斜面的分量平衡。

平板下表面承受的摩擦阻力为：A F t =
其中剪切应力：dz
du m
t =
因为间隙内的流速可近似看作线性分布，而且对粘性流体，外表面上应取流速为零的条件，
故垂直于斜坡表面方向的流速梯度为：d
V
dz du =
所以：d
m VA
F =
而重力在平行于斜面方向的分量为：a sin m g G =
因：G F =
故：a d
m sin mg VA
= 整理得：VA
mg ad
m sin =
将：将：
kg 25=m
2
m 1=A
m 101mm 13
-´==d
s m 25.0=V
2
s m 8.9=g
代入上式，得：代入上式，得： s Pa 335
.0×=m
第二章
［陈书2-8］容器中盛有密度不同的两种液体，问测压管A 及测压管B 的液面是否和容器中的液面O-O 齐平？为什么？若不齐平，则A 、B 测压管液面哪个高？测压管液面哪个高？
［解］依题意，容器内液体静止。

［解］依题意，容器内液体静止。

测压管A 与上层流体连通，且上层流体和测压管A 均与大气连通，故A 测压管的液面与液面O-O 齐平。

齐平。

测压管B 与上下层流体连通，其根部的压强为：与上下层流体连通，其根部的压强为：
a
p
gh gh p ++
=
2
2
1
1
r r
其中1h 为上层液体的厚度，2h 为液体分界面到B 管根部的垂向距离，a p 为大气压为大气压
2
r 1r O O
A B
因测压管B 与大气连通，其根部的压强又可表示为：与大气连通，其根部的压强又可表示为：
a p gh p +=2r
其中h 为B 管内气液界面到B 管根部的垂向距离管根部的垂向距离 所以：
gh
gh
gh
2
2
2
11
r r r =+
212
12
2
2
11h
h h
h
h +=
+=r r r r r 由此可知：若21r r <，B 测压管的液面低于A 测压管的液面和O-O 面；若21r r >，B 测
压管的液面高A 测压管的液面和O-O 面；若21r r =，A 、B 测压管的液面和O-O 面三者平齐。

齐。

又因为密度为1r 的液体稳定在上层，故21r r <。

［陈书2-12］容器中有密度为1r 和2r 的两种液体，试绘出AB 面上的压强分布图。

面上的压强分布图。

［解］令上、下层液体的厚度分别为1h 和2h ，取垂直向下的方向为z 轴的正方向，并将原点设在自由表面上，可写出AB 表面上压强的表达式：表面上压强的表达式：
()îíì+£<-++££+=21121111 0 h h z h h z g gh p h z gz p p a
a r r r 整理得：整理得：
()îíì+£<+-+££+=2112121
11 0 h h z h gz gh p h z gz p p a a r r r r
2
r 1
r A
B
A
C
B
P 012P g AC g BC
r r ++01P g AC
r +/h m
/P Pa
［陈书2-24］直径D=1.2m ，L=2.5的油罐车，内装密度3900m kg =r 的石油，油面高度为h=1m ，以2
2s m a =的加速度水平运动。

试确定油罐车侧盖的加速度水平运动。

试确定油罐车侧盖 A 和B 上所受到的油液的作用力。

力。

［解］取x 坐标水平向右，y 坐标垂直纸面向内，z 坐标垂直向上，原点定在油罐的中轴线上。

油液受到的体积力为：上。

油液受到的体积力为：
a f x -= 0=y f g f z -=
由欧拉方程积分可得：gz ax p p C
r r --=
根据题意及所选的坐标系，当h z x ==,0时，a p p = 故：gh p p C
a r -=
gh p p a
C r += 所以：()ax z h g p p a r r --+=
因大气压的总体作用为零，故上式中可令0=a p 于是：()ax z h g p r r --= 左侧盖形心的坐标：0,2
=-=z L x
故该处的压强：
2
L a gh p L
r r +=
左侧盖所受油液的作用力：N D p F L L 7.12523
4
2==p （取2
s m 81.9=g ） 右侧盖形心的坐标：0,2
==
z L
x
故该处的压强：2
L a gh p R r
r -=
左侧盖所受油液的作用力：N D p F R R 1.74394
2==p （取2
s m 81.9=g ）
［陈书2-26］盛有水的圆筒形容器以角速度w 绕垂直轴作等速旋转，设原静水深为h ，容器半径为R ，试求当w 超过多少时可露出筒底？超过多少时可露出筒底？ 解：非惯性坐标系中相对静止流体满足欧拉方程：()Zdz Ydy Xdx dp ++=r 等速旋转时液体所受的质量力为：等速旋转时液体所受的质量力为：
q w cos 2r X =，q w sin 2r Y =，g Z -=
将其代入欧拉方程，积分得：将其代入欧拉方程，积分得：
C gz r p
+÷ø
öçèæ-=2
221
w r
自由表面中心处r=0，a p p =（大气压），再令此处的z 坐标为：C z （令筒底处z=0），代入上式，得：上式，得：
C gz p C
a +-=r 所以：C a gz p C r +=
所以：C
a gz p gz r p r w r ++÷øöçèæ
-=2221
等压面的方程：gz
r gz
p p C a -=--2221w r
r
对于自由表面：a p p =，故自由表面的方程为：，故自由表面的方程为：
gz r gz C -=-2221w
r
r
当筒底刚好露出时，0
=C
z ，所以自由面方程为：，所以自由面方程为：
222
1r g z w =
自由面与筒壁相交处的垂向坐标：2
221R g
H w = 旋转后的水体体积：旋转后的水体体积：
4
2424222222422
2222
2
2022442212
12212R g R g R g R g R g g R g H g R g R dz gz
h R dz r H R V H
H w p w p w p w w w p w p w
p w p w p
p p p =-=-=-=-=-=òò
将水视为不可压缩流体，根据质量守恒，旋转前后的水体体积应相等，所以：将水视为不可压缩流体，根据质量守恒，旋转前后的水体体积应相等，所以：
h R R g
V 2424p w p
==
所以：gh R
2=w
［陈书2-39］在由贮水池引出的直径D=0.5m 的圆管中安装一蝶阀，h=10m ，蝶阀是一个与管道直径相同的圆板，管道直径相同的圆板，它能绕通过中心的水平轴回转。

它能绕通过中心的水平轴回转。

它能绕通过中心的水平轴回转。

为不使该阀自行转动，为不使该阀自行转动，为不使该阀自行转动，问所需施加的问所需施加的力矩应为多大？力矩应为多大？
［解］将阀门的圆心定为坐标原点，z 轴垂直向上，则压强分布为：轴垂直向上，则压强分布为：
()z h g p -=r
由于静水压导致阀门所受的总力矩为：由于静水压导致阀门所受的总力矩为：
(
)ò
òòò
ò
òò----------=-÷÷øöççèæ-=-=-=-==22
2
2
422
2
2422
3
3
2
2
2242
223
2
22
3222222cos sin 2cos sin 23cos 2cos sin 2cos sin 2cos sin sin 22p
p p p p p p p
p p
p
p q
q q r q q q r q r q q q r q q q r q
q q q r d gR
d gR h gR d gR d h gR d R h gR dz z R pz pzdA M R R R R
()14cos 8
1
16
24
22cos sin 4
4
2
2
2
2
2
22-=+-=÷÷ø
öççè
æ-=÷÷øöççè
æ+÷÷ø
öççèæ-=---
-
q q q s
q
s
q
s
q
s q
i i i i i i i i e e e e e e e
e
所以：()()m N gR gR d gR d gR M .08.304
4sin 414114cos 4114cos 81242242
24224==úú
ûùêêëé-÷øöçèæ--=--=--=---òòr p p q r q q r q q r p p p p p p
［陈书2-43］图示一储水设备，在C 点测得绝对压强为Pa 29430
=p ，h=2m ，R=1m 。

求
半球曲面AB 所受到液体的作用力。

所受到液体的作用力。

［解］建立如图所示的坐标系，其中坐标原点取在球心，z 轴垂直向上。

以C 为参考点，容器内任意点的压强可表达为：器内任意点的压强可表达为：
÷øöçè
æ
+-=2h z g p p C
r
作用在曲面AB 上任意点处的压强均与表面垂直，即压力的作用线通过球心。

简单分析可知，
曲面上水平方向的液体合压力为零，液体的曲面的总作用力仅体现在垂直方向，且合力方向向上，且合力作用线通过球心。

向上，且合力作用线通过球心。

球面的外法线方向：球面的外法线方向：
()
k j i n
q j q j q sin ,sin cos ,cos cos =
其中q 为纬度角，j 为经度角。

为经度角。

曲面AB 上的垂向总液体压力：上的垂向总液体压力：
ò
=2
02p q p rRd pn F z z
其中：q sin =z n ，q cos R r =
所以：ò
=2
2cos sin 2p q q q p d p R
F z
÷
ø
öç
èæ--=úû
ùêëé÷øöçèæ+-=úûùêëé÷øöç
èæ+-=òòòòòò2020202202022
02cos sin 2cos sin cos sin 2cos sin 2cos sin 2cos sin 22p p p p p p
q q q r q q q r q q q p q q q r q q q p q q q r p d h g d z g d p R d h z g d p R d h z g p R F C C C z h
A B
R
2
h
水
将q sin R z =和
2
1
cos sin 2
=
ò
p q q q d 代入上式，得：代入上式，得： ÷ø
öçèæ
--=÷øöçèæ--=÷øöçèæ--=÷ø
ö
çèæ
--=òògh gR p R gh gR p R
gh d gR p R gh d gR p R F C C C C z r r p r r p r q q q r p r q q q r p p p 2132413121241cos sin 21241cos sin 2122220222
022
将Pa 29430=C p ，h=2m ，R=1m ，3m kg 1000=r 和2s m 81.9=g 代入，得：代入，得：
N 6.41102=z F
第三章第三章
[陈书3-8] 已知流体运动的速度场为3
2x v yt at =+，2y v xt =，0z v =，式中a 为常数。

试求：1t =时过(0,)b 点的流线方程。

点的流线方程。

解：解：
流线满足的微分方程为：
x
y
z
dx dy dz v v v =
=
将
32x
v yt at =+，2y v xt =，0
z v =，代入上式，得：，代入上式，得： 322dx dy
yt at xt
=
+（x-y 平面内的二维运动）平面内的二维运动） 移向得：3
2(2)xtdx yt at dy =+
两边同时积分：3
3
2(2)xtdx yt at dy =+òò
（其中t 为参数）为参数）
积分结果：22
3
x t y t ayt C =++（此即流线方程，其中C 为积分常数）为积分常数） 将t=1, x=0, y=b 代入上式，得：2
0b ab C =++
∴积分常数2
C b ab =--
∴t=1时刻，过(0,b)点的流线方程为：222
()x y ay b ab =+-+ 整理得：2
2
2
()0x y ay b ab --++=
陈书3-10 已知二元不可压缩流体流动的流线方程如下，问哪一个是无旋的？已知二元不可压缩流体流动的流线方程如下，问哪一个是无旋的？ （1）2Axy C =； （2）Ax By C +=； （3）
()
2
ln A xy C =，
其中A ，B ，C 均为常数。

均为常数。

[解法一] 
（1）根据流线方程2Axy C =Þ 220Aydx Axdy +=
当0A ¹时，有
dx dy
x y
=- 令(),u xf x y =，(),v yf x y =-
根据流体的不可压缩性，从而''''0x y x y u v
f xf f yf xf yf x y
¶¶+=+--=-=¶¶ 再把流线方程2Axy C =对x 求导得到求导得到
''220y
Ay Axy y x
+=Þ=-
所以
''''''
20x y y y y u v xf yf xf y yf yf x y
¶¶+=-=-=-=¶¶ y 是任意的，得到'
0y f =
2'''0y x y u v
y xf yf x f y x x æö¶¶-=+=-=
ç÷¶¶è
ø
无旋无旋
（2）根据流线方程Ax By C +=Þ 0Adx Bdy +=
令(),u Bf x y =，(),v Af x y =-
根据流体的不可压缩性，从而''0x y u v
Bf Af x y
¶¶+=-=¶¶ 再把流线方程Ax By C +=对x 求导得到求导得到
''
0A
A By y B
+=Þ=-
所以'''
20x y y u v Bf Af Af x y ¶¶+=-=-=¶¶
当0A =时，0v =无旋无旋
当0A ¹时，'
0y f =
2
'''0y x y u v A Bf Af B f y x B æö¶¶-=+=-=ç
÷¶¶èø
无旋无旋
（3）根据流线方程
(
)
2
ln A xy
C =
Þ2
22111220A y dx xydy A dx dy xy xy x
y æöæö+=+=ç÷ç÷èøèø
当0A ¹时，
2dx dy x
y =-
令(())2,u xf x y =，(()
)
,v yf x y =-
再把流线方程2Axy C =对x 求导得到求导得到
2''22
111220A y xyy A y xy xy x y æöæö+=+=ç÷ç÷èøèø
Þ'2y y x =-
根据流体的不可压缩性，根据流体的不可压缩性，
从而'''''22220x y x y y
u v f xf f yf f xf yf f yf x y
¶¶+=+--=+-=-=¶¶ 2'
''
222y x y u v y xf yf x
f y x x æö¶¶-=+=-ç÷¶¶è
ø，不恒为0 有旋有旋 [解法二] （1）由题意知：）由题意知： 流函数(),x y xy y = 得到得到
u x
y v y x
¶y
=-
=-¶¶y
==¶
从而从而
0u v
y x
¶¶-=¶¶
无旋无旋
（2）同上）同上
流函数(),x y Ax By y =+
u B =-，v A =
0u v y
x
¶¶-
=¶¶
无旋无旋
（3）同上）同上
流函数
()
2
,x y xy y =
2u xy =-，2
v y = 20u v
x y x
¶¶-=-¹¶¶ 有旋有旋
[陈书3-11] 设有两个流动，速度分量为：设有两个流动，速度分量为： (1) ,,0x
y z v ay v ax v =-==；
(2) 2222,
,
0x
y
z
cy cx x y x y v
v v ++=-=
=
式中,a c 为常数。

试问：这两个流动中哪个是有旋的？哪个是无旋的？哪个有角变形？哪
个无角变形？个无角变形？
解：两个流动中均有
0z v =，即均为平面二维流动状态，因此旋转角速度分量
0x y w w ==，角变形速度分量0x y g g ==。

(1) 11
()()22
y x z
v v a a a x y w ¶¶=-=+=¶¶ 11
()()022
y x z
v v a a x y g ¶¶=+=-=¶¶ ∴当0a ¹时此流动有旋，无角变形；当0a =时此流动无旋，无角变形。

时此流动无旋，无角变形。

(2) ()()2222222222
11()()022y x z
v v cy cx cy cx x y x y x y w ¶¶--=-=-=¶¶++ ()()()
2222
2222222222211()()22y x z
v v cy cx cy cx cy cx x y x y x y x y g ¶¶---=+=+=¶¶+++ ∴当0c ¹时此流动无旋，有角变形；当0c =时此流动无旋，无角变形。

时此流动无旋，无角变形。

[陈书3-13] 设空间不可压缩流体的两个分速为：设空间不可压缩流体的两个分速为： (3) 
2
2
2
,x y v ax by cz v dxy eyz fzx =++=---；
(4) 22222
222
ln ,sin x y y z x z b c a c
v v æöæö
++ç÷ç÷è
ø
è
ø
== 其中,
,,,,
a b c d e f 均为常数。

试求第三个分速度z v 。

已知当0z =时0z v =。

解：解：
不可压缩流体的连续性方程为：
0y x z v v v x y z ¶¶¶
++=¶¶¶， 则：y z x v
v v z x y ¶¶¶=--¶¶¶
(1) 2y z x v
v v ax dx ez z x y
¶¶¶=--=-++¶¶¶
将上式积分得：2
1
2(,)2z
z v
v dz axz dxz ez f x y z
¶==-+++¶ò
利用条件0z =时
0z v =得到(,)0f x y =
∴2
122
z v axz dxz ez =-++
(2) 0y z x v
v v z x y ¶¶¶=--=¶¶¶
将上式积分得：(,)z
z
v v dz g x y z
¶=
=¶ò
利用条件0z =时0z v =得到(,)0g x y = ∴0z
v =
[陈书3-30] 如图所示水平放置水的分支管路，已知100D mm =，15/V
q
l s =，
1225d d mm ==，350d mm =，133V V q q =，24/V m s =。

求1V q ，2V q ，3V q ，1V ，3V 。

解：解：
根据质量守恒定理有：123V V V V q q q q =++
(1) 
其中2
2
22 1.96/4
V d q V l s p ==
将2V q 以及条件133V V q q =带入(1)式得到：式得到：
3 3.26/V q l s =，1339.78/V V q q l s ==
则1121419.92/V q V
m s d p ==，3
323
4 1.66/V q V m s d p ==。

第四章第四章
［陈书4－8］测量流速的皮托管如图所示，设被测流体的密度为r ，测压管内液体密度为1r ，测压管内液面的高度差为h 。

假定所有流体为理想流体，皮托管直径很小。

试证明所测流速
r
r
r -=1
2gh
v
［证明］沿管壁存在流线，因此可沿管壁列出理想流体的Bernoulli 方程：方程：
g
p g V z g p g V z r r 2222121122++=++
（1）
其中点1取在皮托管头部（总压孔），而点2取在皮托管环向测压孔（静压孔）处。

取在皮托管环向测压孔（静压孔）处。

因流体在点1处滞止，故：0
1
=V
又因皮托管直径很小，可以忽略其对流场的干扰，故点2处的流速为来流的速度，即：
2V v =
将以上条件代入Bernoulli 方程（1），得：，得：
()úûù
êë
é
-+
-=g p p z z g v r 21212 （2）
再次利用皮托管直径很小的条件，得：02
1=-z z
从测压管的结果可知：()gh
p p r r -=-1
2
1
将以上条件代入（2）式得：r
r
r -=1
2gh
v
证毕。

证毕。

［陈书4－13］水流过图示管路，已知2
1
p p =，mm 3001
=d ，
s
m 61=
v
，m 3=h 。

不
计损失，求2d 。

［解］因不及损失，故可用理想流体的Bernoulli 方程：方程：
g p g v z g p g v z r
r 2
2
22121122+
+=++ （1）
题中未给出流速沿管道断面的分布，再考虑到理想流体的条件，可认为流速沿管道断面不变。

此外，对于一般的管道流动，可假定水是不可压缩的，于是根据质量守恒可得：此外，对于一般的管道流动，可假定水是不可压缩的，于是根据质量守恒可得：
2211A v A v =
（2）
其中1A 和2A 分别为管道在1和2断面处的截面积：断面处的截面积：
42
11d A p =，42
22d A p =
（3）
方程（1）可改写为：）可改写为：
()g p p g v z z g v r
2
121212
222-+
+-= （4）
根据题意：02
1
=-p p ，h
z z =-2
1
（5）
将（5）代入（4），得：g v h g v 2
22
12
2+
= （6） 再由（2）和（3）式可得：4
4
2
2
2
2
1
1
d v d v p p =
所以：22
2
112d
d v v =
（7）
将（7）式代入（6）得：g
v h g d d v 22214
2
4121
+
=
整理得：2
1
21
42
4
12v
v gh d d += 14
21
2
122d v gh v d += （8）
将mm 3001
=d ，s
m 61
=
v
，m 3=h ，2
s m 8.9=g 代入（8）式，得：）式，得：
()mm 236m 236.03.0368.9636
42==´+´=d
［陈书4－19］图示两小孔出流装置，试证明不计流动损失时有关系式(())
22211y h y y h =+。

（此题陈书2y 的标注有误）的标注有误）
［证明］因不计损失，可视流体为理想流体，则位于1h 深度处的小孔出流速度为：深度处的小孔出流速度为：
112gh v =
同样，位于1h 深度处的小孔出流速度为：222gh v = 流出小孔后流体做平抛运动，位于1h 深度处的小孔出流的下落时间为：深度处的小孔出流的下落时间为：
(
)g
y y t
2
112+=
故其射的程为：(
)()1
212
11
111222h y y
g
y
y gh t v s +=+=
= 同理，位于2h 深度处的小孔出流的射程为：222
2
221222h y g
y
gh t v s ===
根据题意：21s s = 所以：()221212
2
h y h y y =+
于是：()22121h y h y y =+
第六章第六章
［陈书4－8］测量流速的皮托管如图所示，设被测流体的密度为r ，测压管内液体密度为1r ，测压管内液面的高度差为h 。

假定所有流体为理想流体，皮托管直径很小。

试证明所测流速
r
r
r -=1
2gh
v
［证明］沿管壁存在流线，因此可沿管壁列出理想流体的Bernoulli 方程：方程：
g p g V z g p g V z r
r 2
222121122+
+=++ （1）
其中点1取在皮托管头部（总压孔），而点2取在皮托管环向测压孔（静压孔）处。

取在皮托管环向测压孔（静压孔）处。

因流体在点1处滞止，故：0
1
=V
又因皮托管直径很小，可以忽略其对流场的干扰，故点2处的流速为来流的速度，即：
2V v =
将以上条件代入Bernoulli 方程（1），得：，得：
()úûù
êë
é
-+
-=g p p z z g v r 21212 （2）
再次利用皮托管直径很小的条件，得：
021=-z z
从测压管的结果可知：()gh
p p r r -=-1
2
1
将以上条件代入（2）式得：r
r
r -=1
2gh
v
证毕。

证毕。

［陈书4－13］水流过图示管路，已知2
1
p p =，mm 3001
=d ，
s
m 61=
v
，m 3=h 。

不
计损失，求2d 。

［解］因不及损失，故可用理想流体的Bernoulli 方程：方程：
g
p g v z g p g v z r r 2
2
22121122+
+=++ （1）
题中未给出流速沿管道断面的分布，再考虑到理想流体的条件，可认为流速沿管道断面不变。

此外，对于一般的管道流动，可假定水是不可压缩的，于是根据质量守恒可得：此外，对于一般的管道流动，可假定水是不可压缩的，于是根据质量守恒可得：
2211A v A v =
（2）
其中1A 和2A 分别为管道在1和2断面处的截面积：断面处的截面积：
4
2
1
1d A p =
，4
2
2
2d A p =
（3）
方程（1）可改写为：）可改写为：
()g p p g v z z g v r
2
121212
222-+
+-= （4）
根据题意：02
1
=-p p ，h
z z =-2
1
（5）
将（5）代入（4），得：g
v h g v 222
122+
= （6） 再由（2）和（3）式可得：4
4
2
2
2
2
1
1
d v d v p p =
所以：22
21
1
2d
d v v =
（7）
将（7）式代入（6）得：g
v h g d d v 22214
2
4121
+
= 整理得：2
121
424
12v v gh d d += 14
2
12
122d v gh v d +=
（8）
将mm 3001=d ，s m 61=v ，m 3=h ，2s m 8.9=g 代入（8）式，得：）式，得：
()mm 236m 236.03.036
8.9636
4
2==´+´=d
［陈书4－19］图示两小孔出流装置，试证明不计流动损失时有关系式()22211y h y y h =+。

（此题陈书2y 的标注有误）的标注有误）
［证明］因不计损失，可视流体为理想流体，则位于1h 深度处的小孔出流速度为：深度处的小孔出流速度为：
112gh v =
同样，位于1h 深度处的小孔出流速度为：222gh v =
流出小孔后流体做平抛运动，位于1h 深度处的小孔出流的下落时间为：深度处的小孔出流的下落时间为：
(
)g
y y t
2
112+=
故其射的程为：(
)()1
212
11
111222h y y
g
y
y gh t v s +=+=
= 同理，位于2h 深度处的小孔出流的射程为：222
2
221222h y g
y
gh t v s ===
根据题意：21s s = 所以：()221212
2
h y h y y =+
于是：()22121h y h y y =+ 第六章第六章
[陈书6-7] 二维势流的速度势为,k j q =式中q 是极角，k 为常数，试计算：为常数，试计算：
（1） 沿圆周2
2
2
x y R +=的环量；的环量；
（2） 沿圆周沿圆周 (
)
222
()x a y R R a -+=<的环量。

的环量。

解：（1）1k v r r
q j q ¶
==¶ 0
r v r
j ¶==¶ 则沿圆周2
2
2
x y R +=的速度环量L
v dl G =
×ò
202v Rd k p
q q p G ==ò
（2） 易知此二维势流除在原点处均有势，而圆周
()
222
()x a y R R a -+=<不含原
点。

故沿圆周的速度环量0G =
[陈书6-8] 距离2m h =的两平板表面间的速度分布为2
21104x
v h y æö=
-ç÷èø
，式中x v 是两平面间y 处的速度。

试求流函数y 的表达式，并绘制流线。

的表达式，并绘制流线。

解：因为22
1104x v h y y y ¶æ
ö
=
=
-ç÷¶
èø 所以，()321104
3y h y
f x y æö=-+ç÷èø ()'0y v f x x
y ¶=-=-=¶ 所以，()f x C =
则321104
3y h y C y æö=-+ç÷èø， 其中常数C 的取值对流动图形无影响，可认为是0 
所以321104
3y h y
y æö=-ç÷èø [陈书6-9]已知某平面流场速度势函数为(
)22
K x y j =-，式中K 为常数。

试求流函数。

为常数。

试求流函数。

解：因为2x
v Kx x
y
j y ¶¶=
=
=¶¶
所以()2Kxy f x y =+
又因为()
22'y v Ky Ky f x y
x
j y ¶¶=
=-=-
=--¶¶
所以()f x C =，即2Kxy C y =+
由于常数C 的取值不影响流动情况，故可取为零。

的取值不影响流动情况，故可取为零。

则2Kxy y = 第七章第七章
[陈书7-6] 7-6] 烟囱直径烟囱直径m d 1
=，烟量h k 69.17g q
m
=，烟气密度
3
k 7.0m g =r ，周围大
气密度3
2.1m Kg a =r ，烟囱内压强损失g
V d h P w 2035.02
=D ，V 为烟囱内烟气流动的速
度，h 为烟囱高度。

为烟囱高度。

为保证烟囱底部断面为保证烟囱底部断面1处的负压不小于mm 10水柱，烟囱的高度h 应大于（或小于）多少？于（或小于）多少？
［解］［解］ 此题用Bernoulli 方程求解。

方程求解。

对1、2断面列出总流的伯努利方程：断面列出总流的伯努利方程：
w h g V g p z g V g p
z +++=++
222
2122
2111
1
a r a r
（1）
由质量守恒可知：21V V = 再假定动能修正系数：1
1
21==a a
式（1）可简化为：）可简化为：
w h g p z g
p z ++
=+
r
r 2
21
1 （2）
()w
h
z z g p p --=-2
11
2
r
（3）
断面1处的负压：111p p p a V -=，移项可得：V
a p p p 1
11-= 而断面2处的压强为当地的大气压，即：处的压强为当地的大气压，即：
a
p p
2
2
=
其中a p 1和a
p 2分别为断面1、2处的大气压处的大气压
将以上各式代入（将以上各式代入（33）式得：）式得：
(
)
(
)w
V a a h z z g p p p --=+-21112
r
（4）
而：gh p p a a a r =-1
2，h z z =-21
代入（4）式得：()gh h h g p a w V
r r --=1
（5）
d
H
2
1
依题意，能量损失：g V
d h P h w w 2035.02
=D =
代入（5）式：úû
ù
êëé-÷÷øöççèæ-=-÷÷øö
ççè
æ-=a a V
dg V gh gh dg V gh p r r r r 2035.012035.012
21
移项得：úû
ùêëé-÷÷øöççèæ
-=
a V dg V g p h r r 2035.012
1
（6）
令w r 为水的密度，负压可用h D 高的水柱表示为：h g p w V
D =r 1
代入（6）得：
a w dg V h
h r r r -÷÷ø
ö
ççèæ-D =2035.012
将流速：2
4d q V m
r =代入上式，得：代入上式，得：
a m w g d q h
h r r r r -÷÷ø
öççèæ-D =
322216035.01 （7）
将：mm h 10=D 、2
10s m g =、3
k 2.1m g a =
r 、3
k 7.0m g =r 、3
k 1000m g w =
r 、
h k 69.17g q
m
=
和m d 1=代入（代入（7
7）式得：）式得：
()m h 20-=
因为：h z z =-2
1
，所以：m
h z
z
201
2=-=-
【陈书7-10】 将一平板伸入水的自由射流内，垂直于射流的轴线。

该平板截去射流流量的一部分1V q ，引起射流剩余部分偏转角度a 。

已知射流流速30m s V =，全部流量
333610m s V q -=´，截去流量1
33
1210m s V q -=´。

求偏角a 及平板受力F 。

解：用动量积分定理求解解：用动量积分定理求解
题中指明流体为水，题中指明流体为水，但并未特别提及其力学性质。

但并未特别提及其力学性质。

但并未特别提及其力学性质。

为解体，不妨忽略粘性，为解体，不妨忽略粘性，为解体，不妨忽略粘性，并假定流体不可并假定流体不可压缩。

压缩。

选取如图所示的控制体及坐标系选取如图所示的控制体及坐标系
进入控制体的动量通量在x 方向的分量：x
in V M q V r =×（r 为流体密度）为流体密度）
进入控制体的动量通量在y 方向的分量：0y
in M =
流出控制体的动量通量在x 方向的分量：22cos x
out V M q V r a =××
流出控制体的动量通量在y 方向的分量：2121sin y out V V M q V q V r a r =××-×
因忽略粘性，平板和水之间无摩擦力（切向力），所以平板对水的作用力只有沿x 方向的分量，令其为x F
又因为大气压沿控制体周界积分等于零，所以由动量积分定理有：又因为大气压沿控制体周界积分等于零，所以由动量积分定理有：
22cos x x x out in V V F M M q V q V r a r =-=××-× （1）
21210sin y y
out in V V M M q V q V r a r =-=××-× （2）
可以找到一条从0-0断面到1-1断面的流线，对于该流线可以列出Bernoulli 方程：方程：
2
2
1
1
122p V p V z z g g g g
r r ++=++
因为()
12 p p p =»大气压 故 2
21
122V V z z g
g
+
=+
a
,V
V q 2
V
q 1
V
q
因射流速度较大，可忽略重力，可得因射流速度较大，可忽略重力，可得
1V V »
同理可得同理可得
2V V »
将以上关系代入（1）式和（2）式，得）式，得
()
2
cos x V V F V q q r a =- （3） ()
210sin V V V q q r a =- （4）
由（4）式得到，）式得到，
12
sin V V q q a =× （5） 又因流体不可压，所以又因流体不可压，所以
21
V V V q q q =-
代入（5）式得到，）式得到，
(
)
11sin V V V q q q a =-×
11
sin 0.5V V V q q q a =
=-
所以，30o
a = 再由（3）式求得：）式求得：
()()3
10003024cos303610456.46o
x F N -=´´×-´=-
【7-11】 如图所示，水由水箱1经圆滑无阻力的空口水平射出，冲击到一平板上，平板封盖着另一水箱2的孔口，两水箱孔口中心线重合，水位高分别为1h 和2h ，孔口径121
2
d d =。

求保证平板压在2箱孔口上时1h 与2h 的关系。

（不计平板的重量及摩擦力）（不计平板的重量及摩擦力）
解：因不计摩擦力，可以视为理想流体，则小孔处流速：解：因不计摩擦力，可以视为理想流体，则小孔处流速：
112V gh =
射在平板上的流体沿板的四周流出。

射在平板上的流体沿板的四周流出。

选取如图所示的控制体，作用在控制体上的外力为大气压和平板的作用力。

选取如图所示的控制体，作用在控制体上的外力为大气压和平板的作用力。

大气压的积分效果为零，又由于忽略摩擦，平板的作用力只能沿x 方向，设其为x F 假设容器足够大，流动定常，则x 方向的动量积分方程：方向的动量积分方程：
2
2
111124x d F AV gh p r r =-=-×
故水流作用于平板上的力为：故水流作用于平板上的力为：
21
1
2
x g d h
F F r p =-=
平板右侧受到的静水压为平板右侧受到的静水压为
22
2224
s g d h
F gh A r p
r =×=
为保证平板压在孔口上，须有s F F >，即，即
221
1
22
2
4
g d h
g d h
r p r p >
有121
2
d d =
，可得：，可得： 122h h >
[陈书7-13变] 如图，一带有倾斜平板的小车逆着来自无穷远处的射流以速度v 匀速移动。

1
2
1
h 2
h 1
d 2
d
已知射流断面积为A ，体积流量为Q ，流体为理想不可压缩的，不计地面的摩擦力和重力。

（1）若0=v ，求分流流量1
Q 和2
Q 与入射总流量Q 的关系；
（2）若0¹v ，求推动小车所需的功率。

解：（1）令上面出流的速度和断面积为：1u ，1A ，有：1
1
1A Q
u =
令下面出流的速度和断面积为：2u ，2A ，有：2
2
2A Q
u =
令入流断面的速度为：u ，有：A Q
u =
选取一条从入流断面到上面出流断面的流线列出理想流体的伯努利方程：选取一条从入流断面到上面出流断面的流线列出理想流体的伯努利方程：
12
11
2
2
2gz u p gz u p ++=++r r 因p 和
1
p 均为大气压，重力忽略，所以：u
u =1
同理可得：u u =2
选取如图所示的坐标系及控制体。

选取如图所示的坐标系及控制体。

进入控制体的动量通量在x 方向的分量为：q r cos 2
A u
进入控制体的动量通量在y 方向的分量为：q r sin 2A u - 从1断面处流出控制体的动量通量在x 方向的分量为：12
1A
u r -
从2断面处流出控制体的动量通量在x 方向的分量为：22
22
A u r 因流体为理想流体，故x 方向平板的反作用力为零，所以：方向平板的反作用力为零，所以：
0cos 222
2
121=--q r r r A u A u A u A
q
v
1
Q 2
Q Q。