3.2 初等方阵

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所以
推论1 方阵A可逆的充分必要条件是A ~ E. 证明 因为A可逆的充分必要条件是A为有限个初等矩阵 的乘积, 即 A=P1P2 ⋅⋅⋅ Pl , 亦即 A=P1P2 ⋅⋅⋅ Pl E, 上式表示E经有限次初等行变换可变为A,充要条件) 方阵A可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵P1, P2, ⋅⋅⋅ , Pl , 使A=P1P2 ⋅⋅⋅ Pl .
例如
0 1 0 E3(1 2) =1 0 0 , 0 0 1 1 0 0 E3(2(3)) =0 3 0 0 0 1 1 0 0 E(31 2)) =0 1 0 ( 2 0 1
定理1(初等矩阵在矩阵乘法中的作用 ) 设A是一个m×n矩阵. 对A施行一次初等行变换, 相当于在 A的左边乘以相应的m阶初等矩阵; 对A施行一次初等列变换, 相当于在A的右边乘以相应的n 阶初等矩阵.
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若矩阵A可逆, 则矩阵(A, E)经初等行变换可化为(E, A−1).
0 −2 1 例1 设 A= 3 0 −2 , 求A−1. −2 3 0 解 因为
0 −2 1 1 0 0 r 1 1 −1 1 1 1 0 1 0 4 2 3 (A, E)= 3 0 −2 0 1 0 −2 3 0 0 0 1 0 0 1 9 4 6 r1−r2 1 0 0 6 3 4 0 1 0 4 2 3 , r1−r3 0 0 1 9 4 6 6 3 4 所以 A−1 =4 2 3 . 所以 9 4 6
§3.2 初等矩阵
初等矩阵 由单位矩阵E经过一次初等变 换得到的矩阵称为初等矩阵. E(i, j)表示对调单位矩阵E的第 i, j两行(列)得到的初等矩阵. E(i(k))表示用非零数k乘单位矩 阵E的第i行(列)得到初等矩阵. E(ij(k))表示把单位矩阵E的第j 行的k倍加到第i行上, 或把单位矩阵 E的第i列的k倍加到第j列上得到初 等矩阵.
3 0 1 例如, 设 A=1 −1 2 , 则有 0 1 1 3 0 1 r1↔r2 1 −1 2 3 0 1 , A=1 −1 2 0 1 1 0 1 1 0 1 03 0 1 1 −1 2 E3(1 2)A=1 0 01 −1 2 =3 0 1 . , 0 0 10 1 1 0 1 1
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定理2 方阵A可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵 P1, P2, ⋅⋅⋅ , Pl , 使A=P1P2 ⋅⋅⋅ Pl . 简要证明 先证充分性. 设A=P1P2 ⋅⋅⋅ Pl, 因为初等矩阵可逆, 有限个可逆矩阵的乘 积仍可逆, 故A可逆. 再证必要性. 设n阶方阵A可逆, 且A的标准形矩阵为F. 由于F~A, 故存在初等矩阵P1P2 ⋅⋅⋅ Pl, 使 A=P1, ⋅⋅⋅ , PsFPs+1, ⋅⋅⋅ , Pl . 因为A可逆, 故A的标准形矩阵F也可逆. 因此F=E, 从而 A=P1, ⋅⋅⋅ , PsEPs+1, ⋅⋅⋅ , Pl =P1P2 ⋅⋅⋅ Pl.
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若矩阵A可逆, 则矩阵(A, B)经初等行变换可化为(E, A−1B).
2 2 0 例2 求解矩阵方程AX=A+X, 其中 A=2 1 3 . 0 1 0 解 把所给方程变形为(A−E)X=A. 因为
1 2 0 2 2 0 r 1 0 0 −2 2 6 (A−E, A) =2 0 3 2 1 3 ~0 1 0 2 0 −3 , 0 1 −1 0 1 0 0 0 1 2 −1 −3 −2 2 6 X =(A−E)−1 A= 2 0 −3 . 2 −1 −3
推论1 方阵A可逆的充分必要条件是A ~ E. 推论2 m×n矩阵A与B等价的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵 P及n阶可逆矩阵Q, 使PAQ=B.
r
矩阵A可逆⇔A=P1P2 ⋅⋅⋅ Pl , 其中P1, P2, ⋅⋅⋅ , Pl都是初等矩阵. 求逆矩阵的初等行变换法 设A为n阶可逆矩阵, B为n×s矩阵, 则存在初等矩阵P1, P2, ⋅⋅⋅ , Pl , 使 P1P2 ⋅⋅⋅ Pl (A, B)=(E, A−1B). 上式的意义: (i)取B=E时, 上式成为 P1P2 ⋅⋅⋅ Pl (A, E)=(E, A−1). (ii)当A为可逆矩阵时, 方程AX=B的解为X=A−1B. 求AX=B 的解可以对(A, B)进行初等行变换, 使之成为(E, A−1B), 此时即 得X=A−1B.
若矩阵A可逆, 则矩阵(A, E)经初等行变换可化为(E, A−1).
0 −2 1 例1 设 A= 3 0 −2 , 求A−1. −2 3 0 解 因为
0 −2 1 1 0 0 r1+r2 1 1 −1 1 1 1 3 0 −2 0 1 0 (A, E)= 3 0 −2 0 1 0 −2 3 0 0 0 1 r1+r3 −2 3 0 0 0 1 r2−3r1 1 1 −1 1 1 1 r2×2 1 1 −1 1 1 1 0 −3 1 −3 −2 −3 0 −1 0 −4 −2 −3 r3+2r1 0 5 −2 2 2 3 r2+r3 0 5 −2 2 2 3 r3+5r2 1 1 −1 1 1 1 r2×(−1) 1 1 −1 1 1 1 0 −1 0 −4 −2 −3 0 1 0 4 2 3 0 0 −2 −18 −8 −12 r3÷(−2) 0 0 1 9 4 6